Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 95
Текст из файла (страница 95)
В твх случаях, когда аппроксимации (10)-(13) некоррсктвы вслсци стане СПУ, их можно было бы также забраковать при пол>ощи теореыы Кураита. 4. В остальных случаях, г.е. дпя (10) при 0 < ат/)> < 1, для [11) при -1 < ат(А < 0 и для (12), (13) при )ат/Ц < 1, их устойчивость следует из решения задачи 2. б. Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений (гл. 8, >) 9) заслуживают внимаввя методы интегрирования с переменными шахами по времени, в ряде случаев являющиеся весьма эффективными. Глава 10.
Н1етцвы решения уравнений в честных лроизводных Задача 3. Доказать, что вгшроксимации (10) при 0 < ог/1> < 1, (11) при — 1 < ат/й < 0 и (12) при [от/1>[ < 1 обладшот слечующим свойством: для их решений выполняется неравенство ~)п,",+~[ < ~ [и,"„[, сели [ве [ < в неравенство впр~ [н„~ [ < япр ~ [о „[, если япр[н„,[ существует. (14) Задача 4. Доказать. что при использовании тгих аппроксимаций прн л>обом п Решение сеточной задачи монотонно по >л, если монотонно еег (1>,[о[ь)[1мой —— ген(гн1>, пт)/2 — [йт/2т)а,„[н>й, г>т) + = (гпз/2 — 1> /2т]о [гл1>, пт). Условия т, л -> 0 еще псдошвточно, *>гобл> н>в схема аш>роксимнровала ишодное уравнение. Необходимо еще добавить условие ОР/т -> О.
Требование корректности [ат/6[ < 1 и рвд других условий при реп>енин сложпь>х задач приводят к тому, что отпоив,ние 1>т/т часто осшотся болыпим при малых г и Л. Ка>оствеино это ухудшение аппроксимации проявляется в появлении евязкостнв аппроксимации: все нероны<лжи решения, вкл>очая разрывы, сильно выглэживаются. В случае, когда коэффициент о меняот знак, воз>го>кис гювыептное использование охом (10), (1!), когда используется та или иная шть>э в за.
висимости от знака а. Одна нз наиболее распространенных схем решения задач газовой динаыики (схема Годунова) использует именно эту идею. Аппроксимация (13) эффективна в гтучае гладких решений, но при наличии разрывов дает большое число паразитических волн. Поэтому она подвергается модификации в обласп>х больших градиентов решения. Это свойство моносонности делает сх> мы, удовлстворянвцие условя>о (14), весьма удобными при шпогрированли разрывных решений Если при инпгрировални разрывных решений употребшгпь аш>роксимации, нс облвдающио таким свойством, то в рвзностпом решении появлн>отса паразипо>вские волны, имитирующие разрывы в иногда ьн>шагощие пониманию истинной картины тшенпя.
Сделаем ряд заысчаний по поводу практичелжого употребления этих элпроксльвщнй. Истерически первой была аппроксимация (12); она облады г глевующим недостатком. есвн мы подставим в ьь[н[>, разложение тейлора п(з, 1) в точке (п>1>> о."г), 010 12. иппроксимышв просгеиших гиперболических задач с Рис. 10.2.5 На рис. 10.2.5 изсбрахсено поведение решений различных разпостиых аппроксимаций уравнения ~ О, если т<0, пг, + и = 0 при пе(х) =- 1, если х>1; сплошной линией обозначено точное решение,, х, — напученные 1га~ чшпые зев~енин по схел~ам (10), (13) и третьего порядка ссютвегственно. Рассмотрим пример применения СПУ в случае решении сислемы уравнений.
Пусть решается задача Коши дли сишемы уравнений пг+ае =О, ег+Ьп =О, аЬ>0; условие еЬ > 0 обеспечивает гипербш~ичноьчь системы. Рассмотрим трехслойную разностпую схему, аппроксимирующую исходную задачу с погрешностью О(6~ + тх): и Ы' — и",„' гг'), — па +а г =О, 2т 2Ь , Чг — г е Ь м+г +ь =о. (10) После пасгроеиия аппроксимаций (10) — (12) в применении к гиперболическим зцлюгам долгое время казалось, что применение схем высокого порядка точности являетси нгоправданныьс такой вывод объяснялся тем, что вге известные к тому времени аппроксимации нгорого поридка превращали разрывные решения в решении с болыпим числом паразитических волн. Впоследствии теоретический анализ вопроса о кюпютвенных свойствах рыпений аппроксимаций при наличии разрывов показал, что зтим свойспюм обладают все линейные агшроксимяции второго порядка тачиссти.
Однако теоретические исследования предсказали, а практика подтвердила наличие аппроксимаций третьего порвдка хо цпсти с удовлетворительным поведением решений разностиых уравнений при наличии разрывов. Глана 10. Методы решения уравнений в честных производных 514 Ищем частное решение системы в ниде и,„= ссЛ е""", с =с2Л е После подстановки зтнх выражений в (1о) получим ! я!и ус ! Л" есшв !Лс! — -! 2огаЛ вЂ” ) = О, т Ь ) / Лг — 1 1япссрЛ Л гсСн"' ~сг — -! 2ЬссЛ вЂ” ) = О Ь ) и, следовательно, Лг-! , !и г, с! — + 2осгЛ вЂ” = О, т Ь !япсгг Лг — 1 2ссЬ Л вЂ” + сг = О.
Ь т Эпс система линейных уравнений относнтегп.но ксыффициенгов сг, ог гсмжт ненулевое решение, если определитель системы равен нуспо. Получаем уравнение, связывающее Л и гсс ()тсспда Лг — 1 г 4обя!ссг гг (') ,г ) +Лг т нли Лг ~ 21ь/оЬ вЂ” илсрЛ вЂ” 1 = О. 6 Таким образом, окончательно т т ° 2 Л = =р!з/оЬ вЂ” ипусш — аЬ вЂ” я!пгср+ 1.
Ь Ьг Если оЬтг/Ьг < 1, то подкоренное выражение неотрнцательво и с2 2 Тг 2 )Л! = оЬ вЂ” я!п~сс+ ~ — оЬ вЂ” ипгр-1-1) = 1. Ьг ~ !,г Таким образом, при ъРнЬЬт/Ь < 1 СПУ выполнен. т Задача б. Показать, что при ьсаЬ Ь— = к = сопи. > 1 СПУ не выполнен. 6 Задача б. С помощью теоремы об областях зависимости показать, что т при ъраЬ Ь— = к = сопя! > ! решение сеточной записи не обязаюльно 6 спгцитсл к решению дифференщсальной зцпачи. Лг — 1 с1е! ЛЬ. 2! я!п р Ла 2!я1пус Ь =О, Лг — 1 т 510 1 2. Аппроксимация простейших гиперболических зюпш Пусть в области 0 < т < М шцпггя функция п„о удонлетворяклцая (3) и некоторым граничным условиям Лапь = 0 1 (16] отпссижлыю значений й» при ш, близких к нулю, и 1ьпь = 0 2 (17) относительно значений о,"„ при т, близких к М.
Примечание. Число уравнений относительно значений и'„', на каждом слое берется равным числу неизвестных М .1-1, поэтому некоторые из уравнений (3) огбрасывавптя. Дпн красных сеточных задач г. постоянными коэффициентами также имеется СПУ, часто позволшощий дояольно просто гпбраковать непригодные для счета разностные схемы. Можно показать, что разностная схема, не удовлетворяющая атому СПУ, неустойчива. Этот СПУ заключается в следующем. 1.
Должен быть выполнен спектральный признак устойчивости задачи Коши (отличный от сформулированного ранее). Ищутся всевгпможные частные решения (3) вида (13) 1(р1!е л впр бе,( < с . — с < ~<е» СПУ задачи Коши состоит в тоьг, что при заданном законе стремления т,6 к пулю !пп япр (Л) < 1; (20) М)«<» обозначение лгр внедено с цепью подчеркнуть епге раз, по верхняя 1т1«<' ' грань берегся по множеству всех решений (13), удовлетворяющих условию (19). 2. Должно быть вытитепо ус«оспе спекшралсчк»й утлой юооппп «левой» краевой эпдачп, состоящее в следуюигем. 1'ассмотрим «певую» краевую падл~у Быль(1 „1 — — 0 при 0<ш <со, 4рь=О (с учетом примечания) и находим ее частные решения вида и" = Л"ю, фр((.» — — епр (л,»( < оо.
ес < Глава 1О. Метель» р»:шеняя уравнений е частник производных 010 спУ левой краевой задачи имеет вид, анзлогичнын (20): 11п» зпр ~Л) < 1. (М(» < (21') 3. Точно так же рассматривается «праван» краевая задача Оьиь = 0 при — оз < т < М, Ь~ь«»ь = О. Ищутся ее частные решения вила и„, = Лзйш такие, чп» ))г»)) =- зпр )г»»«) < оо. СПУ «правой» краевой задачи имеет вид — «лг 1Тш зпр )Л) < 1. 1т1- « (21») Пример 5. Рассмотрим сгяочную краевую задачу «.1 « шО, О<«»»<ЛУ, Л11»ш1, ие — 4й»' 4 З«»г' 2й = О, г гг = О. (22) Эти задача аппроксимирует дифференциальное урзвнеиио и« вЂ” и«=О при О<я<1 с краовыми условиями и«(0, 1) = О, и(1, 1) =. О. Исследуем спектральную устойчивость сего шой задачи в предположении, что т(Л = к = сопз1 при стремлении т, й к нулю. 1. СПУ задачи Коши.
Из«ем частные решения вида и",,, = Л"у»» . После подстановки в (22) и сокрашения па Л" получаем уравнение т (И или, что гп же самое, 1»г Л гг,«гг — (2 + (Л вЂ” 1) — )»рл, г- гт«, г = О. (23) Функция»р,„является решением одномерного конечно-рвзностного уравнения с постоянными коэффициентами (20), поэтому 1«ш сгрг + сгрг, где рцг — корни характеристического уравнения ьгЛ и — (2 + (Л вЂ” 1) — ) и -1- 1 = О.
т) (24) Заь»етиь», что замена неизвестной нерв»генной и»» = М вЂ” «т» переводит «ле- вую» краевую задачу в «правую» и пасрюрот и соответственно пресбра. зуются друг в друш СПУ «левой» и «правой» задач. 12. Аппроксамэциа п1»осгейших гиперболических зал«в Согласно теореме Виша рц«з = 1, поэтому Р = тз1«з -У с»1«~ Для ограниченности )Ц)с при всех см ст необходимо, чтобы )р~( = 1.
Полагая р» = с'«', из (24) получаем з у» Л = 1 — 4 — мп 1з' 2' Если к =- т)1»з < 1/2, ш эпр)Л) = 1 и СПУ задачи Коши выполнен. В противном случае ан пе выполнен. 2. Спектральную веуоюйчивость «левой» крвгвой задачи мы доквжелц «угадав» пошищоватгльность частных ре»пений и,=Л р с Ьл ))«<оа таких, что 1зш ~Л) > 1.
Ищем рел~епие «левой» краевой задачи в ви,л-»е де и,"„= Л«рш. Подснюляя и,"„в (22) и сокращая на Лэр«', получим Л вЂ” 1 р — 2-~-и з = О. т 1Р (2б) Подставляя и,"„в левое граничное услопие (22), получим уравнение 1 — 4р 4 3рэ = О. 1 1 Ега корни рз = 1, рз = —,, корша рз = —,, соглш;по (25), схь 3' 3 4т 4 ответствует Л = 1 -1- —,. = 1+ — к. Для этого ча«тного решепив 3!»з 3 и"„= Л"уш = 1 -1- -к) Н имеем соотношения 4 ()Лт ))+ = 1 и )Л) = 1+ — к > 1 3 Следовательно, СПУ этой задачи ве вьшшп»ен н следует взять другу~о аппроксимацию граничного условия и.
= О в тонге О. Зццача 7. Доказать, что аппроксимация грани шаго условия — «ьз + 4ие» вЂ” 3и» Л соответствует «левой» краевой задаче, удовлетвариклцгй СПУ. ",„=Л иу, и =СрГ+Стрз Пример 6. Рассмотрим «правую» краевую зэдю»у. Как и в случае задачи Каши, получаем совокутшасть частных решений вида Глана 10. Метены решения уравнений н часгвык производных 518 где Л и д связаны соотношением (25), причем, как и твм, дцдг = 1. Удобно представлять функцию ум в виде д,„= С,д'гл + С,Д',л ; — и ° -и Из правого граничного условии (22) получаем угвг = Сг+Сг = О, поэтсмг эгя = сг((гг — дгл ). егин (дг) ) 1, то )(гг~ ц 1, н наоборот; в обоих этих спУчаах Уы -+ оо пРи гц — т — оо.
ПоэтомУ иве ш~теРО- суют лигць решении с )дг) = )дг) .= 1. тогда дг = е"', дг = е гт и 4т г(г Л= 1 — — И ),г Как и в случае задачи Келии, нслучаем, что СПУ выполнен при к = т(йг < 1(2. Рассмотренные выше разиосгные схемы относятся к классу ленив; значения решения на верхнЕм слое вычисвяются по значениям решения на нижних слояк по формулам нида (ср. с (7)): мг Ог~сх (2б) В случае, когда матрица С треугольная (а прн решении систем урэвнений в гастных пронзышных блочно треугольная), рэзногтнунг схему нэзыванл иолу- леной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
