Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 87
Текст из файла (страница 87)
ПозтомУ если интеРвал (:г г, хе+,) не содеРжит точек разрывов коэффициентов к(х), р(я), /(я), то без потери порядка точности можно заменить ре на р(пч), /ч на у(зч) и лчег/т на Цзяну/з). Глава Н. Численные методы решелгня краевых задач 470 1' р (х) + р(х) у(х) '= /(х'), (20) где р — малое число; для определенности сиваша прсгдполапюм р(з:) > О , „рхг) В случы р = соле!, / ы О решения этого уравнения ехр)л! — ! ко.
леблются с периодом 2я!г/ 'р, т.е. очень сильно. Характерный размер изменения решения имеет порядок р/ 'р, поэтому если не использовать специфику данного уравнения, то для получения высокой точности необходимо выполнение давольно обременительного условия Ь ~ д/ р. В окрестности каждого узла хе рассматриваемое уравнение близко к УРавнению Рзул+ЄР= /„, Ри = Р(з:„), /„= /(з:„). Общее Реп~ение этого уравнения записывается в виде р(я) = В~ ехр (! ! «- Вэ ехр г — ! ! -!- — "; (21) р рь Вы Вз произвольные константы.
Найдем схему вида (22) о.вэ«« + Ь„д„«-:. р, — 4„= О, точную на всех решениях вида (21]. Для этого подставил~ (21) в соот- ношение (22). Получим (, /р„Ь) ( .,Гюи/)') а„(В~ гхр с г — г -1- Вз ехр ) — 1 — ! /! «- Ьь (В~ + Вз) .«- +се (Вгехр~ — ! ~ «-Взохр)(! "' )) + (а„-1-Ьэ-~-г„) — ' — гУ =О.
Чтобы это равенство вьшолияяогь прп всех В~ и Вз, необходимо и до- статочно равенства нулю коэффициентов при Р, и Вз и свободного чле- на. Приравияем их к нулю. а„ехр~1 ~ -!-Ь„+сэехр~ — 1 — — ~ =О, а„ехр~ — 1 ~+Ь„«-с„ехр(1 — ~ =О, (22) (о «-6 + ) —" — 4=0. р В ряде случаен построение разностных схем путем непосредственной аппроксимации производной разноствым отношением приводит к недосз;г точно эффективным разнопгным схемам.
Иногда бывает удобно в окрест ности каждого расчетного узла приблизить рассматриваемое уравнение диффереициальныы уравнением, интегрируемым в яаном виде, и построить ревностную схему, точную для его решений. Рассмотрим дифференциальное уравнение 18. Аппроксимации саепиальнаттт типа 471 ПолагаЯ аа =. 1, получим ьГР 1< / /уРиб] / с„= 1, Ь„= — 2с<е, а' = ~2 — 2саз —.— Общее решение системы (23) пропорционально получеппоь<у частному репюншо. Умножиь< все коэффициенты а, Ьи, си, И„на р26 2. Тогда Получим <тему гр"ь' 2< "з~-"-У,<+Ри т / ь<Р— 61 2/ 62 / 62, Вто соотношение мы примем за ревностное уравнение, <тютвстстеутощеа узлу х„.
Такая нормироика схемы (24) явлиется наиболее естественной: тели вместо уи подсшвить в (24] значение у(х„) и при фиксированном хи устремить 6 к О, то в пределе получится исходное дифференциальное уравнение 2 в ( ] /(2 ) Все приведенные выше па<пуюения имеют смысл нтпависиью от знака ри; при р„ < 0 в окончательной расчетной формуле имеем ,/уж 6 . </ — ри6 </=р, ) с<е — = стет = сй д и В скучав ря ш сопз1 > 0 и / — ш 0 расчепшл <]юрмула (24) переписывается в виде /р„)< рп,.< — 2с<е ум+ у„< = О.
(25] д Та, по зта фарыула явлжтся точной на решениях уравнения (20) при ра ш <юпз1 > 0 и / ш О, можно бьпю бы усмотреть из известной <]юрмулы триганоь<егрии с<е эгт + «.е Эгг 2 <оь ,, ут< + егг у'т — у'2 2 2 соз =О, подставив в нее /р(т< — 1)6 /р(п -~- 1)6 утт = +а, утг = +п; р и — произвольное число. Расчетная форь<ула (26) иногда используется для быстрота вычию«ь иия таблицы значений сов< или зш< на равномерной сетке г. невысокой точностью. Нытбхццимасть в этом может возникнуть, если, например, решается дифференциальное уравнение:с' = /(х, Г] с праной частью, содержа<пей значении сов 1 или юп1, и вьгтисление их значений составляет сущвтвет<т<ую далю от затрат на вычисление правой части.
Заметим, *сто суммарная вычислительная погрешность при вычислении значений соз1 и е1п1 по этим формулам имеет порядок 0(п~Б) (Б = 2 ' — погрешность округлений) . Гаева 9. Чигл2 нные методм решения краевых зада| 472 Раш:мгприм уравнение и'(.] =Ра(.)+о (2:), (26) решения которого могут обращатыл в бесковечность. При аналитической функции а(2) рогпения апалитичны в колшлексной плоскости з окрест. ности вешественной оси и иногда преДставлиет интеРес найти значеии„ решения уравнения (26) в некоторой точке вещественной оси, огделенной от исходной несколькими полюсами. Один из возможных путей . зто численное интегрирование (26) влгщь некоторой кривой, обходящей особые точки.
ДРУгой пУть зто поюг1хюние Разн2ххпых ~хгь2, иличоших вгесокую точность на огобе222|остях рошсвии. На отрезке [х„, хмег[ уравнение (26] приблизим уравнением 2/(х) = Р2(2] Ра ь~ю о„ш72 =- а((х„.~-х„ш)/2). С ( 4 ф) = 26" ~ 16 1' 1 — 16 д16 6 Р(тп) Р(х„ !) пРи 22 = о(х -~- с), 2)2 = о(ххь2 — зи) в том, что †' = 166, о о 26(р 4 ф), Получим равеиство Р(х ) + 16( (хз — хаП а ' Р(х„) — 12(2:»22) = ! — — + Сй(а(Хьь2 — 2„)) Огс2ода 22олучаеь2 Рас 2игнуго формулу дли исходного уравнение Р + оььр216(еьы72(х„е~ —.'г )) Р ш Р 1 гй(о ш!2(х„ь1 х ]) о е1/2 (27) За счет некоторого понижения гочногти ге можно упростить, икпользо- вавшись прибяиженным равеш:твом 1616 = 22; получим Р* + е.,Пг(хзгг — х„) 2 Рею = 1 — 16,(хе,~ — „) (26) Обе расчетные формулы (27) и (28) позволяьтг получить приближение к решению и после прохождения поляков, если только случайно ие оказалось, что расстояние от одного из узлов до ближайшего поляка мнош меньше, чем гшп(х„ьг — 2:„) .
Этого вгегда можно избежиглч РаспоРЯДив. 2 шись выбором шагов вблизи позвха. Как примеры расчетных формул подобного рода можно рассматривать рекуррвнтные формулы ыетода прогонки (4.6), (4.10). При а = сопзс общее решение уравнения Р'(х) = Рз(х) -~- оз имеет вид Р(х] = а 16(а(х -1- «)). Воспгпгшуемся фюрмулой 4 УЗ ч 9. Конечно-разностные метены отыскания ссбьтаенных значений 2 9, Конечно-разностные методы отыскания собственных значений Рассыо»Рчгм пРостеншУго кРаеаУю задачУ на собстненные значении: у"(х) — р(х)гг(х) = Лр(т)у(х).
у(0) = О, у(Х) = О. залалилкм шагом й = ХгЛг ' и ныпипюм сьчочггую задачу у»чг — 29„4 у„.г и = 1,..., гч" — 1 уе = ум = 0: р = р(х»), р = р(ч'»). Зпачепи» Л, при которых система ураангний (2) имеет. непулееое рсгш, ние уш °, ул. ешастяенно назвать собстаегшымн значениями сеточной заяа ги. Пусть собстпепные значения задач (1), (2) учгор»кочаны а порядке убыашпгя, т.е. Л~ > Лг > ...; Лг' > Лгч > .... Рассмотрилч молельный пример: р(:с) ж О. р(х) '= 1; тоглз. (1) приобретает пнп у»(т) = Лу(х). у(0) = у(Х) = О.
Можно проверить, что собстнонные функции »той задачи есть чем(х) = агп[хгггх/Х) и соотяетстяующае собстгюнггые значения Лм = — [хгл)Х)ч. В случае сеточной задачи (2), приобретающей пиц у ч г 29» + у - г йа — Л.у„= О, у, = у, = а. рассуждгелг гле,а„ующнм образом: общее решение разноспюго ураннения у» г — (2-~- Лггч]у„-~- у г = 0 залнсыаается а ниле ун = С,р", т Сарг, бйе гг„рг- корни характеристического уравнения рч — (2 + ЛЬ )р, + 1 = О. [2) По формуле Виста рг рч = 1, пьет»му рг = р, и у = Сгр" ,4 Счр, ". Уело»ня уе = уг; = О дают снстелчу уравнений С1 -~-бг = О, Сгглг +Счрч = О; л — и зна имеет ненулеяое решение, если ее опрелеличоль ранен О, а гпгенно, Хггк Рч~ — Р~ = О.
Оттшг1а ггг = ехр(х)чп/гч'), ш =... „— 1, О, 1,... Из (3) можно выразить значения ЛЬ череа значения рч . гя ггз гуз ~г Хч гчг ) Хч 2Ж вЂ” — 2соа — — 21 = — 4 — жп 1'лава 9. Численные моюлы решени» краевых задач Дзя определенности ваньк~ем С, = (21) ', тогда соответствюощие соб. ствеш~ые функции имеют внд И'„Я' =- — (ехр ~ — ) — ехр~ -~) = мгг — -. В общем случае зто раненство не имеет места; однако характер близости собсти:нных значений этих задач типнчел и лля общего случая.
Поскальг зз ку, согласно формуле Тейлора, ссех =- 1 — —, -~- соэ(рс) —, где ~0) < 1, то 2 24' нз выражения для Л",„пслучаеьг хш1 нлн + е (4) Из этой форьгулы видно, что Ль — Л, = С(Лх) при фикснровавноьг ш; в то же время с ростом ш как ауколютнагь жк н относительная ~гог1юпшостн моьютонно возрастюот н, например, г(ьг 1)а г г х(1г — 1) 4 — 419~ эш 219 л ь л, Равенство (4) можно записать в виде оцевки )Л" — Лм( < СЛ~„1Р, где С не зависит от Лм и 6. В случае дважды днфференцнруемых функций р(в), р(х) также можно получить такую оценку.
Дэа решенн» задачи (1) с более высокой точностью можно выпшпаоааться любыми разностными аппроксимациями уравнения Нь(в) — д(г)В(х) = 0 более высокой точности. Рассмотрим пример. Собственные значенив Л(,..., Лл, различны между собой, поэтому соответствующие им сОбственные функции И „= згп "— ".,..., И н (л — гы вш: —." также различны. Так как задача (2) является задачей па соб. стаенные значения для матрицы разьюрности М вЂ” 1, то мы получили пол. ную снстеь~у собственных функций; каждая нз функций И „' прн гп < О нлн при гп > гу равна тъждестаенгго пулю илн проворциональва одной нз перечисвонных выше функций И"г,..., И;и ~. Мы случайно выбрали такой пример, где в узлах сетки х = пб выполняогтя равенство 5 9. Коначно-разностные лсетаэы отыскания собственных зна юняй В е 1 бьсла построена разноспсая схема.
аппраксимируюпсая последнее урав- нение с пагрешиасгыо О(Л»): — — Е„у., — —,б (с1„р„) = О (а) (с несколько инылпс абаз»сечен»свисс). Уравнение (1) записывается в рассматри- ваемом виде пря е(х) = р(:с) + лр(х). Отсх»ла палучмм сегочнусо задачу на сабгтееиныс значения: Л» ' " " !2 " — (р„+ Лр„)р„— — г»((р„т Лр„)уь) = О. и = 1,..., Лс — 1, уе = рл' = О. (б) Можно ползать, чта лля ссбссвениых значений»тоб зал»чи вы»саян»»стс»» оценка )Л„", — Л„„) < гЛ,',Лс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
