Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Так няяываемый обратный ход ь<шцца прогонки заклкр<з<птя в следующем. Определяется вектор х(1) размерности 1 — г — решение системы Уравнений В(Я(1)к(1) + гг(1)) = <1 и при заданном х(1) решается в направлении убывания х зады<а Коши для системы уравнений т' = Лч 4-Яз (А+А )и+7з й 404 Глана 9. Численные мопв>м решения краевых задач Само решение задшш у(я) вычислиетня по формуле у(я) .=. п(г) -~- Я(т)т(х).
(8) Возыожен и такой вариант действий. Аналогично найдонныл> в прпцессе прямого хода метода прогонки функциям 7(х) и п(г), кош>рые мы обозначил> как Явев(х) и паев(я), находятся функции Яо,(с) и пп,(я), соотвпгству>ощие граничным условиям на нравоы конце огрезю> и>ггегрироваиия.
Значения решении в кождой >очке а находятся из системы уравнений >тноситш>ьно неизвестных значений У(т), тлее(в) и тор(Я)> У(з) = паев(х) т Улез(Я)клее(г), У(т) =- ппр(Я) + 7ер(х)тпр(а). (9) Здесь ълев(я) и тпр(х) — векторы-столбцы рвзмерппсти 1 — >' и г съотвегствепно. Чает удпбнее приыенить следующий метод орто>опальной прогонки Абрах>овв.
Краевые условия про>бразуют>я к ви,пу Ву(О) = Ь, РУ(1) = 4, шкоыу, чтобы строки матриц В и Р образпвывали ортопормироваиные систеыы векторов, т.е. выпшшялись равенства ВВт = Е, РР> = Е; >десь Š— единичяые лштрицы размерностей г х г н (1 — г) х (1 — >) со>тветственно. На отрезке (0,1! решаяггся задачи Коши для систел>ы уравнений Я'+ ЯЛ(Š— Ят (7Ят) >Я) = О, (10) п' — ЯА7г(ЯЯт)п — Я~ = 0 при начальных условиях Я(0) = В,п(0) = Ь в направлении возрас>виня в и при начальных условиях Я(1) = Р,п(1) = г( в направлении убывания Полученные решении обсзначюотся, соответственно, 7лев (г:), плев(з) н Я и> (и) пир (я) . Рел>ение задачи в каждой точке находится нз системы уравнений Улез(х) у(в) = плев(х), 7пр(х) у(э) = вщ>(з).
(11) В этол> методе строки ыатрицы Я образуют наиболее медленно изв>ышющнйся базис ортогонального дополнении к этому пространству. Упоыянем ряд фактов, свидетельствующих об определегшых втор>т ших> свойетвах указанных методов. Для этих метсщов выполняются, соответственно, равенства Ят(х)Я(х) = Е или Я(х)Ят(з) = Е, где Š— единичная матрица (1Х) для первого метода вьпюлневы неравенства ()н(х)(! < ))у(я))! (!т(! !)у(х) — п(х)(!' здесь )! )! — евклидова норма вектора. Для второго метода выполнено неравенство ))п(х)(! < ))у(х))!. С 7. Нелинейные краевыс задачи Вгледствие равенств (12) возникает соблазн отказаться от абрыцения сэатрнц В(х)Ят(т) или Ят(х)7(х). Такое упрощение чыто приводит к нежелательному расту погрешности.
'В 7. Нелинейные краевые задачи Существует большое сходство между лятадами решения нелинейных краевых задач и нелинейных алгебраических задач. В чынностн, так жг, как и в последнем случае, мы правсдеьс обсуждение различных ьгетодов, не приходя в конце концов к конкретной рекоьсендапин па решению произвольных нелинейных краевых задач. По существу, валкий раз решение нелинейной краевой зада'си сводится к решению некоторой нелинейной системы уравнений. Различные ыегсды решения нелинейных краевых задач отличаются выборам параметров этих вспомогательных задач и, е~тш отвеина, методам рапгения этих задач.
Рассмотрим простейший прилсер — нелинейнусо краевую задачу: найти репсение уравнения э:" — ~(с, х:) =0 при со (О, Т), х(0) — а = О, х(Т) — Ь = О. Предположим, что известно некоторое приближение к решению эы(С); в окрестности этого приближения справодлива разложение Дс, х) = (*(с, х.(с)) + ~ (с, х„(с)) (х. - х. (с)), поэтому представляется целесоабразныы искать гешэсующгн приближенна к решению х„ес(С) как репюние краевой задачи : „'„- (ЛС, х„(с))+ — (С, хь(с))(хикс(с) хь(С))) = О, сЧ .' э (О) — а=О, хь (Т) — Ь=О.
Рассьсагрим сеточную аппроксныацию задачи (1): — Дьь, хь) = О, Ь = 1,..., СУ вЂ” 1, :га — а=о, хи — Ь=-О; здесь 6 = Т/гс, хь — приближения к значениям х(йй). Пусть хс, Й = О,..., )сс,— сожжупнасгь величин, образующих и-е приближение к решению системы (3). В окрестности этого приближения справедливо соотношение у\у+ хь) 1 (сь хь) + э (сю хь)(хь хс )' 406 Тлавн 9. Численные лютоды решения краевых задач Позтоь1у следующее приближение отыскивасы из системы уравнений гпт' — 2т ~ г -~-т ьг :сг х — тг тй Ьх — (((ЬГо зь) -~- Уе(1ь, т")(т+' — ть)) = О, й = 1...., )У вЂ” 1, тс п=о, тл — Ь=О, (4) являющейся дискретной аппроксимацией (2). В 2 3 мы изучали приья пение методов стрельбы и прогонки для репгения таких линейных уран. пений.
Эта же совокупность уравнений (2) ствосвнльно снещ вяцого прнГхвнженвн к решению паву чптся прп фирма вьвом применении схомы метода Ныошна. Рж- «матриваам (1) как операторнсж уравнелио Р(нс) = 0; пператорои производной Р' будет оператор Р, опрсщеляоь~ый равслстваив Π— У (О т(С))г1 прн 1 О (О, Т), Ро = г1(0) прп с=О, О(Т) при Г=Т. Уравнение метода Ньюгоиа относительно тьш(1) звлвсгл1аегся в «иле т,"(1) — 1(1, хв(с)) + (т„ы(с) — т„(1))ь — у (О тп(С))(тьы(с) — в„(с)) = О, -;(О) — о+( в+ (О) — т.(О)) =О ть(Т) — Ь Е (т„т ~(Т) — яь(Т)) = О и совпадает с (2) Задача 1.
Выписать расчетные формулы мотала Ныстопа для системы (3) и убецитьюг, что они савпцца~от с (4). В обоих вариан*пхх, непрерывном и дискретном, ь~ы постраилв сначала иторационные метоцы (2) и (4), липеаризуя правуга часть, а потов~ убедились, что зги методы совладаем с итерационным методом Ныатопа. Заъгетим, что итерационный метод (2), кнк правило, ие может быть реализован из-за вевозмажпосги решения уравнения (2) в явном виде, и на практике имегат дела именно с мшццоы (4).
Меюд (4) может представлять практические неудобства нз-за необходимости хранить в памяти ЭВМ все значении т:", Ь = О,..., Ф. Поэтому часто прибегают к сведующему мепхду, который также будет изложен я непрерывном и дискретном вариантах. Исжщная задача будет решена, если будет найдено значение хо пров изводной решения в точке О. Решая зада~у Копти для уравнения х ,Г(1, х) при начальных условиях т(0) = а, т~(0) = тш получим решение на всем отрезке. Если решить зцдачу Коши при начальных условиях Ь 7.
Нелинейныс краевые зэка <и к(0) = а и произвольном я'(0), то получим значение к(Т), вообще го- во1ж, отличное от Ь. Значеяие л(Т) решения задачи Коши является не- которой функцией от я'(0): я(Т) = 7<(к'(0)). Таким образов<, и<жуй<ая зада<а сводится к решения> нелинейного уравнения Р(т'(0)) = ы(е (0)) — Ь = — О. (5) Нахождение значения Р(п) при каждом «требует решения задачи Коши :ге = <" (1, к), т(0) =- а,:с'(О) = и. (6) дГ(я'(0)) дэ.(Т) дв'(0) д<'(0) <1(1) — решение задачи Коши <1е —,1, (1, <с(1)) Г = О, <1(0) = О, <1'(О) = 1.
(7) Численно или аналити <е<жи решал эту задачу, находиь< зпаи<ние <1(Г). Поскольку задечу Коши (6), как правило, требуем рглпать численно, иссэслуем сразу дискретный вариант этого метода. Рассь<отрим <нточну<о аппроксимацию (3); зададимся произвольным к< и, пользуя<ь релуррентной формулой, вытекающей иа (3), хье< = 2хь — яь <+1<э((1ь, э<ь), 1 = 1,..., 0< — 1, (8) при начальных у<шовиях хо =- а, к<, находим сеточную функцию, удовлетворяющую сеточному уравнению и левому граничному у<лови<О.
Значение тг< ЯвлЯе<та иекотоРой фУнкцией от х<, лм = 1е(э«), вычисление В связи с болыпой трудоемкостью нахожлсния значения Р(п) прн каждом г для решения уравнения должны применяться не<оды, требунь щие вычисления н<бодьшого числа значений <)<упкций 1'(о). В ряде сложных случаев зада.<а решает<я в лиалоговом режиме; значение Г(п„) для каждого последу<ощгэю приближения пе вычнсляетгл ЭВМ, а выбор <ь,е< осуществлявши яссл<дователел<, ров<мослам задачу.
Подобного рода диалоговые си<лев<ь< прил<еняюил па практике <<ного снш<ший. В случае конкретных работа<ощих промышлешпэх систем руководит<шь часто подбирает внесение нее<, изучая рп<улыат работы сисгомы при ранее взятых значениях о<,..., и„. В случае артиллерийской стРеньбы вычи<леоие чначепий Г(пе) или мйнГ(пк) осУществлаег<Я пРп помощи посылки снаряда в цель, а выбор о„е, осуществлясгсн лицом, корроктиру<ощим стрельбу. Можно найти много аналогов гэких алгорит ь<ов в повседневной жизни человека и экивотных.
Рассмотрил< вопрог о решении уравнения (5) методом Ньютона. Поглжно формуле дифференцирования решения уравнения ел<рого порядка, справ<длине равенство 488 !'лава 9. «1вслжшые л«етодм ре«веюы краевых задач каждого значения которой производится с помощью рекуррентиого про- цесса (8). Таким образам, решение задачи (3) сводится к решению ска- лярного уравнения Е(х!) = Р(х!) — Ь = О. Предположим, что для решения агота уравнения испальзуепя метод Ньютона. Проднфференцировав (8] по т«, получим т д/(!см хе) «!ем =2«!ь Ос — «+!« -, ' да, й = 1,..., 77 — 1; дх« здесь Оь = дхь/дхь Крам«: того, им«нм дха да дт1 — — — =0; 1= — ' дх! дхч ' дх« (9) Таким обрезал«, при заданном х«, производя параллельно вычисления ха па формуле (8) и дь па формуле (9), можно найти ха (х,) и дхл/дх« = «щ и осуществить следующий шаг метода Ньютона: — 1 (РО) Если соотношение (9) переписать в виде 71 29ь + Ч вЂ” д/(! хь) 0 де=О то она превращаешься в разнастную схему, аппрокснмиру«ощую уравне- ние (7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
