Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Приближения к функциам р,(т), ! = О, 1, 2, находим каким-либо численным мооздом решения задачи Коши, затем осгределяем Сс и получаем нужное решение. Экономнее поступить следующим образом. Находим частное ращение неоднородного уравнения рс", — р(х)ра = )(х), удовлетворяющее условию уо(0) = и, и частное репсеиие однородного уравнения у,(х), удовлетворяющее условию рс(0) =- О. Обпгес решение неоднородного уравнения, удоалетворшощее условию р(0) = о, имшт вцл ро(з) + Срс(х); значение С зпределяесс» из условии ро(Х) -!- Срс(Х) =!с. 429 о 3.
Решение простой!ней краевой сеточной золччи Метод решения краевой звз!ш!и, соатвегству!ащий этой схеме, принято называть ла!тодом стрельбы или методам прас!врезка. Сеточный аналог этого метода заключается в следувяцем. Задаемся ро = а, ро —- - О, произв вольными р,' зг О и р!о и из уравнений о о о (ря) = — ! — ' — р-р. = ~, ьз 1 2 ! 1(р,',) = РЯ" "" ""— ' — р„р„' =- О, УР (2) последовательно определяем рз,..., рк, рз,..., рн. Затем находим С из уролнения рь.+Срл —— 6 и полагаем р =рч-1-Сргд функция рв явлаетсв О 1 требуемым решением.
Иногда значения р' „! = О, 1 не хранят в процессе вычислений, а после отыскания С наход!гг р! = р -!-Ср! и зател! последовательно опргделя!ат о ! рз,..., рл — ! из уравнения 1(р„) = („, Описанный алгоритм формально применим при любых значвниих р! и р!! однако д!и уменьшении влия- О 1. ния вычшлительной погрешности разумнее взвть ро = а-!-0(й). Ра!смотрим и!щельнсе уравни!ие р — р(т)р = О, р = соне! > О, т, Е [О, Х). (!1) Получаемые при реальных вычислениях валичины р,', свизаны равенством р,", ! = 2р,*, — р,'„, + р!! р,*, 46„; 2 * наличие слагаемого 6 в правой части обусловлено округлениями.
Вычитая отскда (4), получим уравнение относительна погрешности Ь„~~ = 221„— 21„~ + рл д1, + д . (5) Рассмотрим слепующую модель накоплении и!ирешности! бя = 6 = салос н !югре!пности в ро и р! отсутствуют, т.с. Ло = !2! = О. Уравионио (5) можно перелагать в виде 21„+, - 221„+ 21„, 21 Ьг =Р +Ы Ы= йз. (б) Решении соотвстствуквцгто однороднага уравнения р(т) = ехр (ль/рт) сильно возрастшот (убывают) на рассматриваемом участка, ели величина !РХ достаточна велика. Таким образал1, при р > О величина грХ является парвмшроь1, существенно влиякяцим на характер накопления вычислительной погрешности.
Рассмотрим накопление вычислительной погрешности на одном из щапов решения сеточной задачи. Пусть уже найдено значение р! и далее вычисления прсх<щят па рекуррентной формуле р„.„= йр — ря, + р)!' р„. 2 Глава 9. Численные методы решения краевых задач При ы = сожзг, совокупность соотношений г3е = Ь~ = 0 н (б) образует сеточную задачу, аппроксимирующую задачу Коши гХл = Г 3+ щ г3(0) = г3'(0) = О. Можно проверить, что условия теоремы из 3 8,10 выполнены, поэтому решонив этих задач будут близки: сЦ /рз: ) — 1 Ь сг(аы) = сл (7) р Асимптотическое равенство понимаетсз здесь в обычном смысле: Ам/г3(ва) -+ 1 пРи 6-э О, г/Р, в = сопвг, к„т О.
(8) При умножении и на какой-либо множитель на этот множитель умножится как Ь„, так и Аг(з„), поэтому (7) и соствьтсгвенно (8) справедливы и при гг, зависящем от Ь, т:е. в рассматриваемом случае сЦ Грэм) — 1 рйз Рассмотрим числовой пример: р = 10, вл ж 10, 1~ = 1О З, 6 = 10 з; тогда )па( > РО и нельза Рассчитывать на полУчение Рсгненив с РазУмной точностью, Отметим, что знагенне величины,/рва, определившее столь большую величину накопленной вы ~иглительной погрешности, было не очень болыпим. Прн естественной нумерации неизвестных рс,..., рн система уравнений (1.3), (1.4) записывается в виде Ау = с, где матрица А трехцвагональвая.
Напомним, что матрица А = (ао) вазываогтя (2ш .1- 1)- диагънальвой, если о„. = 0 при )г — у( > т. Для решения систем уравнений такого вада часто наиболее целесообразно применять метгщ Гаусса прн естественном порядке исключения неизвгспгых. В случае, когда этот метод применяется для решени» систем уравнений, жжникающих при аппроксимации краевых задач, его называют методом прогонки. Приведем конкретные расчетные формулы метода прогонки в случае шстемы (1.3), (1.4).
Представим граничное условие рс = а в ниде ре = Серг 4 що, где Со = О, 1ас = о. Подставляя ро = Сорг -~. угс в иерею уравнение системы [1.3), (1.4) ро — 29~ + рз -рЮ =/и получаем уражгение, связывающее значения р~ и рз. Разрешая это уравзеиие относительно рп имеем р, =Сгрэ+ рг, (9) где 1 Сг = 24ргьз' юг = С ( — /1з).
431 13. Ре7вение арссгейшей краевой сеточной задачи Пгщсшвляя полученное выражение р, через рз во второе уравнение системы, получим уравнение, гнязывшощее рт и рз, и т.д. Пусть уже поЛучено соотношение Р„= С.р„„+ Р.! (Рб) подставим выражение рв в (и+ 1)-е уравнение системы (1.3), (1.4)! Ю вЂ” 2Р .1!+Рв!г -Р !!йе+1 = Уче!. Разрешая получившееся уравнение (Сарае, -!- Р„) — 2ре 1, + рв!2 1,2 -Р ЫР 2! = 1 21 саносительно р„11, иьгеем Р е! = С е!Рм.2+27 +11 здесь 1 С +! 2 ьз С !две! С +1(Ф Учт 111 )' г 2+р.„й -С„' Таким обраэзм, козффициегггы уравнений (10), связывающих последовательные значения р„и рв.!1, можно определять из рекуррентных соотношений (11) при начальных ушгониях Сс = О, у:о = а.
Так как рл известно, та после нахождения всех коэффициентов С„, !д можно попчедонателыю определять ри 1,..., р! из соопюшсний (10). Процесс вычисления кож)ь фициентов С„, 1о„принято называть прдммм ходом аровонюз, а процесс вычисления неизвестных ре - — сбравшмм ходом прогонки. Последовательность производимых вычигленпй можно изобразить следу!ошей схемой (ва втой схеме а -1 Ь овне вют, что значение а используется при вычисвении б)! прямой ход прогонки ря — 1 1 — 1" — 1 Сч! +''' 1 22л ! т Са Рл-1 +- Р!У. 1 !си — 1 Названию чиетсд посгоняв! иногда нреддагаегся 1ледующев объяснение. Уравнение р =С р .!т+!и Рз С =0- С 4 1Да = а -! !Д! т .(! обратный хад прогонки С! Сз Р! + Р2 'Д1 227 Рз с.
-Ф 222 .(7 Глава 9. чвгььенные методы решения краевых задач 432 получено как следствие граничного ус юаня в тачке г = О н уравнений системы (1.3). соььгветствуюших то «нем х, < зм. таким образом, это равенство вьшсжнено длн любого РешениЯ свггемы УРавнспий Цуь) = Ььч У = 1,... н, Удовлегноряикцвь о левому граничному ушьовикьь граиичнью условие в то пьс ьь = О «перегонявгся» в гекушую точку ь: =. х„. Применим ьшн решения системы (1.3). (1.4) мигол Гаусса при по1»ядкг ььск~ььочгния неизвестных Ре, уь,..., .Р», уь. Пз пере» о урашьения выралшем Р. чсрш у, в пспстжюьем н остальные уравноння.
После этого во второе уравнение входя г ьшн ко неизвгствые Рь и Рз, 'выражаем уь чс1хз уь н ььоььстыльяеьь а остал»я»ив ураанжшя н т.д. Пуси уже выразили червь Рь неизвестные ьг,, Р„и получили соьнношевил Р. = о,уь ж Вь прн 2 < ) < ьь; длв олинсюбразня добавим саша 1ывенства ььо =пор +Во, тле ос=О, бе=о. Рь =оьрь жбь, где оь — — 1, Д~ —— О.
Подоиьвляя вырюжнин Р„ь и Рч в уравнение Р„=, — (24 рай )Р,„+Р .ьь = Х,)ьь, получьш (о„,у, 4 Д, ь) — (2+Р lр)(парь Чь л) жу«ь =- Т«1»ь, или Р„Ь.Ь = Ол»ЬРЬ т)1» Ь„ где == (2 ч- Д, »ь = (2-~-Р й~)(܄— В(„ь т Т«1»ь. (12) Такнм об1»азом, коэффициенты ььв, В)в »южно пснледоввтельно зычно»ать но рглурревтным формулам (12). Пьхш получения гоотпошышя Рл = »синь '- дч опРеДелаом значение Рь, а затем всь Р„по фоР»»Улам ьуь =-о,у, т()ь. Вследствие (12) значешьн о удовль"гворжот однородному хозе»но-разнос»- ному уравнению (2) и начачьным условиям пе = О, ьь, = 1; значения ьбь— неоднородному конечно-разностному уравнению (1] и начальным условиям Д = а, Д = О. Таким образом, о„с«впадает с Рьг а б„— с Р"„в ми»оде стрельбы при определенном выборе начальных условий.
Фуьькция л„= п„С.Ь- 11«»дььвлетворььст неоднородному колечво-раьностному уравнеиьпо и левому граничному условию при любых С, причем зь = оьС+ььь = С. Следовательно, репьая уравнжьие Рн = аь»С+ )Ун соноглгюльььо С, мы как раь находим значение С = Рь, которое отыскивалось в методе стрельбы. Вычисления по формуле (13) соогвсчствуют вычислению зьгачений у„по формуле Р„= Р' С .1- у,",. Пою ченный метод совпадает с методам стрельбы при Ро=о Рь=б но=1.
Рь=б. о Задача 1. Выписать расжтньи; ь)юрььулы метода квадратного корня в случае решения рассыатринавмой сиштлпя. Сравнить трудов«»кость этого метода с трудоемкостью метода прогонки. 433 13. Регпение щюстейшей краевой сеточиоа ээлачи Решение системы (1.3). (1А) описанными выше ък.годами требует С(!у) арифметических операций; если при решении шой системы обратитьгя непосредственно к станчаргной программе метода Гаусса, то число операций будет порядка 0((дз)! эш количество операций состоит из С((У) содсранапшльиьл онериапй метода проц!нки и С(лгз) иссодс1ь жлгпслы!мз операций умножения (деления) нуля на некоторое число, и сложения (вычитания) !!пух нулей Таким образол!, хотя содсржанльные операции при решении этой системы методом прогонки и по сшндартной прэц!аммо ьгегода Гаусса одни в и же.
нспшшзование шшдшрпюй програмлгы прииодлт к супзхтвенпому уэеличенню затрш на решение задачи. Текст программы метода Гаусса можгш быть преобразован э !оке! программы метода прогонки, если в прообразоэаниях над счроюпп! и ст<шбцами матрицы изменить начало и конец циклон так, чтоб~ искл!о. чшь неглдоржательные операции. Рассмогрил! теперь глучай, когда при я = 0 имстм граничное ус!овне д'(0) — мд(0) = и.
В 3 1 при ото аппроксимации возникло урлшненио, связывающее значения де и дг; э'ш уравнение может бьггь записано е виде де = Сед! -1-|ре! (14) д! Ре например, простейшую аппрошимацию ' ' — аде =- а можно парений 1 ой гать и таком видо при Се = * зэе = — .
Далю вычи<ляом 1 4 об* 1 4 нй С„, дя по формулам (11) при и = 1,.... )д — 1 и при обратном ходе прогонки дг! н..., де по формулаы (10). Если при т = — Х им!ем граничное условие д'(Х) + Вд(Х) = Ь, то аншюгично (14) имеем уравнение Ог!уп!счггвляя прямой ход п1югонки, получим равенство Решая систему (15), (1б), находим дьч дн ! и затем поснщоеательно вычисляем дл з,, де по формулам (10]. При аппроксимации краеяых зэдтч для уравнений эыгших порядков или дл» систем дифференциальных уравнений пояпляюгся сисшмы уравнений Ау = с с (1, э)-дпаэональии ни мои!Репами А; матргщу А = [ад) называют (1, з)-дагонольной осли а, .= О прн 1 < г — 1 и при у > г+ э. Для Регпения таких уравнений также доеольно часто бывыт целесообразно пРименять ма!од Гаусса, алгоритм коюрого может быть записан аншзогично методу прогонки в виде савокупносги рекурреитных формул.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
