Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 97
Текст из файла (страница 97)
е Вели аюьзалось, что А!, < О, го счет по этой схеме прекращается, поскольку ни при каком ть > 0 ие удастся добиться удовлетворения услоте вия 0 < о(т6, 1„, п„,)-й при всех пь Исши А,', > О, то швг т„= !еь! — ! 6 выбирают такилг, чтобы выполнялось условие Л~т„/6 < 1. Для линейных п сваболинейных зала.! во всех пзеестпых случаях, когда было проведено строгое исследование усгойчнвссти и кгвффициенты уравнения удонлетворялл условию Лили!ица по всем переменным, имел моего следующий факт: если выполнялся критерий устойчивоств по ПЗК, то схема действительно была устойчива. 8 4.
Численное решение нелинейных задач с разрывными решениями Рассмотрим задачу Коши для уравнения 1йг дп — +о — =0 д! Ох при начальном усяовии прн к<0, при х>0. 525 14. Численное репюенве велинейнык задач Эта задача не имеет непрерыввого рсплния, поэтоьгу ревностная задача в обычном смысле не аппроксимируег дифференциальную. Однако теь1 не менее рассмотрим рвзноегные аппроксимации эюй задачи (2) т й о"" — г " и — и — й =0 2 й [2) сю т при начальных условиях (4) 1 прп ш<0, 0 при ш>0.
(5) Ногрудио убедиться, что при т = 6 решением задачи (2), (5) является при гп<0, при ш>О; решением задачи (3), (5) явлиегся прв гп — и <О, при гп — и > О. Решеиие задачи (4), [5) не выписывается в явном виде. При г = Ь, нз (4) ил~веем , з (б) Непосредственно вьгчиюгяв значелшя о "е можно убедиться, гго 1 при т — и/2 < О, )гп — п/2[ » 1, 0 при ги — и/2 > О, )ш — и/2) » 1.
Более ючные теоретические оценки показывают, тю 1 1 -~- 0(д("' в1з~) прн ш — и/2 -ь — оо, о О+ О[с) ерй) при ш — п/2 — ь со, где д < 1; следовательно, решение сеточной задачи (4), (5) блюко к разрывной функции 1, т — 1/2<О, и(х, 1) = О, х — 1/2>0. Таким образом, решения различных разноспгых задлг, аппроксимирующих на гладком рюпении одну и ту же дифференциальную задачу, в Глава 1Ц Метолы решения уравнений в частных производных илв [ (-нзей — нЖ) = 0; (7) здесь à — граница области С. Если умножить уравнение (!) на и и про- интегрировать по области С, то получиле (8) Если для гладкой функции п(х, !) выполнены условия (7) нлн (8) для любого контура Г, то зги услония равносильны. Дело обстоит иначе в случае разрывной п(х, !).
Пыжи п(х, !) — кусочно-гладкая функция, то н» (7) можно получичтв что в области гладкости функция и является решением урвлвення (1), а вдоль линии разрыва Х(!) выполнено соотношение ИХ [пт/2[ и+ + и ай [и) 2 здесь /е(х, !) = 1!П1 /(х ! е, !), >е, -е / (х !) — !пл /(х в !) [/[ — /л+/ Гочво так жв из (8) следует, что в области гладкости функция и явля.тгл решением уравнения (1), а вдоль ливии разрыва выполнено соотношение [пз/2[ 2(пт „ й! [пт/2] 3(пе -!-и ) Из вьппесказанного видно, что для сходимости решения разносгнай юдачи к разрывному решению уравнения (1) существенно определешюе случае разрывного решения могут схсдгпъск к различным пределам при стремлении шагов сетки к нулю.
Заьгпгим, чзо само решение такой диф. фереяциальной залачи также не определено однозначно, пока ничего нв сказано о том, как проходит линия разрыва решения. В наиболее типичных случаях условия ва ливии разрыва являются следствием интегральных законов сохранения, из шггорых возникла дыь ная дифферглциальная задача. Пусть н — гладкое решение уравнения (1); инпя рируя (!) по псреысвиым (х, !) по некоторой области 6', получим 94. г/исвенное решение нелинейных задач соответствие между разностной задачей и Законом сохранения, Пютвим сгвующим диффаренциальной заддч». Соображения здравого смысла, численный зксперимевт я теоретические оценки погрешности для случая одной нгизве«твой функции пока.- зали, что рвзностная схема должна обладать сеопстеезг диеергеитиастп.
Первоначально зта свойство формулщювалось в следующем виде: мхи ищется решение уравнения д2е(я., й о) дф(к, /, и) д/ дт, соотяетствующее закону сохранения ~(фг(/, — угг(з) = О, то левая часть разностной схемы должна яюгязъся линейной взмбинацией вмрежений (9) или близких к ним. Например, ревностная схема (4) удовлетворяет угловиго дивергелтности па отиошевию к закону сохранешш (7). По отношению к закону сохранения (8) условию дивергентности удовлетворяет разиостнвя схема ы)2 ( )2 (и )3 (о )2 2т 3/г Впогледсгнии оказалась, что угховие дивергеггтн<кти допускаег существенное расширение. Например, такому расширенному условию дивсргентности па огнозлсгпгго к уравнению и, -~- (~р(гз)) = О удовлшворяет следуюпсая разностная схема.
Сначала делается полушаг тг/2 И -,.З + Оь 2 /~мг- + гз Г омы а затем полный шаг по формуле в,, — и,, 2 'г тг/2) 2 ( — 1/2) т /г Здесь разностная схема записываетгя и виде линейной комбинации вы- ражений (9) лишь на заключительном шше. Глава 10. Метали решеиия уравнений в чж-гиых производных или же ч! ел 2 . л! ил+1 и — и и 1 и1Щ +ишь! 1 т = 1,..., М вЂ” 1, и = О,..., ЬС вЂ” 1; (4) В 5.
Рааностные схемы для одномерного параболического уравнения После того как мы познакомились с воаросами устойчивости и сходнмости для гиперболических зада' ! на нестрогом уровне, перейдем к исследованию рвзноствых схем двя параболического уравнения в случае одной пространственной переменной на математическал! уровне строгости. Пусть требуется найти функцию и(!г, С), являющуюся решением ураннеиия д д2„ —,'= — +/( ц с) дС дх2 (1) в области Г/2 = [О, Х) х (О, 1') с начальпыл!и и краевыми условиямн и(х, 0) = ие(х), и(О, С) =. Сл!(С), и(Х, С) = рт(С). (2) Вс!оду далее будем считать, что функции /, д, и иа таковы, чм> существуат досллточно гладкое решенно задачи (1), (2).
При построении разностной схимы поступим так же, как и ранее. Разабьел! исходную область лзт прямоугшп,иой сеткой с ша!ами Ь =- Х/М, т = 2/ЬС стх>твегственно ло координатам х и С. Вудам искать функци!о и', определенную в узлах (>п, и) сетки с„>л =- ((а!ь, >п): 0 < гл < м, О < и < ЬС), которая является приближением функции и и б)>, . Обозначим, как и ранее, и (п>Ь, пт) = и,"„.
Заменим пронзводпые в (1) разнасгиыми отношениями. Производная ди/С>С в точке (шЬ, пт) может быть заменена рвзностным отношением многими способами, например ди! и(тй, (!14 1)т) — и(гп!1, пт) ди / и(гпЬ, г>т) — и(п>11, (и — 1)т) В завигимости от способа аппроксимации будут получаться различные разностные схемы.
Вторую производную по переменной х заменим обычным способом: дти( и((т — 1)Ь, пт) — 2и(тЬ, пт)+и((гп-~-1)Ь, пт) Ь2 подставляя зги сгютношения вместо сгютветствующих проиаводных и (1), получим ш и,„— и и,",, ! -2иш4-ишь! — Ьт ' + '- (3) п> = 1,..., М вЂ” 1, и .= О,..., СУ вЂ” 1; 529 15. Разеастные схемы лля иарабслеческап~ уравнения (втаРаа схема полУчена после псРыхюзначе»»ив и — У и+ 1]. ФУнкциЯ гг,"и является аппроксиыацией,У(х, С). Кроме уравнения (1) необходима апнроксил»кровать начальные и граничные условия. Положим и = иэ(гпУ»), ис —— р»(пт), йсс — — у»г(ит).
(5) Таким образом, уравнения (3), (5) и (4), (5) соответствуют нскогорыл~ разностным аппроксимациям краевой акдаш длв параболического ураннепия (1), (2). Найдем порядок погреши»1сти аппроксимации разнастпой юп.мы (3), (5). Для этого подставим в (3) го.шое решение дифференциальной задачи. Так как и(х. »»т -У. г) — и(х, пт) ди) т ори 6<4<с, т дС((авф 2 дгг Се а, и((т — 1)6, С) — 2и(гпЬ, С) -у-и((т+1)Ь, У) дги) г Ь' дх ~(.эь СУ Ь дги 6<6<6, 12 дх' Уумл„а» * то и(х, С+ т) — и(х, С) и(х — 6, С) — 2п(т, С) -1- и(х+ 6, С) У,г — гг(»», У) = дв дги т дги Ьг дги! Са»гСУ 12 д» 1 .ыл»1 = у'(х, С) — »»(х, С) 4 0(6г+ т).
Таким образам, если положить ф' = у(тЬ, »г»у, го порядок погрешности аппроксимации разнос»ной схемы (3), (5) будет О(Ьг от) (грюшчпые и начш»ь»»ые условия выполнены точна). Аналоги шо устанавливается, что поряцок погрепшости аппрокснмзпу»н схемой (4), (6) задачи (1), (2) такуке равев 0(Ьг + т). Между схемами (3), (5) и (4), (5), однако, нмеепя принципиальная разница. Выясним ее суть. Из (3) следует соотношение (6) уз В силу того что значевия ие, известны, из (6) можно найти значения и»„ (т = 1,..., 64 — 1) и т.д. Поэтому по известным значениям и,"„решение на гледующем временном слое находится с немощью явных формул ег (6).
И»отому схема (3), (5) называется леной. Глава 10. Методы решения уравнений я честных проиэвцнных 530 Прнэбразуя (4), имеем ХВ ш-1 нй =. рв = дг((!! -~- 1)т). 4+' = р, ~' — = 1 1(( + 1) ), (7) При известных о,"„, гп = 1,..., ЛХ-1, соотношения (7) представив!от собой систему линейных влшбраичсских уравнений относнтеэьпо неизвестных э",+', ш = 1,..., ЛХ вЂ” 1. Поэтому схеьш (4), (б) называется нелевой. Система линейных уравнений (7) относительно вектора неизвестных т = (в!е~,..., вмт' )2 может быть записана в ниде Аъ = ь, где матрица А и вектор правой части Ь нмевп вид О О О О йэ 1й— 2г Ьй О т 2т — — 1 -~- —.
йэ 1Р Для ре!пения этой системы можно воспсшьзоватьгя, например, методом ° рогонки, описанным в предыдущей главе. Проведем исследование устойчиностн этих разностных схем. Мнажотгво узлов вида (!и, и), т, = О,..., М, будем нэзынать п-.к оеоеы Пусть э!' — сужение функции иь на п-й слой, а егя — сужение правой части 22ь !а внутренние узлы и-го слоя. Введем нормы на слоо Раэностную схему будем называть устойчивой е сеточной норме про- 1!праве!лен С, оглн существует пос!оянная сг„не зависящая ггг шагов утки й и т, такая, что имеет место оцшпса шах ))ов)) < э«* л (О) <с1 ( шах ))!р ))+шах~ шах )рг'), и!вх )р2), ))в ))1~).
Игследуем вначале устойчивость явной схемы (3), (5). Имеет место 2т 1 4 —. 1,1 г Ьй ня 4 ту!от!, 1 Ь п1'+ тзу! ~ + —,ргИп й 1)т), нв! ! + ту!э! ! + 1202((п 4 1)т), 2<й<М вЂ” 2, й=1, й = М вЂ” 1. 531 3 б. Разноогные оюмы для параболическою уравнения Теорема 1. Пусть т < бт/2. Тогда уолностнал схслю (3), (б) устойчиво в сеточное вормс пространства С. Дскалатааьсяюо. Перепишем (3) в ниде в+'=П вЂ” 2 )и" + где р = т)б'. Если шах(и„,е~( достигается во внутренней ючке (тш п-~- 1), то шах)и'„'г~) = шах((1 — 2р)й' -~-Са",,, + ри +, -рты„,! < < (1 — 2р) ((иа((-~-2р((и ((-~-т((Т"!) = ((и~(( От((Т" (). В противном случае ) < Ори+'(, (рРы!) Отсюда след„уст оценка ()и"ял(( < гоах ((рзьм(, (рзатз(, ((иа((.~- т()Зз (О, (у) связываюигая нормы функции на согедннх слоях.
Пргдсзавим теперь рошение иа задачи (3), (б) в виде иа = уа + о~', где уа — решение задачи (3), (б) с правой частью 1аа ы — О, а оа — рошение задачи (3), (б) с однородными граничными и начальными успениями. В сллу оценки (У) для у имеем )~У~Н~( < ~ ~ Г~, ( а~ су. З) < < шах шах (рз~, гпах )ря), ()и ((). (ойьйя " оял<л С другой стороны, для оь в силу чой же оценки (У) получаем ()о"ь (! < ()о )) -Гт((ьза)) < )(оо () +т()(Згас+)!Т" ))) < ° .. < ~т((1с (( < Т шах )(Зз ((, о<а<и ь=а если (и-~-1)т < Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
