Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Таким образом, окончательно имеем (( "((< Ьа((+((о ((< < гпах ~ шал )рз(, шах )рз), ((и ))) -~-Т шах ((97 !). Так как зто неравенства справедливо при любом и, О < и < Ж, то это и означает устойчивость разностной сжмы в сеточной норме пространства С. Теорема доказана. Глава 10. Методы решеевя уравнений е честных прокшодных (Этот вывод можно было бы сделать, непосредственно используя соотношение (9) и пе вводя в рассмотрение функции 9' н ех.] Отметим, что постоянная в (8) получилась в данном случае зависящей аг Т. Если т)1г = ь =- гопя1, то условен а < 1/2 является необходимым и достаточным условием устойчивости. тфз 1~2 Задача 1. Пусть 1ип — =-еш Доказать, что схема (3), (5) нее, †устойчива. Указание Рагсмотреть частные решгни» гггпй и,"„= Л" ып д.
Доказатееьство устойчивости разностной схемы (3), (5) было получено при соотношении па шаги сетки т < 1Р/2. Разиостные схемы, которые обладшог 1ттойчнвостьк) лишь прн определенных стютвошсниях па шаги сетки, называются условно ргглгючвеилш. Соответственно, если схема устойчива при лкгбьгх игггю1пеннях между шагами сетки, то такая схеьш называется безусловно угшоячиеой. Покаягем, что схеыа (4), (5) отвоснтсв к квассу бшусловно устойчивых схем.
С и рвведгп1ва Теорема 2. При любит А, и т длл решеигш зппп ги (4), (5) имсшл место оценке (8). Докиэетельсшео. По аналогии с доказательством предыдущей поремы преобразуем (4) к аиду Из вгвх значений и'™, по модулю равных ))йь~)), всзьмем то, у которого индекс т принимшн наименьшее значение. Если ш = О или же л~. = 54, то (9) выполнено.
Пусть теперь щ отлично от О и М. ПосколькУ )йе, ~) > )и +~ ) (по опР<щеле1гиго гл) и )гг,"„тг) > )и,„~~г), то (2йы~( > )и" Ь1г) + (и,"„~~г(; позтому вйл(2йьг — и"'~~1 — и,"',~~г) = е18пи'„'+г. Тогда )(ив ~ )( = )и"+ ) < )и'„'+ + р( — и ~1 + 2и,„+ — и" ьг|)( = = (и,„+ тр ~ ) < ()и~)) з-тфр + )); при лгобых 5 н т для схемы (4), (5) получена оценка (9). Заверпгение доказательства теоремы совпадыт с доказательсшом предыдущей теоремы. Таким образом, схема (4), (5) является безусловно устойчивой.
5 5. Рвзностные схемы д»я параболическою уравнения 533 (т — 1,л+1) (т,лт1) (т+1,п-г1) (т,л+1) (гл — !,л) (т,п) (ш+1,л) Рис. 10.5.1 (т,л) Рис. 10.5.2 Пусть в — функция, определенная на с»ое и принимающая в т-ы узле значение и . Обсеиачнм Лет = (емы — 2вв 4 ем — ~)Ф ЛЧ(жг) = п(в+ 5, 1) — 2в(к, 1) -~- и(х — Л, 1). Введем более общий, чем (3), (5] и (4), (5), ° ид схемы и" "~ — в" =пЛины 4-(1 — с)Ли +д,"„, гп = 1,..., И вЂ” 1. (11) Между явной (3), (5) и неявной (4), (5) схемамн имеется, таким образом, принципиальное отличие.
Явной схеме соответствуют явные формуЛы для вычисления функции на слав по известным значениям на прщььь дущих слоях. Однако эзв схема являсття ус»овио устойчивой. Это приводит к тому, что при малом шше Ь мы вынуждены выбирать слишком мелкий шаг по времени (г < Ьз/2), чтобы обеспечить устайчивгюгь. Это, в свою очередь, приводит к Значнтельнолзу уселнчениго затрат времони счета на ЭВМ и не может быть оправдано требованю~ыи точности, егин по временной переменной 1 решеане достаточно гладкое. С другой стороны, при использовании поленов стел!ы можно значительна увш!иппь шш по времени г, однако нри переходе от слоя к с»ою требуется каждый раз решать систему уравнений.
Впрочем, н одпоь~ерном случае это не представляет проблемы. В иктпости, испо»ьзуя мотод прогонки, можно получить опт~ при известном вд за 0(М) операций, т.е. количество арифметических операций при переходе ш слюя к слою по порядку будет теы же, что и в с»учае явной схемм. Это позволшг сделать вывод о том, по испозп,»осанне неявных схем в одномерном случае часто и»ляпни более предпочтиъюзьныы, так как ведет к уменьшению затрат времени счвп» па ЭВМ. Перейдем теперь к исследованию устойчивости разностных схем (3), (5) и (4), (б) в других нормах, в частности в сеточных аналогах норм Ьз и И'зг по слою.
Твк как исследование свойств схем (3), (5) и (4), (5) проводится по оцной и той жс мелодике, то имеет смыс» объединить ати две схемы. Как и ранее, для пшлядносги сопоставим развостной схеме ее шаблон. В нашем случае для схем (3), (5) и (4), (5) шаблоны имеюг внд, изображенный соответственно па рис. 10.5.1 и 10.5.2. Глава 10. Метали реюеввя ураваенип в часттнж пропзводвых 534 Постоянная а в (11] иазываегся весам и обычно берется в пределах 0 < гг < 1. В частности, при а = 0 выражение (11) переходит в [3), а прн т = 1 получаем (4).
Оп-1,п) (т,п) (т+1.п) Раанастную схему (11), (5) называют гтемой с еепьии. Она имеет ш~, ститочечный шаблон при о е (О, 1) (рис. 10.5.3). Схт1а (11), (5) явлнРслнастную схему (4), (5), чтобы отличить вггда (11) с 0 < о < 1, аачыюаот тзтпа (т-1,пе1) [т.п+1) (па+1,л+1) ется явной лишь прн а = О. ее ат других неявных схелг пеленой схемой. Пусть тг Ьа и [ = — *" — аЛи„, — (1 — о)Ливг л( е! Как и выше, назовем величину г = Ьг, [и)ь — ьг~', (12) и(:с,[+т) — и(т, [) да| тг д'гг! + з[ т д [[г,гт,(г) 24 дгз [[.ха 0 Лгг! = Ли( х-Л вЂ”,! +О(т ) = [ю1т-',з)) [,м-,) 2 дг [,,1ч-',) д гг! Лад'и~ т ди! дхг[[,ы-,") 12 дх~!р му д[ [~тир Отсюда т" =ба~„[и] — [с ~ =)~х,[+-)— (е,) ' 2 — )г,"„-~- т(о — 0,5)Л вЂ” [ + О(т + Л ).
ди! г г д[ [ю1тт) Таким образом, если [та = у(х, 1+ т/2), то г = О(бг+ т) при о т[ 0,5 и г' = О(бг + тг) при а =. 0,5. где [и)„— значения решения в узлах сетки Щ,, пазреилюетью огтроксимации разностной схемы (11) уравнения (1). Заьгнгим, что граничные и начальные условия для функции иь выполняются точно. Используя рюложение и в ряд Тейлора в точке (х, 1+у)'2) = (т)г, от+ т)'2), имеем 535 З 5 Рнзвгст„ого ~немы Ллн пнГгабохи*юского уГгеннения Будем исследовать устойчивость по начальным данным, т. е. будем оценивать чувствительнось репюння к возмущению начальных денных. Положим рь(1) ив е О, угг' = =О. Обознагилг ,глг г Л гуз ()о"((ь, „=- ~~, 1г(о,",,) ~ ,н=г Назонам разностную схому устой теса по напольным даппим е норме бз г„ сели супгествует постоянная сг, вс занисящая от шагов гтткгг Л и г, ти- кая, .гш для решения и" задачи (11), (5) с рг = рг = угг, = О сорансдлива оценка пшх )(он((с, „.
сг((гг")(ь,, о««ь (15) В теории разностных схем установилась традиция, когда не делают различия между лштрицей и порождаемым ею ливгйныы оператором. Обозначим через Л оператор (матриоу), конгрый функции е со значениими ое = О, нг,..., ом,, ом = О е узлах О,, М ставит н сгюгвежгтвио функцию со значениями в тех жс узлах равнымн О, Лог,..., Лом г, О. В снучно рг = рг = грь = О уравнение (11) можно записать н виде онь' = Егг" м-г о т 7гй(гггб) — ~ гйн1гг г=г Из равенств . з хй1г 4 нгпз— 2 "ь = яйтЬ хЬпб Лып — = -игжп —, Х Х следует, что чисва — ыь являлося сггркчненными значениями оператора Л.
Из (11) получаем (Š— огЛ)ои = (Е+ т(1 — о)Л)оа, т.о. Я = (Е— отЛ) '(Е + т(1 — о)Л). Поэтолгу (т хй(тЛ) 1 ч 1 — г(1 — о)оь тй(гпб) о =Е у сьн!в сь нш ь=г Х / ~ 1+гонг, ь=г Х Таким образом, собственные числа Ль матрицы Я имеют вид 1 — г(1 — о) ь Ль = 1+ель Матрица Я называется матроцен или оператором перехода от слоя к глого. В ггбщем шгучае Я может зависеть гп и. Пусть (Л„), г 1,..., М вЂ” 1, собственные числа мнгрицы Я.
Матрица Е симметрична и поэтому ()Яз = пзвх(Л,(. Функция ие может быть представлена в виде дискретной суммы Фурье Глава 10. ЛГепшы решени» уравнений в частных производных 536 Выясним, когда будет выполнено условие )Лг) < 1. Заменяя Ль езо выражением через 2ь, получаем условие — 1<- 1 — т [1 — и) иг. < 1. 1 й топь Так как пг., т > О, то эти нгравет2гзна эквивалентны аштн2лпениям — 1 — тпиь < 1+ топ! — тмь < 1+ тпит.
Правое неравенство выполнено всегда. а левоо — при т(1 — 2о)пь < 2. При гг Р 1/2 посчеднее неравенство будет выполняться при зпабоы т > О, а при и < 1/2 — если Х262 2 62 т< < <— 2(1 — 2гт] (1 — 2п) шзх ыа 2(1 — 2п) ! (14) 'Таким сбразом, нами получены достаточные условия устойчивости гхс мы (11), (5) по пачалыпаг данным. А именно, если ьа ш О и рм !вт ш О, то при и > 1/2 рази<к:тная схема (11), (Б) безусловно устойчива; при и < 1/2 схема угтойчива, если шаги й и т связаны гогггношепием (14), т.о, схема (11), (5) в этт2ьг случае ус~к~ало устойчива.
предположим, что условие )ль) < ! парт шветс», т. е. по )лз2 1) > 1 Р 6, гдг х(Л! — !)2пй д > О и не зависит от й и т. Положим 2з~'„ = ип „ . !авда Х п(3! — Ппй в,"„= (1-~-8)вин, и ))и")) = (! -~-6)"))пв)), гдв 2 > 4 > О. Л В этом <шучве швх ))и")) -т гю при т з О, т.е. 2хема неустойчива. кт Вногдв используют несколько отличнее опрелевеапе устойчивости по пвчаш пыла давным. Говорит, пю рззнпстнав схема угтюйчивв по начзльгшм данныи, если собствениыв числа оператора перехода лежат в круге рздпугз 1 ь ст.
Покажем, что и рас2матрнввсмом примере это определение согпвсуетсв с (13). Действительно, пусть Лв — гобсмшшые 2пслв лппрвцы о. Тогда и =.Попе = лт-~ Е" '21гп л,",ст вш — и ))гР)) < (! + ст)" ((пе)). В шюм случае при пт. = 2юпв! и т -з О с=2 имогм ()ш'() < е'~О2те)), пт < т. При исследовании разностньш схем длк более сложных задач, например при других типах граничных условий, более общем операторе в правой части уравнения (1) и т.пе доказательство устойчивости с использованием принципа максимума илн метода Фурье вызывает определенные затруднения, а иногда исследование устойчивости этими приемами является гц2осто невозможным. В этом случае исследование устойчивости разностных схем обычно проводится методом энергетических оценок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
