Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 81
Текст из файла (страница 81)
и, как нетрудно у«навозить методам индукции, С„= 1 — 1/(и+ 1). Пусть фиксирована какая-ю точка х: = пЬ.. Тогда левая часть (5), са«пнет«тву. ющая втой тачке, равна 1 у (1 + )унь Г!ри подстановке вместо величин уе значений гладкой функции у(пЬ) предел левой «асти равен нулю и наг смысла рассматривать подобное замыкание алгоригма. Чтобы получаемое замыкание было осмькшоиным, нужно подобрать такой множитель Л(Ь), чтобы предел йш Л(Ц (у(х) — (1 — ) у(х -1- Ь)) 1 (б) А-«О х/Ь р 1 был конечен и отличен от пуля.
Вазьмом Л(Ц = Ь ~; тогда — (у(х) — (1 — — р(х: 4 Ь)) = Ь~ ~ х/Ь,1', = — ( у(х] — (1 — — ч-С(1«з)) /!«(.) е р(х)Ь+ С(!«з)1) = — у (*) у О(Ь). у( ) х Таким образом, (б) имеет невулавай предел. Применим такую же ноу мировку и в общем случае. Поскольку в рассмотревном прилюре суще ствовал предел Св — 1 1ш«при пЬ = х, ьне Ь 44. Замьпспяпя вычислительных аьпорятмав уь,пюжим соотношение (5) на — /ь 1 и положим Сп =- 1 — сь„б, ьрп .= — Д,)ь.
2оьпса (5) перепишется в анде (8) й Подставив выражения Сп и ьрп черсн ап и ь и в (7), получим равенства 1 ! — аптьй = 1 4- р 1>Р -Ь- опп /ьпЬЬО = (1 — опЬЯЦ3 2Ь -> /„Ьь)сг); ас глада ап + Рпьь/ь а рпг,йг' Р„+ь = /)„ + (/и 1 — а ыД,)11 — ипт1/„ь!62. Ссютяошсние (9) можно преобразовать к виду а ., — сь, 2р„.>ьсьп — аь, — (рг„— умысьг))ь 1 1 а !1+Рэмп а аютношслие (10) - к виду /гш-/ л — = /пть — ы тьДь — / ььа ь,гс (12) ЕСЛИ ПРЬЛПапажнтьь Чтс КСИффИЦИЕитЫ ап Н )З„ПРИ фИКСИРОВаННОМ и/ь = х и 6 — ь 0 стромяп:я к некоторым пределам о(2:) и /1(т), то при подстановке в (2) вместо р„значений й(пб) в пределе получьпг» дифференцишв,нос уравнение (10) У ~(~)Р— /(*).
"Оатиащенпя (11), (12) ПОЮЮЫВаапз Чта ВСЛИЧИНЫ ап, Д, удаВЛЕГВаряат уравнониям, напоминающим мспд Эйлера численного внтсгрировасвя дифференциальных уравнений 2 (12) /1 = /(я) — а(1. (14) Ооказатсльство того фак~а, тга значения а„, р'„, при пгь = т. фиксироьанном, (ь — ь О, стремятся к значениям решений этих дифференциальных сравнений, затрудняется следуьощим абсьоягельством. Согласно опредс инию сьа = (1 — Са)/2ь = 1/й, ре = ьре/гь = — а/2ь. (10) введем вместо с новую переменную сьп = (1 — с )/гь. напомним, что праганочныс соотношения имеют вид — р„ь.ь = Сп,(йп — /„„1').
(7) 2+ Рп,,гь — Сп Глава 9. Численные метолы решения краевых задач 440 Обоснугм зто предположение. Коэффициенты гы, а гжжовап.чьпо. п и „пспу- чюотся иэ рекуррезгтцых сгютвошений (7), нг зази<яшин пгг ш правой чаг гп дифферендиального уравнения, ни гхг гтжничного гсаоввв в чичко Х; начюп нш условно рекурсии СО = 0 *юкже от них пе заынит.
Рысмотрнм «ратную задачу ри(х) — р(х)11(г) = О, у(0) = О, р(Х) = 1 и гиствшттвуюшую ппочвую задачу 1(рг) = О, ие = О, уи = 1. Решения этггх задач можно записать в шщг у(х) = !!ч(х)/!Ф'(гр), гг,„= И",,/И гг (опрелглгние Ррг(х) и И",', гм. в з 2). Поскольку !ми чтой краевой задача;ге = О и всг /„= О, то /!„ж 0 и пютношегпгг (8) вмыт вид Р .и — у б — о„у„г, = О. Г!одставлян шола ри = Игг/!Раг,, получим (Ицы И„) ~„Г, Пользуясь оценками близости (И",, — И"(г/О! < Ь/!~ при О < гй < Х, (17) можно получить г)гГенку (И"](1.,О„-~-()(!г) "= и ((и+ 1]!г]тО(!,т).
Фуиююя (х) = (И")')л/!Рг(г ] (18) удовлетворяет дифференциальному урэвиеишо (13), поскольку Согласно определению Ид(х) при малых х имеем Им(х):г, (И')') 1 и таким образом, о(х) = (Ррг)')„/РУ(х) х ', как и предпслашлось. Такиьг образом, в окрестноств точки т = О начальные условии дл» численного интегрирования по формулам (11). (12) иьгеют ие совсем обычный характер и развитые пани моголы оценки близости радений г е точных и дифференциадп,ных задач в рассматриваемом случае неприменимы. Глядя па соотношения (15), ьгожно было бы пргзгпшгожить, что фупгп!нн о(.г) панно'и:н )юшг:ином (13]. вергугциы себя вблизи н!ля, кэк х г, а //(х) решением (14).
вгдущпм ггбя вблизи пуля, как — пз 441 34. Заиыкавия вычислительных алп>рнтмоь Функция а(л) обр>пиве>ел в бесконечность в точкню >де Во (г) .= О, в ыстлостл при с = О. В окрестности кюкдой так >й точки у писем (Па) ) (Яю) )л у О. )У>(т) ((1!г~) )лИл — у) в. п>ким сбра:юм, а(к) (т — >Г) (19) Для тачек чтой окрестнопгл можно папнгать цепочки соотвап>енпй — = ( - ) )о, юь( +О(.)), И"„' > =Им((иЕ1)й) тО(й>) =И"((г> '-1)1>) 1 1-0 — — -~1) = э > (11'Ц» + Цй)1 = 1У'(О> т 1]й) (1 40 ( — — )) и, таким образам, йе а» = а ((и Е 1) й) '(1 Л- 0 (й)) (1 + Г) ( (' — У)) Отсюда видна, чт относимы ьпая погре>пноть равенства с>4 и а((п ->- 1)й) являс»тя величиной порлдка 0(6) алло>ь ло окрестности парялка 6 точек, где с (т) = сю.
Ан>иогичпым образам нсследуетгл повеление функции О(> ). Выпишем теперь ссютнашення (3) и соотвечствующио замыкания алгоричыа. Возьмем ЛХ =- 2А> — ! и при >и = 1,..., А> за (3) примам совокупность соотно>пений У вЂ” СУ 9Ъ Л Р» — > ОР> Гры> 1>т -).Р =-У», 0 < <и < т, п><а<А', Рл =1>, а при АГ < >л < М -совокупность сюсггношений У Оре> Фл й 6' — 0<п<М вЂ” т, У =Ф>., М вЂ” Гг><а<А>, где ф„— точное ршпение сеточной зада.>и. Поло>хин л = тй.
Тогда за- мыкание алгоритма (4) будет выгляпсть сшедующим образом: Гнева 9. численные метели ражип~я красен» эа,твч 449 где для 0 < «< 1 < у — о(х)я у — р(х) р р 11(х) нри Ь при лри 0<х<» при «<»:<1, при»:=1, О<я<», «<«<1, :»=1 1 (х)= и идя 1<«<2 Х.(»:) = р' — о(.г)у при О < я < 2 — «, при 2 — «<х<1, 11(х) при 0 < х < 2 — «, Ях) при 2 — «<х<1; здесь»)»(х) — точное решение дифференциальной задачи (равгногво Гор)».=в = а опущено). Рвл:могриль примеры гювецення функции сг(х) и 11(»:).
Пусса р(х) > О; тогда, согласно уравнения» о» = р(х) — о», о~ < 0 при и > р~ = ]п»вкр(х) э( о,л) гг > О при и < рг = ~ш11»р(х). Соответствующее поле интегральных кривых изсбрюконо на рис. 9.4.1. Псе»ему решение п(х), удпвлетиоряющее условию с»(х) — х ~ при»: -э О, »соло»инно убывает по крайней мере до тек пор, пока пе попадег в область р» < с~ < рп где оно и ос»аист и ся.
Уравнение (14) линейно относитель- но Ях). Твк как коэффициент с»(х) копер, чен при х ф О, то решение этого уравнс" ния осхаеътл ограниченным при всея х и Р, О. Таким образом, были бы все осиова- ~) ) )') вия признать замыкание алгоритма решь ния рассыатриваемой задачи регулярным, О х если бы не нееграннченность ком]к]>ипиРис.
9.4.1 ентов п(х) и 11(») при х — э О. В рассматриваемом случае значения пе и )ус в точке и = 0 являлися величинами порядка й; далее с ростом и они должны иметь тендевцию к убыванию изза аяыюгичной тенденции решений дифференцисоп,нык уравнений. Мы уже свыкиись с тем, что во мнОгих случаях влияние вычислительной Ьб Замыканв» вычислительных алгоритмое погрешности пор>гака 2 '6 >' является неизбежным н допустимыы и вгпможпо, что такая нерегулярность алгоритма не привгщет к недопустимо бовыпому влияния> вычислительной погрешности. Обратимся к случаю, когда ве всюду р(х) > О.
'1огда л>ожет оказаться, что в некоторой внутренней точке >врезка И'>(р) = 0 н, глвдовачвльно, п(р) = ск. В игом случае замыкание алгоритма вычислений следует признать нерегулярным; однако н здесь пе следует спешить окончательно отказываться от прнлговення могода прож>вки.
Если оююалось, что во вгех узлах сетки И" (г>1>)1>"г » 1, ю, согласно (10) (18), имеем шах]о ] =. 0(б >). (20) Такого рода нерегулярность алгоритма также не всегда следует считать катастрофической. Функцяя И'(х) — гладкая с производной, отличной от нуля в точках р, где И' (р) = О. Поз>ему часто значение пйаЫ>'(г>1>) мое будет оказываться величиной порядка 6 и сгютпошенио (20) будет выиолнятьгл. Тг>кил> образом, следует ожидать, что и в случае р(:г) < О вычисления по методу прогонки в больппщстве случаев будут ус>ой >иных>и к рап>ичпого рода возмущениям.
Оказалось, что замыю>ние алгоритма г>роюнкн, по существу, регулярно, если И" (м) ф 0 при х б (О, Х]. Условие И'>(з:е) у 0 равпгкильно условию, что красная задача (21) р(0) = о, р(хе) = Ь, рм — р(х)у = [(>г) разрешима на [О, хе] прн л>обмх о, Ь и У(х). Таким образом, Иловие регулярности запьпопшя алгоритма прогонки можно сформулировать в следующел> виде. Заммканпе мспюда прогонка регйммрно, если дмм любого опйюзха [О, з:е] прп 0 < хе < Х купееам задача (21] 1>>зуев>пыа.
Получим этот вывод е>це одним пу>ел>. Обраюпк:я к формулам обратного хода прогонки. Коэффициенты С н у> прн у < и зависят только от о н значений р. и 1 при у < и, т.е. в точках дб б [О. п6]. Следовательно, после отыскания значения й„вычисления происходят чак ха>, как в случае краевой задачи для уравнения ум — р(х)у = 1(х) на отрюке [О, пй) при заданных р(0) = о и р(пй) = р . Если зта краевая г>ц>ц>ча неразреп>има ггри любых правых частях 1(х), то возникают солшеяия в хороших свойствах соответствующей сеточной задачи. Пснтому в случае, когда при каком-то хе б (О, Х] краевая задача (21) разрешима не прн л>обых правых частях, необходим балы детальный анализ метода. Оть>еперь>, что регулярность замыкания еще нс обегпе п>ваег малости суммарной вычислительной погрешности в силу следуя>щих обстоятельств.
Суммарная погрипвость определяется погрешностях>и в ходе вычислений и множителями пропорциональности, с которыми эти иогрешности входят в сумарную погрешность. Регулярность замыкания, как правило, обеспечивает лишь малость погрешностей округления в хане 1'лава 9. !«слонпые ь«поды 1«я«свил краевых зада., вычислений. «1тобы множители пропорциональности не были Г>альшиыи нужна слабая чувствителыккть решения уравнений замыкания и возыущенияы кснффиссиесстов. ()днако и зппп, ваобп[е юворя„недас.'гаточно Нсл примере уравнения р> =- Л(у при ЛГ < О ыы видели, что зачасту>а решение дифференциальной задачи слабо чувствительно к такии воз«>у. щенияы, в то ирена как решение снточной задачи сильна чуж:твительно О 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем первого порядка Рштлютриы краевую задачу у' — А(л)у = Г(>.), Ву(О) = Ь. Ву(Х) .= сй> (1) здесь у, Г, Ь, с1 — векторы раы|срвогсей соответственно 1, 1, 1 — г; г, а А, В, 0 матрицы рвзыерпостей 1х1, (1-г) х1, гх1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
