Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Вск>ду в двльнгйшелс прелпалагается, что ршп ыатрнцы В равен 1 — г, в ранг матрицы В ранен г. Прежде чен отыскивать практически пригаднлле ыоп>ды решения задачи (1], абсучилс вопрос о чужтвитольнасчи решений краевых звдшс к разного рада вазыущсннял>. В качестве надели возьмем краовук> задачу у' — Ау =. О, А = савей Ву(О) = Ъ, Ву(Х) = с1. (2) Рассмотрим случай, когда все юбственнья:иишенив на>рицы А различны; в абсцеы слу иис ход расгуждеиий изменяется несущжтвенпо. Пусть Л = и .ь 1В> — собственные значения ьшт)ищы А, .упорядоченные в парнике возраслапня аь а е - соответствующие собственные векюры, причем ((е>((.= 1. Общее решение систаыы у' — Ау = О запишется в виде у(г) = 2с е ехр (Л .с) Собсп>енпые зна >сипя Л.
разде>ппя на три груш>ы, присваивая собственныы значениялс кажс(ой грузны сао>впгствующий верхний индекс. Сабственньсе значения Л>, для которых величина ехр((а>(Х) очень болыпая, абозначаеы как Л+, если а > О, н как Л,, если о < О. Остальные собг ' > > огненные значения, *г.е. те, для которых величина ехр((а (Х) не очень вешска, обазпачаеы как Ло. Соответственно снабдим верхнилш индексаыи >' собствевные векторы е>, суыыироваспсе по лщдексаы )Л сосггвегствующиы о этилс группаы, будем обозначать ~, ), ~ . Пусть 1л, 1", 1 число собственных значений в сопгветствусощих группах. срорыа зшшси решения (3) ставит в неодинаковое положение концы отрезка интегрирования> все функции ехр(Л в) в п>чке к = О имеют порядок 1, в то иреыя как 4 5.
Рбсужденае носгановок краевых зад ш Выпишем систему уравнений Ву(й) = Ь. Ру(Х) = с1, из которой следует определить постоянпыс с, гоотвеп:твуюшие отыскиваемому решению: о Ву(0) = ~ с, Ве. + ~ ссВео+ ) г~Ве ехр(-Л4Х) =Ь, а Ру(Х) = ~ с"Ре ехр(Л., Х) -1-~ сбРеоехр(Л~~Х)-~-) сГРе+ = с1. (4) Систему уравнений (4) можно зя~игать в г)юрис Сс= и; с = (гг',..,, с!~)т, й =-(б!,..., Ь! „, г!и..., й! ) здесь матрица С имеет клеточный вид: 1о в котором клетки записываются следующим образом: ((Вег)ч], 1<1<В', !<с!<1 — ~", ((Веге)ч], Г < ! <1 +1в, 1 < г! <! — г, НВ г)ч ч1( — ЛгХН, ! +1'<)<1, 1<4<1 — г, ((Ре )еехр(Л ХЦ, 1<!<1, 1<4<с, ((Ре.) ехр(ЛоХ)], Г < ! < Г 4 ус, 1 < 4 < с, ](Рее) ] 1-4!о <! <! ! « , С, = е Сг = Предполсоким, что !!г = г1егС ф О, е предсгавиы решение системы (4) н вьгле с = С 'й.
Согласно известным формулам злементы обратной ьягтрицы имеют вид (б) в точке г = Х одви из них очень Геггыпнс, другие очень малые. Удобнее другая форма записи общего решения: О У(х) = ) сг ег ехР(Л:г) +~ гоеосхР(Лет) + ~ г+егсхР(Лг(х — Х)) Глава 9. Чисвенные методы решения краевых задач 44й где Сц миноры матрицы С. При гфорыулированных ранее предположениях величины ехр( — Л~Х), ехр(Л Х) ни'пожно малы, п<нтол<у ни. чтожно малы элементы матриц С< и Ся н определ<пель близок к определителю / с< с" ,о о с с:,' Рас<ь<отрил< отдельно случаи: а) определи<ель <Зе ве мвл; б) определитель йо мвл, в чвсщнхзи равен нулях Поскольку среди эпеь<ецчов матрицы С нет больших, то, вследствие формулы (5), я случае а) элементы матрицы С < обычно ве очень большие.
Предпол<нкнм, что правые чанги тряпичных углоний Ь и б <юдержат некоторые <югрешиогти бЬ и бнй Пусть бй = (бЬ, бб)т, тогд«погрешность вектора с равна С <бй. Если взел<виты матрицы С < не очень велики, то нлияние погрешности бй на ком)и)<нцнгнти с будет не очень большим. Решение задачи янлиет«:я линейной комбннацие»1 с к<нффнциентами с. <шагаеыых е. ехр(Л.
х), ез охр(Л<х), е«'ехр(Л«(х — Х)). П<нтоыу погрсппюсть приближенного решения, явлиющая<я следствием погрешностей бЬ и бб, закже будет прис»о<смой. Заметим, что п«п<и вы<шпыввния я<к ят давольно неопределенный характер: «мазый», «очень малый», «небозыпой», «очень большой»; при ш<елнзе конкретной задачи исслепователь Лолжен сзм решать, нм:колько приемлем дзя него тот или иной поряжж рассматриваемых иванчин. В часгнссги, »с ш решается <мс<ема болыпо<о» порядка, ю при «умеренных звачсниях коэффициентов сисшмы и «не очень»<ало»<» опрелелителе <Ге возм<экно, что миноры, состоящие нз сумм прож<венею<в бовьшого числа эле»<ентое, окзжушя «недопустимо бозыпими».
Если определитель <Зо очень мал или равен нулю, то, вследствие равенства йейсб<дс = Ь среди элементов матрицы С < встретятся большие. ТЬгда малые возмущения правых частей граничных условий могут приводить к большим в<пмущениям коэффициентов сч а следовательно, и решения задачи. З 5. Обсуждевие постановок краевых заЛа < 447 Зная элементы матрицы С и габствснные зн<»<ения л<втряцы А, из -< полученных выше соотношений л<ожно палучитл довольно точную информацию о возмущении решения диф<реренцнальной задачи. Однако получение этой информации «амо по <тбе требует больш<»го обьема вычислег<ий; перенос этих построений на случай переменной матрицы А(х) потребует еще большего об'ьема вычи<шений.
Попьппемся поэтому получить критерии устойчивости решения к нозмущепиям б!» и б<) качествснногп харакзпра, требующие меныпей информации о зэ»<а<с, хотя, пожег быть, и иескш<ъко менее надежные. Таким критерием могут служить со<аношения ыежду чи<шами 1, 1, 1, ! — г н г. Среди элементов первых е 1 — г строк матрицы С ненулевые »пол<виты могут находиться в пер,е вых 1 41а столбцах, соответству<ощих матрицаы С<, Сс<. Если 1л > г, тг» Р +!" < ! — г, и тогда асс миноры порядка (1 — <) х (1- г), ле»кащис в первых 1 — г строках, обращшотся в нуль. Раскрываи апредалитпаь <Ле по парным 1-.< строкам, иолучаел«»э=-О.
Точно так же, если 1 >1 — <., то все л<нноры порядка < х г, лежащие и последних г строках, обрап<аются в нуль, поэтому Аю = О. Если 1» «., а ! < 1 — г, тп опрсдел»ггель <Ле окажет<я линейной комбинацией произведений элементов матриц В и В и к<юрдинаг собственных векторов е, причем коэффициентами при этих пр<»ж<ведениях будут произведения чи<пл ех!»(Лс<Х), ве очень Ухл»ыпих и не оченл ыаленьких по ыодулю. Можно принять г»п»сапзу, что этот определитель оказывается лпшыл< числом довольно редко.
Тогда решение задачи (2] будет мало чуиствительш» к веал<ущепияы 6Ь и бд правых частей граничных условий. Мы можал< гформулировать полученные иь<ноды в качесгне ске!<ук»г»<его прсдложшшя. Если 1< >г или ! >1 — г, то ре<аекисдифф<рекциалъкой зада <и сильно чувства<велько к возмущениям <Опек:с частей греки"<киы условий< если)ь < г, а1 <1 — т, пю, лпк и!<<зало, ре<аение задачи (2) буди« мало «!агтеителъно к измекекилм прн»ьп; частей гроте<кис <!слоеии.
Первую часть этого утверждения можно переформулировать еще в такой <)н»рл<е< длл .малой <рве<пег»гаельнасга<г .задали к еозл<ри1<»<г<лм .<ракички»: условий необходима, шлаби чис»ю независимых часпшмх ре<иекий е» ехр(Л<х), сильно !<<со<ба<их иа (О, Л) с растая< х, кс пр< восходило <исаа грал<никит условий ка щпеом конце, а числа частных ушлет<й е ехр(Л,х), сильно убъ<ва<ап!нх ка (О, Х) с росным х, ке превосходило <исаа граничных, условий <т левом конце. Эта формулировка ири определенных уточнениях может быть перенесена и на случай задачи (1) с переменной матрицей А(х). Строгая п< реформулировка этоге утнерждепия будет доиольно граыоздкой; однако если элементы матрицы А(:е] атноситп»<ьно плавно ысняютея па (О, Х), то при первоначальяом исследовании устойчивости задачи к возл<ущениям граничных условий зачастую можно огравичиться подсчшпм числа собственных значений матрицы А(х) с большим положительным и бальшим отрицательным значениями величины Х Ке Л» (х).
Глава 9. Чишегнные леетодье решенюе краевых задач 446 Краевую чэдешу называют хоро>но обуслоелеииои (хора шо ею<ее>ос>>ее>ее>>>1) шлв малые возмущения келчффвциснтои и правых чшггсй уравнении и грани еных условий >>рива>щт к столь же малыы па порядку изыенениям решения зады>ее. Более аккуратное определение хорошей обусловленности можно дать следующим образо>>.
Наряду с краевой ведшей (1) расс>>ее грим краевые задачи у' — (А(х) 4 6А(г))у = Г(ее) Ь ЬГ(г), ()) -У 6В)у(0) = Ь-У 60< ((3 У Ы3)у(Х) .= 4 + бб с пе очсеп, большой мерой вепмущения г = шах ()[ЗА(х)[[ -1 [[ЬГ(т)[[) т [[БВ[[+ [[Ы)[) + [[Ь(>[[ -:- [[бг([[. е< 'х Если для агах рошоний таких краевых задач выполняютгя исравснсгва пеах [[у(:г) — у(т)[[ < ВХс э«.х (6) с не очень бгшьшим значением постоянной М, го исходную задачу на>ываэуг хороию обуглоелснноц, в противном сяучве задачу нвзыввн>т плохо абйслоелсниаб. Минимальное значение 31(ге>), при котором неравенство (6) выполняется ири всех с < со (сэ > 0 фикгиранано)е иногда называют жсроб ебуглаолеюеосиш данной зв>иши (относите>п,но возмущений с нормой, не большей со).
Обусловленность задачи характеризует устойчивость решения к возмущениям исходных данных, напримор к нвгочпгхли задания ковффициеегп>в уравпепвя. 11оскальку пагрсшнагти от округления при вычислениях эквивалентны возмущениям коэффициентов исходного уравнения, то мера обусловленности характеризует и устаэчивгють чиешсинога решения к возьшжньем округлепияы при численном решении. Если известь>а ориентировочная оценка с возмущения кеоффие>иве>тон задачи и погрешность порядка МЯс допустима, та имеет смысл несо. средствепиае чиглепное решение задачи. Рагсматрим в «ачостве примера задачу Каши для сис>емы у, '= Э>, у> = у> при Эе(0) =.
1, э>(О) .= 1 на отршкг [О, 30). Собсгвшшые значения матрипы А=( ) равны Л1. Величина ехр( — 30) очоиь малая, а ехр(30) — очень Гюлылвя, 1 1, 1э = О, 1е = 1, е = О и 1 = 1 > г = О, Поэтому малые эшиушеиия граничного условия должны приводить к очень Гх>пылим изменениям решения. В данно г еучае проволивп имя «еми в эео пара>рафе построения не имеют стсбаго гмыг еа, песка.еьку и бгз них ягно, что, вследогвне сшп ного роста решений потопного линейного уравнения, погршпн<хть решения растет очень быстра. Пусть лля той же системы рассматривается задача с краевыми условееями Ьещ(0) + Ь>у>(0) = Ь, фв>(30) + д>Ш(30) = ф собственные веки>ры, <хютветсгвуюшие собственным значениям Л, = -1 и Ля = 1, равны соотвепхвенна 449 Ь б.
Алгоритггы регпеиии краевых звлач (!, — 1) г и (1, 1)ч, !г =, ! = ! — г. Восбвце говоря, слсцует ожидать, что задача будет ус юйчивв к возмугценивм Ьь и Ьг). Решение отмсквваеп л в виде с, ( ) ехр( — х) бг", ~ ) ехр(х — ЗО). Уравнения (4) имеют вил (Ьг — Ь)1+(Ь +Ь);+, гг( — ЗО)=Ь, (г1т — г!г)с, гхр( — ЗО)+ (ф ьг) )гз = И. Очггош б(г), .1- 4 ) — 4(Ь1 + и) ехр( — ЗО) 1 гь 4(ьг — Ь!) — 1~0! — гь!) ехр( — ЗО) г и тле гь = (Ь, — Ьз)(ф чцг) — (ф — !г)(ь~ -~-Ь~) схр( — 60) близко к бе = (Ьг — Ьз)(цг + Из).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
