Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Пошому строки матрицы А, соотвагтзнуюгцие функциям ро иак правило, будут полностью заполнены. Матраца свстемы уже не оквзываетгя трехдивгопальной. Персспгновкой строк и нпшбцов се можно преобразовать к виду, гдо ои —— -О. осли одновременно ~1 — У) > 1, Я, Ц > (-1-1. Если решал, вту систему методом Гаусса при обратнол~ порядке исключения неизвестных, то общее число арифмгтгических операций гжвзываетсл, как и в штучке трекдишон;и~ьных матриц, порядка О(1У). П описыввомол~ случае пвдо особенно внимнгельно следить за погрешностью мегода репшвия задачи (включаюп1ей а себя погрешность приближенного вы пкления интегралов) и вычислительной погрешностью. Рвссьаггрим в качестве примера краевую задачу езу (х) — р(х)р(х) = 1(х), Ят) > О, у(0) = а, у(Х) =Ь, г — малое. Формально говоря, решение но яляьг особенности.
Однако при малом г имеется пог1яшичный свой, где производные от решения вь" лики и регпоние плохо приближанпя функциями вида (10.9). Из тт, орин всимптотнческик метод~в извж:тно, что в окрестности х = 0 решение хорошо приближвешя линойпыл~и комбинациями г)>унк- ~г1(0) ~1ий вида ха акр — х, а в скрытности точки Х вЂ” функций вида ., ь ) ТЯФ (Х вЂ” я:) ехр — — (Х вЂ” х) . Поэтому п1эиближенююв решение въ~онг с смысл отыскивать в видо у(х) = 2 Сьх екр — х + г ь=о г + ~ Юь(Х --х)секр( — 1ГЯХ) ) + ) г ре(х); ь=о с здесь Сь, Вь ст — неизвестные коэффициенты. 48й Глава 9. 1иш|е1гвыо мшоды пошевня крывых задач 2 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от формы записи конечно-разностного уравнения Квк было усшновлено ранее, вычислительная погрепшость имеет разлнч ный характер роста для различных сп<х;обов решения днффоренпнальпых ургшяшшй.
Рассмотриы тгшерь шшой частный, но вагкггый вопрос: как зависит вычислительная погрешшкть от формы записи конечно-разпогтных уравпенийу Хотя все изложение ведегти па примере задачи Коши. проводимые соображения относнття в равной л1ере и к случаю решения кре. евых звлаг. Для примера обрагимся к методу Эйлера: р т~ = р т И(хв, Ю»). При реальных вычислениях будут получаться пеличияы 11,"и связш1иые соотношением р,",, = 11" + lг~(х„, 1Л"„) .1- б„б (2] наличие слшвемого б„являнгся следспок"ьг ряда причин погрешностей при вычислении з~ачоний функции Дхв, у'), погрешностей при округлг, пии пРоизведенин 1С((зчо Р,*,) и погРешностей пРп шюжеппп пптл 1г„", и окРУгленного зна 1епив )1((хв, Р„*).
Введем обозначение у,', — ра = сх; вв основании формулы 1(агршгжа имеем ахль Ю*„) - У(хь, йь) =1 А,ь где 1„= йт(хзо рь). 1!редположилд что всегда )й (х, р)) < Г,. Вычитав (1) нз (2), получаем г"т~ (1 1 1 1~)~ "» '1 откуда )ГЗ ->~~ < (1+ б1~)Рв(-1б, б = швхб„ (й) Рассмотрим рвзноогное уравнение ~т, =(1+Вй)горб, являшп1ееся ыпзмориррюпбюл для (3). 1(го решение прн начальном усло- вна «е = ~бгв( есть = (гхе((1+ ьй) + б— (1 РИг)ь — 1 Лемма. Прв оссх и > 0 справедливо (4) (а(< е 489 б 12. Ол«янке «ычнслятельнай аогл«:шнг«т« Дакг~:зашел«пиво.
При н =- О утеержденлг~ (4) очевидно Пусть она ягр о для и«козерог.о а; када имеем (д,,(<(1тб!) е б а Лемма доказана. Если интегрированна производятся на отрезка (л:е, хе б Х), то нЬ < Х, (1 ж ЬЬ) < (охр(ЛЬ))«< ехр(лХ). Согласно формуле Лагранжа нри у > О имеем сх — 1 = а«аз < рг"г где О < У < !. Отсюда получаем (1 + АЬ)« — 1 < сгж — 1 < АХ гхр (АХ).
В итоге ил~ее«1 оценку (зЬ ( < (л~~( < (зЬ«(ехр(ЬХ) -1-бй Хехр(ьХ). Рассмотрим случай бле = О. Тогда аограншость б« =. р„',.-у«арн фнк- сироэанном Х оценнааатс» сверху через О(6Ь '). Эза оценка неулучшеелнл на порядку. Например, ири б!е = О, )г = О, б„ = б имеем зЬ«.„л = з1« т 6 н, шким образом, 2„= Ь б = 6ХЬ-'. Привсшем некаторыс рассуждения, из которых гзгелуст, что погрешность округления мажет оказ«гыя величиной порядка 6Ь л. Соотношенпа !з,*,ы — — у,*, + Ь~(х«, р„*) + б« можно нергннсать э ниде , = у,*, -~- Ь)*(зс„, р„), где (*(х«, у„',) = ((х«. у,*,) -1- 6«Ь Таким образом, разульшт численного иллтгри1юеения уравнения р' Х(х, у) лри наличии округлений будет закай же, как если бы без округлений интегрировалось уравнение со значениями правой части в узлах сетки з'*(х«, у,*,).
Рагсмотрил~ случай б«: — б. Разность ыежду решенинми Ззифференциальных уравнений у' =У[а, р) и р'= 1(х, р) -1.6Ь ' имеет порядок разности между правыми частями этих уравнений, т.а 6Ь л. Нег оснований ожццать, что решения разностных уравнений у м =- у« -~- Ьу (х„, у ) и у„'+, = у' + Ь(у (х„, о„*) + 6Ь ') будут отличзгьгл на величину, существенно меньшула 6Ь Е Если 6 порядка 2 л, с — разрядность чисел в ЭВМ, то решение разносола«а уравнении изменился на величину порядка 2 'Ь 1лавв 9.
Чнслеиныа методы решения краевых задач 490 При получении этага вывода было овлвва дапушенве 6„= Е. Рассмотрнп г' задачу вычи~зипип интеграла / /(г)фг, являющую<л ч<ктиым глучв<м рв<- .а сишриввемой задачи прн у(О] = О. Пусть /(в] = 2/3, Ь = 2 <1 < — 1 печегна. При л„> 3/4 значение у„лежит е пределах (1/2, 1) То<де после округлеивя при сложении у =О, 1а ...аа кэл<дый раз происходи< отбрасывание <юдчеркпутай ве<пшввы, рввпаи (</3)2 '. Таким образом,на этан уча<тке депе<вительно 66 и†6 порядка 2 '. !!ерейдеы к <муча<о интегрирования уравнении ув = /(зп у) при пахнь щи простейшего ьипода уп« вЂ” 2уп + ув «<з = / <Сп, уп во рвсчатной фармупе у « = 2ув — уп < + Ь /(хп, уп). Реально понучвемые вне<ения у,", связы<ы соотношением у„*<, = 2у,*, — у,',, -1- Ь /(<сп, у,',) -1- 6п.
(5) Значения у,*„можно рассматривать квк пплучвемые бп< округдевий при вычисланиях по формуле у,',, = 2у,', — у,*,, -1- Ь /*(хю у,',), гДе /*(хн, «Ь*,) = /(хп, У„') -1- 6п/<" . Расом«грим случай 6„= 6. Тогда решения диффераициальных уравнений уп = /(хз у) и уп = /(х, у) + и<. < рззличаютгя в<ежду собой на величину порвдкв 6Ь Зддича 1. 11аказат<в что в случае уравш.ния «/' = «, о = сопв1, возыожвн :лучай 6„ш 6, 6 порядка 2 '. Квк и для уравнения первою порядка, делаем вывод, ч*ю дпя расматриваемого алгоритма суммарная вычислшельпая погрешно<"и, люжет ошиваться пеличиной порядка 2 'Ь з. Тре(ювание малости этой величины накладывает ограниче<пю сниау на допустимый шаг интагрировапия. Рассмотрим случай, когда такая величина вычиш<ительной погрешно:ти окшываетсв недопустимо большой. Можно было бы записать рассматриваемое уранию<ив в анде системы уравнений первОго порядка (б) </ = , а' = /(х, у) < применить какой-либо ма<од численного интегрирования этой системы.
Как уже отмечалось, при этом щюизошла бы потеря эффективности, 4а2 212. Влияние вычислительной 1юг1хэпности поскольку метены, применимые для систел1 общего видя, не учитывакп специфики этой системы. Попытаомся записать рассматриваемую расчетну1о формулу как некоторую расчетную формулу интегрировэлия систеь~ы (6). Введем новую дискршз~ую переменную д, — д,— ! .= гь. б тогда уравнение (5) запишется в виде 6 Вычиюн ния последовательных зва гений дь, эь будем производпп, при помощи нары расчетных формул гяэ1=э Рбу(х»д) д э|=у ч бе чп (7) При наличии округлений соответственно имеем тле пя, Д„= 0(2 ').
Эти соотношения можно предсчавип. в видо З„„1 — — Э„э Йэ" (тя, д„), 2" (Кьш д„) = ((Ээь д„) + Пьй (8) р„, = д„-~й( „, +д(зэ,)), д(яя,) = ()эб 1. Если г)юрмулы (7) можно трактовать как форьгулы численного интегрирования сисшмы х' = ((з, д), г/ =- з, то формулы (8) саотвечсчпуют сисщме з =,("(хк д), д' =: г -~- д(т). Правые части этих систем различают~я на величины порядка П(2 'Ь '); поэгому есть какие-тю основания ожидать, что и решения разностяых задач, те. Решения разностной зашэш с округлениями и разностпой задачи без округлений, будут рэзличатьсл ва величину того жо порядка. Задача 2.
Доказать справевливость утверждении, сформулированного вьюге. Конечно, к этому заввлени|о гшгдует отнестись с огмгрожноспю; мы ужо видели, ччо двя некоторых конечно-ревностных г:хем малые погрешности могут приводить к кашсгрофическому изменению результата. Приведенные Рассуждения о влиянии вьгпплитгльной погрешности в конкретных методах ишегрироваыия уравнений первого я второ~о порядков опираюгсв лишь на учог свойств конечно-разностной схемы, связанных с порядком дифференциальною ураннения.
Псетому они переносятся на другие конечно-рвзносгные методы. Нвлриьгер, при интегрировании уРавнения д( ) = 7(з, у) и прямом исшюьзовании схомь1 2г~д — йь ~о,з'(я „д,) = О *=-о 1лава 9. "!яслмшме методы решения крае ых задач глсцунг ожидать влиянии вычислитольпой погрешности порядка 2 ч6 Таким образом, е случае уравпшпш! «ысокогп поряцка еще бюлее актутн~ьна задача преобразования схомы к форме, где влияние еычисаптельпой погрешности будет меньше.
Например, аналогично случшо Л =- 2 целесообразно ввести вспомогательные переменные з,', = 57'!Л, Ь ', г = 1, ..., Л вЂ” 1. Попьнаелня обьяснить улучшение свойств разпостной схемы (5) при переходе к рвсчгмным формулам (7), опгипвая кш~ячестео хрмп|мой информации. При исполгшовании рве к"г!гой формулы (5) прн каждом о в памяти ЭВМ хранятся величины дь. ! и й„, и еге г!альнейши! значения 9 опредепя!отея по эпгм зваюпиям. Пушь !шя определгпногти 1/2 < 1Л, .!, 9„< 1 и )йь — йв !) < Л!)ь В ячейке, сод:р>кащей значение дв ! =О,!о ...он вмеотгя ! — 1 иезанпгимых деон пюых знаков ом..., гп; разряды числа 9„= 0,11эю ../Л ужв нг вгг несут новую ппформацшо.
Дшю заключвшся в шидукяцвм. Пусть 1 нояб!шипев цшнж, !аког, чш Лбй < 2 !г'. Тогда имеем йь — 1М ! =~5,б...бу!Ы... !Ь и Лла залина йь — ув .„а шкцователыю, и 9, Досзвчо вп ! — 1-9 ! Двоичный знак (знак разно!ми и 7!г!,,7!). Поскольку ! - )одэ((Л!Ц '), то общее количество независимой информации, которое имеется в имеем распоряжении при каждом п, а!сгавля~ г 2! — !ойз((Л!1~) ' ) двоичным разрядов (с точностью ло !шатаемою. нс зависящего от ! и 1~). В спучае вычислений по формуле (7) все разряды чиггш п„я еь независимы и поэтол!у иифоргшция о регпепии задаеття пс!заеисиьгыыи дюпчяыми ралряцами. Тот факт, что количество ншависимой информации для второго гпособа бапыпе, конечно, ве означаю; что эттн способ лучше. Не иск!!гочево, что эга дополнительная информвцгш ие ив~гнется содержтгельпой и пса'гюму не позвОляет точнее опргщелнзь решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
