Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 78
Текст из файла (страница 78)
<"» х 1»с 240 построим приближенна величины уы»(сс ) посредством значений р(х„..с), у(х ), р(хе.сс). Таких приближений с»ажно написать очень машо, нас»риыер слепуювгим Образом. Согласно уравнению (1) рн = рр 4 Л, рн' = (ру+ У)', рйб = (Э+ б)", ,сц ( „Т)1с1 сс» ебр,с»1 „бре, +,1 00 + ссб +Т1с» поэтому справедлива приближенное равенства свр б'(реу(х ) 4Х ) (хн) ыр» 4'( ) 2й 4-рсц(х„)р(.*г ) + Т1а(х„). Прибавляя к 1<с»(р„) вьц»ажение, прибаилсающее усе»(х„)1»4»»240, полу сим конечно-разностную схелсу с пац»ешнастью аппроксишшин П(йе); при ззом в каждое уравнение поиучишлейси алгебраической системы вхссчят только три ныовестных р . Ддя практичсской оценки погрешности решении краевой задачи может применяться правило Рунге.
Законность го оримен ни ас овываетси на существо- гонии главного члена погрепсности. Задачи 1. Пусть функции р(х) и с" (х) четырежды дифференцируемы. доказать, тго для решения засуесгс (2), (4) справедливо охпзюшение снах )р„— р(хе) — )стл(хе)) = О(1»4); здесь «(х) — решевие краевой задачи 1.*= — урб( )112, (0) =0, (х) =О. Глава 9.
Численные методы релилия краевых зютач Аналогичный прием последовательного повышения порядка погрешности аппроксимации может быть примиюн и по отношению к аппроксимациям граничного условии. Рвссмтрим случай граничного услоиия р'(0) — ар(О) = а. Дискретное приближение высокой точности к такому граничному угловьпо можно получить нопосредствевно, заменив щхигьводную р'(0) по какать-льтбо формуле численного дифференцирования высокой точности: с, р(вц) Ь =с Однако погрглшость аппроксимации будет меныла и ретасние нснникыощей алгебраической системы предсвшит меньше трудностей, сели идти по описанному вьппа пути последовательного повышения порядка точвоь ги аппроксимации. р(Ь) — р(0) Заменим производпуто Рь(0) отношением » тогда получим (у„) = — ауа — а = О.
Псдьнавляв в тс — — ' — ау(0) — а р) Ут -Уа 10 у()ь) — р(0) разложение р(!ь) = р(0) + рь(0)Ь + О(»г), имеем га( ) — — )/(О) -)- + О(»г) — ау(0) — а = ) -)- 0(»г). Р"(0)», ри(0)Ь 2 2 Таким образом, погрешность аппроксимации граничного условии ость 0(Ь).
Поскольку, согласно уравнсникь (1), р"(0) = р,р(0) + /ш то уравнению )с(Р ) = — ауа — а — (рсра+ Хс) — = О г Рь — Ра Ь Ь 2 )г) соотвстсгвУьг вта)юй поРЯДок апЩюкснмаЦин. Подставлаа в га 1а( )(р(х„)) разложение у[Ь) = р(0] + р (О)Ь -~- рьь(0))ьг/2 + 0()ьз), получим 00 р1')(О)»г 'с б + О(»г). После дифференцирования исхтднаго уравнь ния (1) имеем РРО(О) - рар'(О) — р'(О) р(О) — /'(О) = О; позтому с учетом граничнопь уьловня справедливо равенство р(з) (О) = рс(ау(0) + а) + р (0)у(0) + / (О). Разностному уравнению Ьг 1а (Р ) — 1а (у ) — ((тьаа+р(0))тра+ уса+/(О)) — = 0 5удет соответствовать уже третий порялок аппроксимации.
22. Функция Грина сеточной краевой задачи Можно было бы сразу наиисхгь равенства г = у'(0) — -)- у( )(0) —, О) з б з б' затем выразить производные г»'~(0) н у!»)(0) через у(0) и, вычитая нз рвзностной схемы соответствующее выражение, получить уравнение (у„) = О. Однако мы обрхгилн агновное внимание именно на способ !з) ггаглецовательного повышении порядка точности, поскольку его поренесенне па случай уравнений в частных производных яюшется наиболее простым и естественным. 2 2. Функция Грина сеточной краевой задачи определяется как решение уравнения А(С(х, з)) = С ..(», з) — р(х)С(зг, з) = б(х — з) (1) при граничном услонии С(0, з) = С(Х, з) = 0; здесь б(х) — б-функции.
Функцию Грина можно за,зать следующлми явными г)юрзгулами. Пусть И'г(зг), Игз(х) — раз»ения уравнения В(И») = 0 при условиях И'(0) = О, (И")'(0) = 1, И/з(Х) = О (Игз)г(Х) = 1) тогда И'з(з)Иг'(») С(х, з) = г )гв Игг(з)И'з(х) Ге при 0<»<з, (2) при з<х<Х, где )» — значение определителя Вронского: а И" (х) И'з(») и(») =,, = сонет =- )га.
(Иг')'(х) (Уу~)'(х) Функция им введенная в 2 ! при доказательстве леммы 2, носит название мозкегририкггцса фрикции, и метод получения оценок погрешности с использованием втой функции нвзываетсн методом ма»хо!пню, или меюодом Герт»орика. В ряде случаев, когда ьютод мвжорант неприменим, оценку гюгрешносгя приближенного решения можно получить, исгггшьзуя так нвзыввемуго сгзочнуго функциго Грина.
!!)юводныые ниже построения функции Грина сеточной краевой задачи (1.3), (1А) кроме всего щючсто интересны своей аналогягй со случвом дифференциальной краевой звдаги. Функция Грина С(»л з) дифференциальной краевой звдаги Егз = ув — р(з)у = ф(х), р(0) = а, у(Х) = Ь, 424 Решение задачи (1.1), (!.2) зыпюываегся с помощью функции Грина в виде р(х) = 1 С(х, в)1(в)1Ы- С',.(х, Х)!1 — С',(х, 0)е. (2) го Перейдем к сеточной задаче р„ь1 — 2у«+ йв 1 !(и ) = ° — р й = У, ро = о, ро = й йг По аналогии определим функции И',1, И~~ из соотношений 1(И'„*) = О, 1 = 1, 2, и = 1,..., А1 — 1, И'о =О, И',1 =Ь, И72, =О, И22 л =6 Здесь и далее оператор 1 применяется при фиксированном верхпом ин- дексе Аналогом опрсдслншля Вронского является определитель И"2 )(11 1)ы Игг Игг !1 А Из тождества И, 1 1(И.2) Игг 1(И 1) при О<я<А, (4) при «<п<А1.
Из определения И'в следуют равеногва при и<11, И'1 следует, что величина 1« Положим '=( Глава 9. «1«с««нные методы речаеняя краевых задач не завигит от и; будем обозначать ее )1(Ь]. И'12 И'„' г'(А) И 1)И2 г'(6) 425 12. Функция Грина сеточнойкроевой задачи пун и > й; при Л =- и имеем ь С вЂ” 2Со 'г С— ИСг) гг( — г (б) Функция ОЯЛ является сеточным аналогом б-функции, а равенство (8) — аналогом (1). Сеточные функция Иго', о = 1, 2, являются решениями сеточных зюшч Коши, соответствующих задачам Коши, опрецеляоощим функции Им(х). Предположим, что )(Рк((с(о,л) = звР 1Рк( < Луо < о« йя (б) тогда ыожно показать, ио 11( (х»'"'!!. Оценив близость нюгюгьных данных и воспользовавшись далее (недока- занной) теореьоой из 8 8.10, люжно позучить оценку близости сеточных и дифференциальных решений зццачи Коши вида шах )И'„' — И"(оЛ)~ < МЛз, г = 1, 2.
о<к„йл (7) Согласно свойстваы Ио и И(Л) имееы Ро =1 (Х) = ~,, ~ = -И '(Х), 1 и'(х) О ( =1( )(х) — 1= Игяг О 1 (Л) = И , И и л — г Л Поэтому )Р(1о) - Ро) < Мбз (8) на основании оценки (7). Согласно определению И'з первая круглая скобка равна О; вторая скоб- ка равна г'(Л)1ь В итоге нри lс = и получаем !(Сг) = Л ', объединяя полученные соотношения, имеем Глава 9. Численные мьчолы решения краевых аэдач 426 Сравнивая явные выражения функции Грина дифференциальной (2) и сеточной (4) задаг с учетом оценок (7), (8), получаем С,'; — С( Ь,19)) <С1гз при О < Рди пЬ < Х.
Лемма. Бслгг И(Ь) ф О, то рессмлтулгеаемел сегиочнал нада т (1.3), (1А) однозначно рмрсшима и ее решение написмнасглсл и виде р„= Ь ) С~ (ь -~- —" а+ — ", Ь. г=г (9) Формула (9) является сгто агмм аваловом 19орм1глм (2). 2(окенотгаьстео. Поскольку согласно определению функции Сг здесь выполняется равенство Се — — Сл ж О, то ре = а, рч = Ь.
Имеем равенство ь ь 1(р ) = Ь ) 1(С,',)Ь 4 —; + —," Ь; 1(И г) гггвг)х)гициегтгы при о и б равны нулю по определению функций И". Воспользовавшись равенством (5), получим 1(9„) = 1„. Таким образом, :истема .линейных уравнений (1.3), (1.4) при любых правых частях имеет зешение, записываемое в виде (9].
Но если система линейных уравнений зезрешиыа при любых правых частях, то ее решение единственно. Леыма Юквзана. Соотношение (9) может быть двояким способом испош,зовано для гцеики близости решений сточной и дифференциальной зада г. Первый путь состоит в непосредственном сравнении выражений (2] и 9). Для простоты продемонстрируем елэ в случае а = Ь = О, ܄— ш О. 1одставляя х = пЬ, перепишем (2) в вкле г ь гх 9(пЬ) = / С(пЬ, нЩн) дн+ ~ С(пЬ, н) ((н) гЬа е „ь Дш~ее предполагается, что И г(Х)т 0; в противном случае однородна» краевая задача р'г — р(т)9 = О, 9(0) = у(Х) = 0 имеет ненулевое решение Игг(х), а гледовательно, неоднородная краевая задача (1.1), (1.2) или нг имеет решения, или вмеет неединствонное рогпение.
Будем также предполагать Ь настолько малым, что 2МЬт < (Иг~(Х)! =- (г'е(. В атом случае имеем )г(1г) > )гс ЫЬх > (1ге Г2( > О $2. Функция Грина сеточной краевой задачи При угшовиях ])ум]]п(ел] < со и (б) можно покаатгеч что подынтегральные функции в обоих интегралах амеют ограниченнуго вторую произжщнуго. Заменим оба зги интеграла по формуле трапеций с шагом 6. Получим С(пЛ, 0]1" (О) т С(пЛ, ггЛ)7(ггЛ] ] Л 2 я=1 +6 сС(п(Л п!ъ)~(пй) ч С(пЛ, ВЛ)7(746) 1 2 Ф О(Лз).
ь= -~-1 Разбиение интеграла на две части потребювелась в связи с тем, что погрешнскть формулы трапеций оценивается через вторую производнуго подывтегрвльной функции, а функция С(п6, з) имеет разрыв первой произвплдой в точке пЛ. Поскольку из определения функции Грина С(т,, в) следует, что С(пй, 0) = С(пЛ, Ж) =- О, то л-1 у(пЛ] = 6 ~ С(п16 1сЛ]5: Л 0(>Р]. (10) в=1 Из равенств (9), (10) гледует ,. —,(пй] = Л",, (С„"-С(пЛ, ЛЛ))Ух+ С(Лз). ь=-1 Воспользовавшись оценкой (7), получим р„— у(пЛ) .= 0(6~). Нетрудно прогледитгь что эта оценка погрешности равномерна по и при 0 < з;н < Х, г. е.
гаах (гуе — р(ггЛ]~ =- О(6з). ейе„<Х Цругой путь состоит в получонии уравнони» для погрешности и данг кейшей оценки погрешности с помощью формулы Грина. В 2 1 было показано, что погрешность В удовлетворяет уравнению 1(В ) = ˄— ге, где (г„( < мхлз/12, д — погрешность, обусловленная неточностью решгзня системы (1.3), (1.4).
Пусть Ве = В,ч = О. Из явного вида фушсции Грина дифференциальной задачи следует ее равномерная ограниченность; : учетом (7) получаем, что функция Сь также равноыерно ограничена: Сь( < Р при 0 < 66, пЛ < Х. Напишем явное представление В с поиощью формулы Грина (9): я — ! В„= 6 ) С"„(Ль — гь]. ь=г Глава 9. Численные методы решения краевых задач Тогда нз (11) следует оценка Ф вЂ” 1 (!с„( < 11!с ) ()бь( о )гь(). Загрубляя, получим оценку (Л„( < ЙХ ( — й -!- шах (бь(), /Лес з 1, 12 ось<и имесошую тот же порялок по отношеннсо к й и сссах)бь), что и пояучеиная в З 1 оценка. Эта оцшска применима и при !ссуд(х) < О, когда лолсма 1.2 неприменима, Таким образом, использование юпсаршн функции Грина ппнюляст расширить множество задач, двя которых удается получить оценку погреспнасти сеточного решения.
23. Решение простейшей краевой сеточной задачи При численном решении залюси Коши значения решения определясогся в псхледовательпых узлах по рекурресггпылс формулам: в глучае краевой сего.шой задачи, наприыср (1.3), (1.4), "сакой возможности пег, ласкаю ку значения решения зависсп ат граничных условий ва обоих концах отрезка интегрирования. К! евую зццачу рсс — р(х]р = ((зс), р(0) = о, р(Х] = б можно было бы решать сшелующим способом. Возьмем частное решение рс(х) неоднородного уравнения сзо' — р(х]уо = Х(х) и два линейно незаписимых решения однородного уравнения ра — р(х)р, = О, с = 1, 2. Обсцее респение неоднородного уравнения запишется в виде у(х) = уо(х] + Ссус(з) + Сгуз(т); постоянные Сс и Сз опроделяем из граничных условий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
