Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 85
Текст из файла (страница 85)
В ш«учао, когда (1) — скалярное уравнение, вместо (10) мста целесо- образно вычислить дхл/д:«:«по прибяиженной формуле дт.'т хн(х!) — тл(хг — «з~ ) дх !' «2 в частности, можно брать ь« = х — х Заметим, по в случае непользования формулы (10) и вычисления производной с помощью (11), нужно обращать внимание на разумный выбор величавы Л„(сь«, 8 2.!6), поскольку величина погрспнюсти зна- чения хл(т«), получвел«ога путем численного интегрирования, чела ока- зывается довольно большой.
Рассмотрим нелинейную краевую задачу у' = У(х, у), В(у(0)) = О, П(у(Х)) = О, (12) „,)т Н р„б! )т )ч (д, д )т Пусть функции дг(у(0)),..., д,(у(0)) таковы, что система уравнений дг(у(О)) = О,..., 8, „(у(ОП =О, д,(у(О)) = д„..., д„(у(0)) = д, 1 7. Нелинейные краевые задачи 459 сагназна ~но опрсделЯег вектоР У(0) = ма(й),0 = (ам..., д,). ТогДа задача (12) мажет быть сведена к сисгел1е нелинейных уравнений относительно параыетрав ды..., д,. Довольно часта грани шае условие в точке 0 имеет вяд р,(о) = О,..., р, „(О) = о; тогда в качестве дг(у(0)), .,д,(у(0)) целесообразна взять уы,е~(0),..., у~(0). Таким абразоы, здесь в качество искоыых параметров выступают неизвестные компоненты решения в сачке х, = О. Решая систему (13) при каждых дн, .., д„, можно определить вектор у(0) = ьв(й); решая звд;чу Коши при начальном усховин у(0), определяем у(Х) = их (0) и затем вахадиы зр(й) = П(ых(0)).
Таким образаы, решение задачи (12) сводится к решению нелинейной системы уравнавий в'(О) =- О. (14) Значительную группу негоден решения нелинейных систем сскчаавяют методы типа метода Ньютона, где наряду со значениями функций Уа используются значения их производных дз/4/дда. Наибовее распространены свсшуюгвие два способа нахождения этих производных. 1. Для определенности рать пойцсг о вычислении производных дф,/ддь Пусть мы задались значсниял1и дам..., де.
Из сисшыы уравнг. ний (13) вайдам соответствующие у~(0),..., у1(0). Дифференцируя уравнения систеыы (13) па дм получаем систему уравнений для отыскания производных дрз (0)/ддн дрь ~; ду,(0) ! дд, ~; др,(0) 011(0) дд1 дуд(0) ыд,~ю за=1,...,г. дд1 ду(х) /дрз(х) д14(х) ) дд, ~дд,'"' дд,/ удовлетворяет свстеь~е дифференциальных уравнений д (ду(х)) ду(х) [д/з~ (10) Решение системы у' = 1(х, у) при нашльных условиях уг(0),..., у~(О) Явлаетсв фУнкЦией от паРаметРов двй вектаР пРаиавсДных Плака 9. т1кглепвые методы решения краевых задач 460 После численного решения этой сносимы пслучввм вектор ду(Х)/ддь Те- перь можне найти производные - бдз /)гб(Л') / бу(Л)1 ддз ~, др Эд, (т " д'д, ) (1б) Этаг путь может быть целесообрвзегц склеп наг1рплзер. многократно 1х.
шаегся задача (12) при одной н той же правой части /(:г, у], но прв рэзли*пзых граничных условиях. В юшестве стандартного метода определения производных агут/дд, этот ыетод неудобен теле, что наряду с написанием программы вычисления правых частей уравнения ол требует от пользователя также па. писания программы вычнглзлня производных д/з/дуг 2. Для большингтна итерационных методов решения систем уравнш ний чребупгся вычислить значения производных правых частей лвшь с уыоренной точностью.
Пазтолзу для нахождения этих производных можно проста воспольэоватьгл какиыи-либо формулами численного дифференцирования, н~шример, простейшей: Всь(ды ", д.) Мдз ь /1, ", д.) - у7 (д~ ", д.) г(''"д (йгз(дм", д.) дд, й/,дг,..., д,) ",уь(дм -,д.)+ ' .' ' ' (дг — дг)) ддг (см. подробнее з 7.3). Так же как прн решении линейных краевых задач, возникает вопрос о применимости метода в условиях реальных округлений. Если решения г1 системы УРавнений в ваРналиЯх дз = Уэд сильно РасгУт с Ростом ат Вычисление производных д/л/ддз по этой формуле требует геолого~игольно (по сраэнонию с нахождением значелнй з/Ь(дп..., д,.)) еще одного численного решения аадачи Коши, соотвс гствующой парамеграл~ дз+гх, дз,..., д, Поскольку прн численном нахождении значений функций чч может иметь ыесто большая погрешность, которая еще более возрастает при делении на Рч здесь следует обратить пипл~ангес па разумный выбор сх.
Для описываемого ыетсда типично сщновремеиное нахождение произнодных всех функций з/Л по фиксированной перемонноуз д; позчому здесь может оказаться рэзуыпым прплюпенио итерационных процессов с поочеродным уточнением параметров д . Можыо прзщссавить себе такой итерационный процесс: параметры д угошшотся в циклическом порядкгз уточненное знаюние параметра д выбирается из условия минимума некоторой функции т й Аппроксиыш«л«и специального тапа то погрешности в значениях дт и вычислительные погрешности при шсленном интегрировании приводят к Гкшьшил«погрешностям в знечониях функции «(ч; зто в конечном счете приведет к большой погрешности получиемога ршпения. Если такая погрсшвскть окажется нсдопустиллой, то следует ввеьчм иную пврвметризвцию задачи. В нестоящее време в вычиглетслылой прекм«ке получили респрсктренаиие мс" годы, занимающие промежуто шос о«хожение люжлу мета;Ыми, сшнвстствуюшимн форнулвм (3), Юле в квчесше неизвестных сервлипрое выстушоот зввчення решовия ва всех узлах сетки, и оплювлшым вьоее м«подом, лде в ке— ч х'твг в«язва«'гных першлют1юе вы«тупеют знвчения ь«гш«:ния в ОднОЙ тчг!ке 3'шеютш точквмв О = хе < тл « .
л„, = Х тикил«н, по ~«е отр«мкех [х, н х ), « =- 1,..., т, решения си«темы уравнений в вврнециях не о квь «ильно еозрлкте~от кзк прн продвижении в овпрввлшши паложипльных г, так и при продвижении в непрввленеи атрицетельных г. В кечы"и» отыскшпюмых пврнметро» привимшотси неизвествыс компованты решения в точкзх «е н .г„« и знкченин решений н точюх хм ..,, г«,, (белес п«шробво гм. [1)). При арвктическам решенви конкретных н«шинейвых задач лля обыкноыниых диффероициельных урнвнеинй.
квк и в «тучее лругих иепивейных задач, «бычно приходится звнимвтьгя «доводкой» л«стопе: предлшвегси какой-то специальный л«ет«лл получения иечктьиого прибеижени», который з тел«мсдорнизируетск г целью расширения абкжти ьплчктьнз«х условий, при которых он схолитгл для ленного конкретного клвссв задач. В ряде случвеи метал решения строится вутем имитщин ив ЭВМ метолав, ветре яиощихся в живай природе, или применяемых првкткклми лля ращении зедвч денного класса. Е«шн регсмвтрвввемек крмвш~ зедвчк является задачей нв вкстремум яекоторого функ«шанкен, то лкхалный фуьп«пионел првближветси функцишпшом, зевль гяшим от конечного числа перел«атрее, и путем линаврвшщив погледн«чо получают лшхюпчио хорошш приближение.
Пряж ры п«лобных функцвонсшон дзя случая линейных задач будлч рассмотрены е 'т 11. В 8. Аппроксимации специального типа Рвссмотриы к[званую задачу (й(х)у'(х)) — р(х)у(х) = 1(х), у(О) = а, «у(Х) = 6, (1) где р(х) > О, й(х) > йе > О, й(х) .- трижды, р( с), ((х) — дважды непрерывно дис)~ференцируеиые функции, зв исключением конечного числа точек, где зги функции или их производные Й', й", йи', р', р".
1', (в люгут иметь разрывы первого рада. Пусть Л, Р, Р—.множестве точек разрыва соответственно функций й(х), р(х), у(х) или их производных, П = К1з'РЫР. В случае уравнений с резрывныыи козффицнентвыи нли ршпениямн иногда не ясзю, квк понимать уравнение в точках разрыва. Д«ш Ус«пения Глава 9. 1нслевные методы решения краевых заде> этого вопроса следует обратнтьсн к интегральным соотношениям, обычно называемым законами сохранения, из которых были получены рэссл>атри- ваемые дифференциальные уране>ч>ня.
Уравнение (1) с разрывныл> й(х) обычно возникает ич интегральноп> соотношения (р(х)Р( ) + Х(х)) 1х = Р(х)Р'~ а (2) которое выполноно лля любых х>, хт б [О, Х]. Если хз — > хе -~-О, х, -> хе — О, то левая чэегь стремится к нушо; переходя к пределу в правой части, получаем, что > 'а>о й(з>)Р'] = 0 для любых >се б [О, Х]. ха — Е (й(х)Р'(х)) = 1Р"(х) + Р'(х)Р'(х) н аппроксимировать его выражевиеы Рн-1 2Р 1 Р -1 1> 19 +1 Р— 1 Дело в том, что хегя в области гладкости коэффициентов погрешности апп1юксимапди порядка О(л~), но условие 3) нс учтено прн построении исходя из этого состноп>синя, решенном зцлачн (1) будем называть функцию Р(х), удовлетворяющую следующим условиям: 1) Р(х) непрерывна на [О, Х]; 2] Р(х) удовлетворяет уравнению вшоду па [О, Х], за возможным исключением точек множес>ва й; 3) функция ю(з;) = 11(х)Р'(х), нвзывэол>эя >кваском, непрерывна пэ, [О, Х]. Из условия 3) следугтэ что функция Р'(х) = о>(х)/>а(з>) пепрерывоа вс>оду, за иск>почениом точек разрыва функции л(х>)1 в этих точках Р(х) будет иметь разрывы первого рода.
Расслготрим сначала равномерну>о сетку. При и целых и полуцелых будел> употреблять обозна>ение ха = и!ц д: Х = »>11. Можно показать, пт> такое ро>пеоне существует, а пронзводнме Р'(х), Ре(х), Р'а(х] и >уИ)(х) непрерывны н равномерно ограничены на л>пожелтее [О, Х](11.
Если при построении рази>инной схемы не учитываепя факт разрыв- ности Р'(х), то может снучитьсн, пи решение разно>.тноб задачи не сходится к решению задачи (1). например, такан ситуация нозннкнет, гхз>и раскрыть скобки в перяом слагаемоы 28. Аппрггксимации специалыюго типа схемы. Рассыатрим другую аппроксимацию! 483 (1Р'Иж,„„— (РУ')] г„„, й !/вг! У, Р й(тат!/2) ' „" -й(тп !/2)-и — „' л (ру)]„р(хв)ув, /(х„) — /в. (8) Можно показать, чта решение соответствующей разносчной задачи ( +!/2) й(л — г/2) Р+! Р, У Р-! й -р(х )у.
=/ю гг=1,...,/У вЂ” 1, уе=а, ух=8, Проверим послелнее угперждение и сйьясним, почему она не противоречит факту гжшимгкти со скоростью 0(8]. погрешность аппроксимации записывается в ниде О(Х ! г/2) — С(Х г/2) ( ) ( ) у( ) (4) /г где у(х )-у(х ) е(т„+,/!) = Й(х„+,/2) 8 Пгюожим е(х„!.г/г] — 1(хвгг/г)~(х„т!) = Д; поскольку У(з) и праюводивл ~у(х„г!) — у(х„) у'(х) равналгерно ограни гены на (О, Х], то величина ~ рваной мерна ограничена по п и Ь и впр ~Д,~ = О(1).
Егли праизвапная ув'(х] ограничена на ]хьа х„+г], то ]/]„] < —.,р]1(х)] - .' р ]ув'] Уг = //(У!). 1 24 р *м] Соотношение (4) записывается в вирр (УУ)] кмж (1Р)] ! ] /] зфг /] — гц и И Положим " '!' — (ау')') = а . А схггпдтся к решению дифференциальной со скоростью О(/г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
