Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 94
Текст из файла (страница 94)
94 1,..., я, вьшсляяеп:я условие устойчивости ])иьЦ<й, < Ме]) б<п<,])б .<. д М ]]1<и<,])ф <, ыь 'Хеорема Филиппова (о связи устойчивости, шшроксимацнн н щкщимо- сти). При сформуяироеанних еьние ь,слоаилх выпал«<я<ньен нераоепсьяео ]]< ь — (и]ь]] „< ) Мс<л(й)- ыо Если ра«костная задача аппраксимирует диффере<ьциальь<уьо, то ]]иь — (и)ь (]с« -+ О при 6-+ О. 606 12.
Аопрокспмаппп простейших гвпсрбслпчоск»х задач Докпзптальсшпо. Поскольку 1ш(пь — [п)ь) .= О прн т = 1. -1- 1,..., ь, то воспользуемся услониеы 2), подставив в него пь — [п[а вьюсто пю Имеем [[пь —. [п)л [[пь < ЬЧ[сьпь — Ьь[п[ь [[э„+ ~,М [[1ьпь — 1а[п)л [[ьп; — ! подставляя сюда Лапь = уь, 1шпь = ось п восполгюопавшись определением р,(Ь), получасе~ (18). Есшя имжтг место аппроксимация, т.е р,(Ь) — т О, т =- О,..., Ь, р(Ь) -+ О при Ь вЂ” ! О, то нз (18) следует сщ~авс1шипоспь втпрого утверждения теоремы: [[пь —.
[т4ь[[пь -ь О. В случае гладких решений исследование аппроксимация схемы па рю пювни якляется относительно несложной задачей и теорема филиппова переносят центр тяжити ва истледовавис устойчивости ыточной задачи. х1асто ыучасття, что сепочяая задача устойчива в одной норме. сс гласопанной с некоторой дифг[».реициальиой нормой, но неустойчива в другой. Так может, например, обстоять дело в случае тюри, определяемых равенствами (14), (18). В случэа гладких решений лля практич<.
ской приомлелюсги схемы обычно достаточно устойчивости в какой-либо согласованной норме. В случае разрыштых решений к ратностпым аппроксвмгщиям члено прсдъявлятотся пекпгорью допсшнитольпые трстювания отвоситпльно поведения тпс решений вблизи мест разрыва решений; в этих случаях часто недопюто шо устойчивости в произвольной согласованной норме. Например, требование устойчивости в оп!тгделевных нормах предъявлянгся в отношение аппроксимаций задач тазовой динамики. Испи выполняется условие согласования, то при глалкнх п, пероходя к пределу в (!6) при Ь, ь О, получаем неравенство [[п[[н < Ьус[[утт[[г т ~ М,[[1!о[[у,, (19) Из этого пютношгвяя слоу~ует корректвость посюпювкя дифференциальной задачи (8), (9).
Такой путь — получение оценок (16], а из вих оценок (!9) — используется лля исслгдовани» корректности дифференциальных задач вида (8), (9), для локаяпельства сугцествования н единственности их решений. В 2. Аппроксимация простейших гиперболических задач Изучение многих важвых прикладных задач требует чнсченного решения краевых задач лля систем уравнений с частными производными гиперболического типа.
Такими системами «вляютт:и, наприме1т. системы уравнений газовой динамики, которь|е являютт:я квазилинсйныь~и системами. 606 Глава 1о. Мепиьг гхшенив уравнения е истнмх оровчводпмх Для решений таких систем типично наличие разрывоа. В таких задачах и большинстве случаев отсутствует строгое исследование вопросов устойчивости разногтных схем и схсдимости, и реальный отбор разпосг ных схем производится на примере простейших модельных задач, гдг его проще осуществить и теоретически.
н путем числешюго акслернмента. Простейшими примерами, на которых производился отбор канечпоразностных магадан реи~ения задач плзовой динамики, являются уравнения гл~ ранг = О пл6 (р(лл)), = О. (г) Далее будут рассмотрены ггеппорые явные аппроксимацни уравнения (1), а затем и (2). При практическом анвллгзе разнастных аппроксимаций задачи Коши для гиперболических и парабгвпгческих уравнений част рукогюдсгвухлся глгогующим критерием, называомым спгктупльпмм признаком устойлглеостп. Пусть иа ссгкс с узлами (гп, п) — точками (.г,, 1ь) = (ггг1г, пл)- построена некоторая ревностная схема, аапрнллер (2) выпишем все чаатные решении уравнения Ьгдт = О, глмеклщигл вид '„', = (Л(р))в '" '. Спектральный признак устойчивости (СПУ).
Ксан прп заданно.е законе стремления шагов т и б к путо срнлсстеуст С < оо, нс зптллщсс от т и )л, тгтог, лгло (1(р)) < г' " длл еюбнх р (4) то рсзностнал сх~ ма можгшп билль прлмтота длл шсленноео ронинов соогпемпстерюплсйл задачи Коши. В прогнозном гму лас тп прлмтненпл Упвностноа схема слегтгсгп аоздсрэсатьсл. В разумности СПУ можно убедиться, решив шгедующие задали.
Задача П Пусть определена юлкая-го норма (( ((„на ссгочнсю слое по врелгени такая, что номер слоя не входит в опраделлгггглге пармы. Этому условию удовлетворяют, например, нормы (б) )(и Л„= р(п 607 6 2. Аппроксимация простезвпих гнпергюляч<ккнх залвч но не удовлетворяет норма ()и )(„=- пяор(и" ( Пусть схеыа двухоконная и явнан, т.е.
имеет внд Ьь л)(,„1 == апшл + Е <зззз,"в+> = О, о Ф О, (7) цз)йз и пусть СПЛ> не выполнен. Докззазь, что ни для юзкого Т > 0 нельзя указать <2 < оо такое, тш прн всех пг < Т выполноно соотношение )п.ль < 1)()зз,"„Ь. Задача 2. Пусть т/Л = сопв1, разностлая <хоыа (6) двухслойная п явная. ззе. ззм<ет ззид (7), н начальные условия фипитные, т.а и", = 0 при (ш) > ЛХ. Доказать, спранедпивосгь оцизз<зз Ип )! < <са Ъ()па ((„< г<п )(пе )) при пт < Т в глучае пармы (6). Пример 1. Разностиая аппроксимация пм зз» зз Ы зь<< г 20 (6) Подставлнем мода и„"„= Л"(зр) ехр (ггпзр)з Л"+< (<р) ох р(зшзр) — ЛЯ(>р) ехр(зизр) +а Л" (у>) ехзз(1(т + 1)зр) — Л" (7>) ехр(з(пз — 1)у>) = О.
После сокращения на Лв(р)ехр((пз>р) получим Л(ьз) = 1 — — (е" — е ") = 1 — !а — вш>р пг, з .т 2Ь А (О) (см. рис. 10.2.1). На рис. 10.2.1 10.2.4 изабражаютс» наборы узлов (шаблоны), па которым выпигываются апщюксимацин, н кривые, которые аписьзнаег точка Л(>р) на комплексной плоскости при Вели красвак аадача корректна н условие (4) выполи<но, то, как правило. удается построить аппроксимациза граничного условия звк, чтобы сеточная зад гза была устойчива (корректна). В то же время можно привести примеры задач Коши (для си<зеы уравнений], где спектральный признак устойчивости вьш<шиен, а сеточная задача по удовл< гворнот условшо устойчивости (1.16).
Исследуем прн помощи спектрального признака устойчивосп, рзздп сеточных аппроксимаций звлачи Коши дпя уравнения пз -з- ап. = О в палуплоскосги 1 > О. Плана 10. Ьй толы репгсвггя ураевений в гаствьж производных ВОВ изменении р в пределах 0 < !о < 2т; стрелка означает ггаправлг ние изменения Л(!г) при изменении р от 0 до 2х (при а > 0); па рис. 10.2.1 — 10.2.4 цифрой ! сбозяа.ггл едипичвьгй круг. Мы имеем (Л(!о)) = х/1-~- (отта/!гз) )ашх !г, шах !Л(!г)( = Л (.-/ =- х/! !ч- (азгз/Ьт).
Егли т = А!гз при т, Ь вЂ” ! О, то )л(р)(= т/!+ аАа - = ! 4 отйзт/2+ и(тт) в<и<а. и условие (4) выполнишся; в шом случае следует ожидать устой швогти Если йш г/Ь = сс, то ,!-ю 1!ш ((Л(-))- !)//т = ос Пример 2. Разностная аппроксимация: ,и г ов "ь+а 'в '" А в =О при о>0. Ь (10) А~алогично (9) получаем Л(!г) = 1 — от/Ь -~- ат/Ьсхр(-1!г).
Если 0 < а г/Ь < 1, то (см. рис. 10.2.2) (Л(!о)( < 1 — ггт/!г-~ глт/Ь = 1 и слглует ожидать устойчивости. Если ог/Ь =- к > 1 при г, Ь 4 О то 1йп Л(х) = 1 — 2к < -1 и ашйгоксиме.ция ясусгойчива вследствио . ь-ге СПУ. Аналогично показываетсв, что глепуег ожидать устой швости схемы пт па! г ьт! -1-и ' =О Ь при а < 0 и (о(т/Ь < 1. и условие (4) не выполняется ни прн «акоы С; тогда сеточная аппроксиьшция неустойчива. Эта аппроксимация практически не упот!нбляется вслодствне более жесткого по сраааепиш с другими схемами оцганичеяия па шаг т = О(!ст), веобхолимого для устойчивости. п сильного ргкта (как ехр(атйвпт/2)) возмущения рошенив. 509 ( 2.
Аггпрокс.пиацие простейших гипербсеш гссиих задач (ш,п+1) е (ш-1,п) (ш,п) (шг 1,п) Рис. 10.2.1 О 0 0 0 Рис. 10.2.2 О<о(<1 Рис. 10.2.3 0< от <1 Рис. 10.2.4 О« — 1 пт ' 0 — )1 ат Ь пт й — >1 гх'г 0 Б10 Глава 10. Мосолы реп!алия уравяеяяй в час!выл производных Пример 3.
Разнос>хая аппроксимация: охы и — ! !л™ ы 2о +а т +а — —, =О, (12] 2Ь 2т Ьт ат1 Л(р) = !Л вЂ” — — ) е'!'+ !Л-+ — ) е =совср — — ылср. [,2 21>/ 'Л2 2!>,| й При [ат((с[ < 1 илсеем (рис. 10.2.3) ~л(р)[ < ( ) -у ( + ) и следует ожидать устойчивости. Рхли же [лт/Ч =- к > 1 при т, !! — > О, то Иш (Л (-)! = [ат/Л[ = к > 1 и аппроксимация неустойчива. ,л->е! !2~ Зал>стим, что эту аппроксимацию можно рвссмасрсшать шлк (8) с добавленной в нее для ус!!>йчивосги «вязкостькж! и 2т Лт 2т Пример 4. Аппроксилсвлия «треногам Приведенные выше аппроксимации имеют первый порядок по совокупности т н (!.
Построен аппроксимацшо второго порядка; для простоты будел! отпраэлятьс» ог апщюксимации (8). Подставляя разложение Тейлора и(х, !) в ючке (сл!>, сгс), имеем (Ел[и!>,)! = тес!(«!!1!, пт)/2+ 0[йз) + О(т!). с(, 1 Из дифференциального уравнения (1) получаем ил = а>ивы Приблизим л>ихя выражением ат(йгал)моь Тогда соответствующая аппроксилсапия Ьь ил —— 0 примет вид О! о'„— «>„с ое,«! а, — ! а ™т«! 2всч+нс -! 0 (Рй) 2(> 2 (,! Так же как и ранее, сюлучаем Л(ср) = 1 — 1(ат(1!) в1пу>+ (алт/(с>)(стлср — 1). Если мы положим Л(р) = к+!у, то (гы.
риг. 10.2.4) можно написать (л- (1 — (ат/6) )) рг (ат/6)«(~т/(с)! т.е. тсежи Л(ср) лежат иа некотором эллипсе в комплексной плоскости, располсокенном симметрично отвосительно оси р = О. Поскольку Л(п) = 1 — 2аттз/Ьз < -1 при [ат/(с[ > 1, то в случае [ат/!>[ = сопв! > 1 спектральное условие устойчивости не выполнено.
811 12. Аппроксимапи» простейших гиперболических задач При (ат/Ц < 1 имеем (огтг/Ьг)2 < агтг/Аг! поэтому можно написать цепочку гаотношений п2т2 Л 2 2 )Л(Д2= (!+ г (-,-!)') ~ — э!и,= пг г >„2г 2 = 1+ (2соэу> — 2ьэ!п22>)+ ~ — — ) (~оьу> !)г < 82 ~, Аг) агтг „г 2 Аг Т(,.2 от 2 Ьг от 2 2 =-1+ (2соау> — 2+юп !с+сти р — 2сюэсс+1) = !. Аг Такиь> образом, при )ат/Ц < ! выполнено спектрапьное усговис устойчимюти.
Сделаел> ряд общих замечаний. 1. В>ли от/Ь = и п!>и т, 6 — > О, то лля всох выписанных аппроксимаций эьп>слиплось гоогноп>сииэ Л(р) = р( — р)+С(р" '), где г —.порядок аппроксимации по т и Ц Можно показать, что это условие является пеобходимыл> для того, чтобы имела могло аппрокснмапия гчо порцлка точности. 2. В>ли )>т)Ц = 1 и а > О, ж> эсе рассмотренные аппроксимации имеют вгд э! и, — и,'*ч, = О. Поскольку решение галю>и есть и = пс(:с — аг), то а этих случаях они абсолютао точные; при этол> Л(2>) = схр( — !(ст/6)2с) = е >т. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
