Главная » Просмотр файлов » Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu)

Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 87

Файл №1160088 Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы) 87 страницаН.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088) страница 872019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 87)

ПозтомУ если интеРвал (:г г, хе+,) не содеРжит точек разрывов коэффициентов к(х), р(я), /(я), то без потери порядка точности можно заменить ре на р(пч), /ч на у(зч) и лчег/т на Цзяну/з). Глава Н. Численные методы решелгня краевых задач 470 1' р (х) + р(х) у(х) '= /(х'), (20) где р — малое число; для определенности сиваша прсгдполапюм р(з:) > О , „рхг) В случы р = соле!, / ы О решения этого уравнения ехр)л! — ! ко.

леблются с периодом 2я!г/ 'р, т.е. очень сильно. Характерный размер изменения решения имеет порядок р/ 'р, поэтому если не использовать специфику данного уравнения, то для получения высокой точности необходимо выполнение давольно обременительного условия Ь ~ д/ р. В окрестности каждого узла хе рассматриваемое уравнение близко к УРавнению Рзул+ЄР= /„, Ри = Р(з:„), /„= /(з:„). Общее Реп~ение этого уравнения записывается в виде р(я) = В~ ехр (! ! «- Вэ ехр г — ! ! -!- — "; (21) р рь Вы Вз произвольные константы.

Найдем схему вида (22) о.вэ«« + Ь„д„«-:. р, — 4„= О, точную на всех решениях вида (21]. Для этого подставил~ (21) в соот- ношение (22). Получим (, /р„Ь) ( .,Гюи/)') а„(В~ гхр с г — г -1- Вз ехр ) — 1 — ! /! «- Ьь (В~ + Вз) .«- +се (Вгехр~ — ! ~ «-Взохр)(! "' )) + (а„-1-Ьэ-~-г„) — ' — гУ =О.

Чтобы это равенство вьшолияяогь прп всех В~ и Вз, необходимо и до- статочно равенства нулю коэффициентов при Р, и Вз и свободного чле- на. Приравияем их к нулю. а„ехр~1 ~ -!-Ь„+сэехр~ — 1 — — ~ =О, а„ехр~ — 1 ~+Ь„«-с„ехр(1 — ~ =О, (22) (о «-6 + ) —" — 4=0. р В ряде случаен построение разностных схем путем непосредственной аппроксимации производной разноствым отношением приводит к недосз;г точно эффективным разнопгным схемам.

Иногда бывает удобно в окрест ности каждого расчетного узла приблизить рассматриваемое уравнение диффереициальныы уравнением, интегрируемым в яаном виде, и построить ревностную схему, точную для его решений. Рассмотрим дифференциальное уравнение 18. Аппроксимации саепиальнаттт типа 471 ПолагаЯ аа =. 1, получим ьГР 1< / /уРиб] / с„= 1, Ь„= — 2с<е, а' = ~2 — 2саз —.— Общее решение системы (23) пропорционально получеппоь<у частному репюншо. Умножиь< все коэффициенты а, Ьи, си, И„на р26 2. Тогда Получим <тему гр"ь' 2< "з~-"-У,<+Ри т / ь<Р— 61 2/ 62 / 62, Вто соотношение мы примем за ревностное уравнение, <тютвстстеутощеа узлу х„.

Такая нормироика схемы (24) явлиется наиболее естественной: тели вместо уи подсшвить в (24] значение у(х„) и при фиксированном хи устремить 6 к О, то в пределе получится исходное дифференциальное уравнение 2 в ( ] /(2 ) Все приведенные выше па<пуюения имеют смысл нтпависиью от знака ри; при р„ < 0 в окончательной расчетной формуле имеем ,/уж 6 . </ — ри6 </=р, ) с<е — = стет = сй д и В скучав ря ш сопз1 > 0 и / — ш 0 расчепшл <]юрмула (24) переписывается в виде /р„)< рп,.< — 2с<е ум+ у„< = О.

(25] д Та, по зта фарыула явлжтся точной на решениях уравнения (20) при ра ш <юпз1 > 0 и / ш О, можно бьпю бы усмотреть из известной <]юрмулы триганоь<егрии с<е эгт + «.е Эгг 2 <оь ,, ут< + егг у'т — у'2 2 2 соз =О, подставив в нее /р(т< — 1)6 /р(п -~- 1)6 утт = +а, утг = +п; р и — произвольное число. Расчетная форь<ула (26) иногда используется для быстрота вычию«ь иия таблицы значений сов< или зш< на равномерной сетке г. невысокой точностью. Нытбхццимасть в этом может возникнуть, если, например, решается дифференциальное уравнение:с' = /(х, Г] с праной частью, содержа<пей значении сов 1 или юп1, и вьгтисление их значений составляет сущвтвет<т<ую далю от затрат на вычисление правой части.

Заметим, *сто суммарная вычислительная погрешность при вычислении значений соз1 и е1п1 по этим формулам имеет порядок 0(п~Б) (Б = 2 ' — погрешность округлений) . Гаева 9. Чигл2 нные методм решения краевых зада| 472 Раш:мгприм уравнение и'(.] =Ра(.)+о (2:), (26) решения которого могут обращатыл в бесковечность. При аналитической функции а(2) рогпения апалитичны в колшлексной плоскости з окрест. ности вешественной оси и иногда преДставлиет интеРес найти значеии„ решения уравнения (26) в некоторой точке вещественной оси, огделенной от исходной несколькими полюсами. Один из возможных путей . зто численное интегрирование (26) влгщь некоторой кривой, обходящей особые точки.

ДРУгой пУть зто поюг1хюние Разн2ххпых ~хгь2, иличоших вгесокую точность на огобе222|остях рошсвии. На отрезке [х„, хмег[ уравнение (26] приблизим уравнением 2/(х) = Р2(2] Ра ь~ю о„ш72 =- а((х„.~-х„ш)/2). С ( 4 ф) = 26" ~ 16 1' 1 — 16 д16 6 Р(тп) Р(х„ !) пРи 22 = о(х -~- с), 2)2 = о(ххь2 — зи) в том, что †' = 166, о о 26(р 4 ф), Получим равеиство Р(х ) + 16( (хз — хаП а ' Р(х„) — 12(2:»22) = ! — — + Сй(а(Хьь2 — 2„)) Огс2ода 22олучаеь2 Рас 2игнуго формулу дли исходного уравнение Р + оььр216(еьы72(х„е~ —.'г )) Р ш Р 1 гй(о ш!2(х„ь1 х ]) о е1/2 (27) За счет некоторого понижения гочногти ге можно упростить, икпользо- вавшись прибяиженным равеш:твом 1616 = 22; получим Р* + е.,Пг(хзгг — х„) 2 Рею = 1 — 16,(хе,~ — „) (26) Обе расчетные формулы (27) и (28) позволяьтг получить приближение к решению и после прохождения поляков, если только случайно ие оказалось, что расстояние от одного из узлов до ближайшего поляка мнош меньше, чем гшп(х„ьг — 2:„) .

Этого вгегда можно избежиглч РаспоРЯДив. 2 шись выбором шагов вблизи позвха. Как примеры расчетных формул подобного рода можно рассматривать рекуррвнтные формулы ыетода прогонки (4.6), (4.10). При а = сопзс общее решение уравнения Р'(х) = Рз(х) -~- оз имеет вид Р(х] = а 16(а(х -1- «)). Воспгпгшуемся фюрмулой 4 УЗ ч 9. Конечно-разностные метены отыскания ссбьтаенных значений 2 9, Конечно-разностные методы отыскания собственных значений Рассыо»Рчгм пРостеншУго кРаеаУю задачУ на собстненные значении: у"(х) — р(х)гг(х) = Лр(т)у(х).

у(0) = О, у(Х) = О. залалилкм шагом й = ХгЛг ' и ныпипюм сьчочггую задачу у»чг — 29„4 у„.г и = 1,..., гч" — 1 уе = ум = 0: р = р(х»), р = р(ч'»). Зпачепи» Л, при которых система ураангний (2) имеет. непулееое рсгш, ние уш °, ул. ешастяенно назвать собстаегшымн значениями сеточной заяа ги. Пусть собстпепные значения задач (1), (2) учгор»кочаны а порядке убыашпгя, т.е. Л~ > Лг > ...; Лг' > Лгч > .... Рассмотрилч молельный пример: р(:с) ж О. р(х) '= 1; тоглз. (1) приобретает пнп у»(т) = Лу(х). у(0) = у(Х) = О.

Можно проверить, что собстнонные функции »той задачи есть чем(х) = агп[хгггх/Х) и соотяетстяующае собстгюнггые значения Лм = — [хгл)Х)ч. В случае сеточной задачи (2), приобретающей пиц у ч г 29» + у - г йа — Л.у„= О, у, = у, = а. рассуждгелг гле,а„ующнм образом: общее решение разноспюго ураннения у» г — (2-~- Лггч]у„-~- у г = 0 залнсыаается а ниле ун = С,р", т Сарг, бйе гг„рг- корни характеристического уравнения рч — (2 + ЛЬ )р, + 1 = О. [2) По формуле Виста рг рч = 1, пьет»му рг = р, и у = Сгр" ,4 Счр, ". Уело»ня уе = уг; = О дают снстелчу уравнений С1 -~-бг = О, Сгглг +Счрч = О; л — и зна имеет ненулеяое решение, если ее опрелеличоль ранен О, а гпгенно, Хггк Рч~ — Р~ = О.

Оттшг1а ггг = ехр(х)чп/гч'), ш =... „— 1, О, 1,... Из (3) можно выразить значения ЛЬ череа значения рч . гя ггз гуз ~г Хч гчг ) Хч 2Ж вЂ” — 2соа — — 21 = — 4 — жп 1'лава 9. Численные моюлы решени» краевых задач Дзя определенности ваньк~ем С, = (21) ', тогда соответствюощие соб. ствеш~ые функции имеют внд И'„Я' =- — (ехр ~ — ) — ехр~ -~) = мгг — -. В общем случае зто раненство не имеет места; однако характер близости собсти:нных значений этих задач типнчел и лля общего случая.

Поскальг зз ку, согласно формуле Тейлора, ссех =- 1 — —, -~- соэ(рс) —, где ~0) < 1, то 2 24' нз выражения для Л",„пслучаеьг хш1 нлн + е (4) Из этой форьгулы видно, что Ль — Л, = С(Лх) при фикснровавноьг ш; в то же время с ростом ш как ауколютнагь жк н относительная ~гог1юпшостн моьютонно возрастюот н, например, г(ьг 1)а г г х(1г — 1) 4 — 419~ эш 219 л ь л, Равенство (4) можно записать в виде оцевки )Л" — Лм( < СЛ~„1Р, где С не зависит от Лм и 6. В случае дважды днфференцнруемых функций р(в), р(х) также можно получить такую оценку.

Дэа решенн» задачи (1) с более высокой точностью можно выпшпаоааться любыми разностными аппроксимациями уравнения Нь(в) — д(г)В(х) = 0 более высокой точности. Рассмотрим пример. Собственные значенив Л(,..., Лл, различны между собой, поэтому соответствующие им сОбственные функции И „= згп "— ".,..., И н (л — гы вш: —." также различны. Так как задача (2) является задачей па соб. стаенные значения для матрицы разьюрности М вЂ” 1, то мы получили пол. ную снстеь~у собственных функций; каждая нз функций И „' прн гп < О нлн при гп > гу равна тъждестаенгго пулю илн проворциональва одной нз перечисвонных выше функций И"г,..., И;и ~. Мы случайно выбрали такой пример, где в узлах сетки х = пб выполняогтя равенство 5 9. Коначно-разностные лсетаэы отыскания собственных зна юняй В е 1 бьсла построена разноспсая схема.

аппраксимируюпсая последнее урав- нение с пагрешиасгыо О(Л»): — — Е„у., — —,б (с1„р„) = О (а) (с несколько инылпс абаз»сечен»свисс). Уравнение (1) записывается в рассматри- ваемом виде пря е(х) = р(:с) + лр(х). Отсх»ла палучмм сегочнусо задачу на сабгтееиныс значения: Л» ' " " !2 " — (р„+ Лр„)р„— — г»((р„т Лр„)уь) = О. и = 1,..., Лс — 1, уе = рл' = О. (б) Можно ползать, чта лля ссбссвениых значений»тоб зал»чи вы»саян»»стс»» оценка )Л„", — Л„„) < гЛ,',Лс.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее