Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Таким образом, при замене рец1сг|ия дифференциальной зцлюп1 решенном ое развоспшй аппроксимации возникают гледууисш1гя проблемы (аналогичные проблемам, возпикзвгпим ранее цри рассмотрении мезодов репгешгя других задач): 1) сходится ли точное репэение рвшпгхшной задачи к решению дифференциальной; 2] насколько сильно изменяется решение развсхтной зшшчи, если при вьггислениях допускаются нексеэрые погрешносггь Псхггроим формальный математический аппарат; помогыощий при рсшенпи этих проблем. Будем расслсатривать задачу (8), (9).
Отшоснгвльно Г, будем счгнать что Г; — задыпзые части границы Г, причем разли шые Г„могут иметь непусччх: пересечение; 1,— некоторые операторы; /, рм..., сз, — заданные функции. Определим некоторое множество точек в пространстве независимых переменном Ра, которое назовеь~ ссшкоа (как правило, Рь выбирают так, чтобы оно принадлежало замкнутой области Р). Точки множества Рь называют Рзломп сеглхп.
Обы.пю сетка, на котоРой отыскиваетсв Ре. шение, зависит от нескольких парамотров (в предыдущем примере от г 501 9 1. Основныс понятия теории метода »сток и 6); однако во многих типичных случаях при дроблении сатки ее шаги связывают между соСюй каким-то законом вида г = Ай . По»тому в дальнейших общих пгютровниях и определениях длш простоты мы указыжюм заки«нмосгь только ггг одно~о парвмсгра б ) О. Пусть бгл пространство функций иы определенных и узлах <итти Вы Вл — оператор, преобразующий функции вз Ц, в функции, определонньи: на пекочоролг множестве Вл с Вл; буделг предлюлагатгм что Вл с В. с с )л)номы»во функций, определанных в точках Вс, будам обхцначать через Ял. Для аппроксимации граничных условий (9) выбиршотгя некоторые множества Г,л С Г, и в точхах зтнх множеств определяются значения некоторых операторов над просграпшвом функций Пл.
Пухл ь Фы. прострап«тво функций, определенных в точках множагтв Г,л. Если Х С У и фунхцня» опрецелсна на множестве 1, то се следам ял лгновигсшве Х ввзывшоз функцию, определенную на множества Х и совпадающую тим с». Если функция о опрвделена на нвкотором ыгюжепвв, содержащем Вл, ю гп след на атом множества будем обозначать (е)л. Пусть У--простраыство, к кгггирому мы отпосилг рсшенио задачи (8), (9]; Р . пространство правых частей 1; Ф, — пространства функций, определевных на Гг Пусть в ирштрангпвах функций бг, Ц„г', г)л, Фо Фш опредвлены нормы )) ))и, )) ))и., )) ))гч ))-))гу, )).))ип )) ))а,.
Этн нормы называют согласоваылмми, если при л -л О для .вюбых достаточно гладких функций и б ГГ, ( б Р, лл б Ф, вып<»шявлгн гххггиошения ))(и)л)(пл -г))и))п; ))№()гл- ИЯ; ))(Ул) ()фл ы))ли))а. Говорят, что сеточная функция ил сходится к решению задачи (8), (9), если Ц~л — (и)л))пл 0 прн Л -л О. Исследование сходимостн разгкктпых шшроксимаций нмсит смысл произвгшдть лнгпь в нормах, соглшовапньгх с некоторыми норшвгк в пространствах гладких функций. Если отказаться от требования согласованности норм, то условие сходимгхти иногда может перестать быль содержательным: в случае любой погледоватсльности сеточных функций ил путем введеннв нвкоторогю лпюжителя, достаточно быстро убывающсго при й — л О, в определение нормы можно добитыя, чтобы зта вослеЛователыюогь сходилась к решению задачи и.
Расгмегрим некоторую »сточную задачу (10) бл(ил) = Хл, 1.л(ил) = члл, г = 1,..., в. 502 Глава 10. Методы решения уравнений в частных производных Гонорят, ччо сеточная задача (10), (11) аипрокспмирреш дис)зфереицнальную задачу (8), (9), если выпаяняетыг следующее условие: крп «псбых гладких п, 1 и уь «(6) = [[ бь([н]л) — [6(пНь [[г1 + [] Л -- [Х]ь [[р, + (12) +~([)1Ь([п]Ь) — [1(П)]~ [[Ее+)[ри-[уч]Ь][,„) -ГО, В 6-ГО.
'=! Пропллюстрируеы приведенные опроделвния на примере рассьнпрепной аппроксимации уравнения теплоировсдности. с1ерез Р будем обозначать множество точек 0 < х: < 1, 0 < 1 < Т; пусть Г~ .отрезок [О, 1] оси т, Гх — иолуинтервал (О, Т] осн 6 Гз--полуицтерввл (О, Т] прлмой х = 1; точки (О, О), (1, 0) ыожво было бы отнести н к множествам Гз, Гч пютветственно. Если 1/6 = М, 6' = [Т(т]--целые, то через Ра обозначим л~иожество точек (т6, пт) -узлов (гп, и), удовлетворнющих ушювияы 0 < ш, < М, 0 < и < 6'.
Определим соточпьгн оператор бь соотношонием (13) быль[(вс ) = " " ' 6«е Тогда множество Р~, будег состсыть из узлов (т, и] таких, что 0 < т < М, 0 < и, < 61; в осшльиых у~лат (т„п) при вь б Рь значения Ьвпь не будут определены. Если правую честь (13) обозначить как бань[ба втй, то множество Р~е, будет гсвг«опте из узлов (т, и) таких, что 0 < ш < М, 0 < и < 1«'. Правую часть сеточной задачи выберем в виде Ибщв1=3( 1, ) тогда велнчина )[Ть — [Т]1,[[тю вхоляшвя в выражение «(6), есть нуль. это соотношение вьшолняетгл но для всех схем; например, из охбражвния повьппсния точности иногда разумнее было бы полагать правую часть разностной задачи в точке (гп, и) равной 1(щ6, (и+ О,б)т).
В качапгвс согласованных норм [[.][не и [[ ][и при исследовании зтай «адын обычно выбирают нормы [[пь[[щ = внр [оы[ о<в<в,о«м (14) ()п[)п = ввр )п(х, 1)[ о<щт,о«~ 503 2 1. Основные понятия теории метана сеток или же нормы ))гьь,((нь = епр ГЛ) )и,"к)', (16) г! Игь = знр / ) (2*2П2 дойь<т о В Дальнейшем Дла пиостоты изложениа бУДем пРеДпгжагаттп чео опеРаторы А, 1„Еш 1,л линейные. В атом случае вводится слепу!отсс определение устойчиеоепш (лоррекьпиосгпи) осташ!ой зпдпчи (16), (11). Этр задачу ьажиоаьот устойчивой, если ври Л < Ло с!1и1естерюгьь поспкшипие Мо и Мп ие опеисяиаи от Л, пшяие, что )(ил))пл < МОМльы ()!6 + 2 61 ()1ь! ил((еь,. =! (16) белил —— Ь !шил = р,ь ' '= 1' ! ! ! ! бл ьл = ул, 2 2 2 2 то при линейных Сл и Цл согласно (16) можно написать $4 — йл)(пл < Мо'!) ЛлиЛ вЂ” блйл()лл + ~М, () 1ыил — !!лил 1) а,ь.
= (17) Мо)(ьь — ьл )(ьл 1,) М (! уььл у!л!!Фл. Таким образом, в случае выполнения условия устойчивости решения се- точной Зе,печи мало рачвичаьпгсы друг от друга при малом изменении правых частей уРавнения и граничных у!повий. Как видно ьж определения, в глу гаг линейной задачи в определение угпойчивосги не вхс!пят функции ул н уь,л. Поглвирим, какой ем!пел в зпьл! определении. Для случая линейных задач разиоетипл схема (10), (11) представляет сйюй гистольу линейных алгебраических уравнений.
Позтому из (16) гледует, ьто при ьл = О, ьрьл ж О система уравнений (10), (11) имеет лишь нулевое решение; позтому на основании чторемм Кронекера-Капелли задача (10), (11) разрешнльа при любых правых чаг".шх ьл, уььл. Такил! обре:юм, в случао линейной задачи из усвоил» устойчивгкти следует одпознапыя разрешимость системы сеточных уравнений при любых правых частях. Волн иьь, и иьь,— Решениа гжгочных задач 504 Глава ЬО. Меищы решения уравнений в честных производных Пусть и и П. Величину г<е = Ь<,(и]<, — 1<, называют наср<илия.'те<о аппроксимации ураенеиил на решении задачи. а величины «, — — 1<ь(<ь]ь, — <рш.— ььоярешностлми атйьаксимации храни'тих <ю<лояий на ренюсии задачи.
Половсим ре(й) = ]) бь(в]ь, — Уь ](ню р,(й) =. )] (т(и]я — <>и ]]еа. Если и — ращение задача (9), (9). та волнчкиу р(б) =- ~р<(1<) называют =е я<врой хпогрешиоспьи аппроксимации разнос<<<но<1 с.сельм (10), (М) диЯ>еу>еь<- циальной аида т (й), (У) иа решении. Ящш р(й) — < 0 при й — > 0 и и— решение (8), (9), то говорят; что (11), (12) а<ьпроксимируснь (9), (9) яа решении задачи.
Порядок величины р(й) при 6 — > 0 называют сьорядко.и аппраяси<иирш на репюиии. Выше обсуждалась проблема чув<твительности роально получаеыоьи приближенного решения ссточной задачи ь округловиям в процессе вычисления этою решения, или, иначе, проблема устой швостн приближенного решения сеточной задачи к погрешностям округлсншс. Рещение этол проблемы звени связано с решением вопроса иб устойчивосьн раз<<сытной <ьццюьь<. Дело в тоы. что округления, .допусююмьн.
при вьгокжениях, можно рассматривать как жвмущепвн коаффнипснтов и*точной аадачи. Найдсы связь ысжду аип1юксвмацией. усзойчивостыо и сшщимостьк>. Предположим, что соточнвя аппроксимация (10), (11) удовлозворяет сведу<ошам условиям< 1) решение днффсренциальяой задачи удовветворяст точно (я — й)- сего*анси граннчнь<м у<павиям 1<(и]ь,=уьь, «=й-у1,...,я, тс. р(9)=О, «=941, 2) па классе функций нз (<<и удовль<гворя<ощих однородным граничным условиям 1<из = О, 1=.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
