Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Название связано с тем, что в непрерывном случае при и, имеющеы физический смыгл отклонения меы- 1 браны и и ~вп — — О, выражение -(Еп, и) пропорционально потенциальной 2 энергии мембраны. Будем исследовать ущойчивость разпостпой схемы (14) в Н. Умножилг обе чанги (14) скалярно в Н на и', применяя (16). получим Поэтому справедлива оценка (17) ()пь))~ <7г Ь () что означает устойчивость разностпой схемы. Отсюда, в частности, юедунц что система уравнений (14) при рь ш 0 имеет лишь тривиальное рещение на м О, т.е.
мы еше раз доказали, что (14) разрешима при лгсбой правой части единственным образом, Оценим скорость сходимости развостной схеыы (3), (4) в энергетичс сызй норме. Как и ранее, будем предполагатгч гго решение и дифференциальной краевой задачи (1), (2) имеет непрерывные четвертые произжщные в замкнутой области. Тогда погрешность Вь = (п]ь — пь будет удовлетворять уравнению г Пь б() б ь где г = 0(йэ) — погрешность аппроксимации. Приьгеняя оценку (17), имеем ((Па()г < у,-'(и(= О()з).
Таким образом, рассматриваемая разиошная схема иьгеет второй порядок сходимости по 1~ в энергетической норме. Прн ипшедованни скоросси схокнмссгя в энергетической норме мы предполагали, что решение имеет непрерывные четвертые производные. Оказывается, что это требование яыщется завышенным и тот же результаз можно получить в предположении, что рсхпенн» облалает только трегьими непрерывными проэзеоднымн в й.
Это свшапо с тем, что погрешность аппроксимации имни лиэергентпый (липольный) характер. Используя формулу Тейвора, пснучаем в(хя ы, у ) — 2и(г, Н ) +в(ям и д„) 6 ) оэо) Глава 10. Метсды решения уравнений в частных производных здесь з! ! < Ц, < хь Аналогичная Формула получается н для рвзнсств по вто- рой переменной. Следовательно погрешность будет удовлетворлть уравнению (18) с правой часп,ю, равной Ф гь,в — (з Ф, .„-9 г 0),00 (2) Р) г 6 Л Л Умножив обе части (18) скв шрно в Н ва д!. Используя формулы суммиро- вания по частим, правую часть преобразуем к внлу Таким образом, Лз )(«, вь)/ < — Цдь), (Цй(!)Ц т Црь(2) Ц) < слз Цдь)и пьнтбму у, цдьцз! < сЛ! цд" ц„откуда следует цд" ц, = 0(Л2).
При построении ревностной схемы, вппроксимируюгцей уравнение (1) с краевыльи условиями второго или треьъего рона, можно воспользоваться методами, которые прнььенялись в одноьгерном «лучас. Пусть для определенности рассматривается задача для уравнения (1) с краевым условием третьего рода ( — +Ви)~ =п, В(в)>О, вбдй. ди (19) Напомним, что в качестве области П мы рассматриваем единичный ква- драт. Для определенности рассмгггрим аппроксимацию условия (19) на участке границы х = 1. Тогда, заменяя производную в (19) ревностным с!отношением, получив! ил„— ил ! Л +Ва иившол. (20) Л )~.. ди Л дзи — — — —,+ — ~~ +0(Л') = дх 2 дхз (ь,.М Л дьи! 2 — — + 0()ь ). '1„,.„ =1 Ю-! Ц Л2 )( )) -ь,»9(!) =1 Найдем погрешность аппроксимации рвь,.ь! - Вы.. !(2) (4 й Л -! ! (2) 557 2 б.
Разностная аппроксимация еллнптнческах уравнений Такиы образом, погрешность аппроксимации граничных условий (20) дгп имеет первый порядок по Ь. Выражая —, нз уравнения (1), получадхг дп д' ем — = — ( — —. Тогда дх2 дуг' пл — мл-г, „ + бйппл„— ал (2Ц )г ( иишы — 2пл + пк, 1) О 2~ " Ьг то в силу проведенных выше построений получаем, что согггногпение (21) аппроксгьмирует краевое условие (19) г порялком О(!гг). Приводя подоб- ные члены, преобразуем (21) к виду 2пгг — пл-г,. — 05(пл,еег+нлб — г) р й г (22) Ь +дм пм =пи + — 1и- 2 Отскща ясно, как будет записываться аппроксимация граничного условия в других узлах дйь.
В частности, с помощью подобных рассуждений поиучаем аппроксимацию в угловом узле (дг, 0): 2цле — нл-г,е — пгй Ь +29лепла = 2пгга+ ЙЬа. (23) Заметим, что в данном сеучае граница сеточной области вклкшает угло- вые точки. Другой способ елпрскглмация граничного условия (19) опирается на то, что берегся друпш сетка. Рассмотрим мнтксстео узлов Й = (* = (.
„*,); ь = гл — й!2, г = о,..., л" + 1), й = л"-', и пусть Йь — множеспю узлов сетки, лежащих в Й. Тогда, кгк и ранее, уравнение (1) можно аппроксимировать в узлах Йь обычной пятнточечной схемой, Краевые условия (19) на такой сетке будем аппроксимировать следующим гбрезом; "й(ТЕЬ, пй) Е ~ ' " = о(ЮЬ, пй). (24) Прелположим, что решение лл4ферелцнэльной задачи может быть продолжено за пределы области Й с сохранением свойств гладкости.
Тогда выражение (24) аппроксимируьт «раееое утжовне (19) иа участие границы х = 1 с порядком О(йг). Это можно непосречстеенно прошрять, подставляя решение н в (24) и воспользовавшись формулой Тейлора в точке (1, ой). Поэтому если рассмотреть аппроксимацию граничного условия (19) вида Глава 10. Метеля решения уравнений в частных производных 668 гуз !.! .-(1' '(( — ,'а)* ( — +.')*1 е а ) -(1'с~е>*«ы)" св! Замыкание множества таких функций в этой норме ивляеття гильбертовым просзранством; обозначим его через Н' (ранее мы его обозначали ! Йз).
Рассмотрим задачу о нахождении минимума функционала шш Ф(е) = ппп (е'е) г(хг1р — 2 леде!(р) еЕН' ЕН' 1,!П .!и (26) па пространстве функций Н . Если классическое решение и задачи (1), (2) прн сг ш О существует и принадлежит Н, то оно дает ыинимум функционалу (26). Обратное, вообще говоря, неверно; функция, доставляющая л!ипил!ум функционалу (26) нв Нг, не обязательно должна обладать вторыми производиылги.
Таким абразалг, задачу нахождения решения (1), (2) ыожпо заменить задачей о иахолкдеини мини!!улла квадратичного функционала (26) нз Н!. Реп!ение, получаемое в резулыате лгинимизации функционала (26) иа Н', являетш! обобщенным регпением краевой задачи (1), (2). Для построения вариационно-разнос!леал сгсмм воспользуемся лгетодом Ритца. Аппраксимируем Н' некоторым канечномерным подпространством в лгетоце Ритца за приближеинса решение задачи (26) принимают функцию е Е 1'", минимизирующую функционал (26) на подпростран(гь Подпространство )гл построим следующим способом. Пусть йл = ((х, р); т = ийг, р = пб; О < т, п < (У). Разобьем й на квадратные ячейки со стороной А и вершииаыи в узлах йг„. Каждую ячейку й „= ((х, р), тй < х < (т + 1)А, пб < р < (и+ 1)Л) разобьем диагональю, проходящей через вершины (т, п), (т+ 1, и+ 1).
Таким образом, вся область й будет разбгглэ на прялюугольные треуижьвики с катетами, ралнылли К Эти треугольники будем называть глементариллми, а разбиение области й на треугольники — глриангрллцней обга- ййетад конечных элементов. До сих пор рассматривалась разностиая задула Дирихле для уравнения Пуассона, которая строилась непосредственно путем замены производных в дифференциальном уравнении разнастнымн отношениями. Аналогично случаю краевых зада ! для обыкновенных дифференциальных уравнений рассмотрим способы ггастраелшя дискретных аппроксимаций, осиовалшые на вариацианпых и проекционных принципах. Будем рассматривать красну!о задачу (1), (2) с однородными граничными усговиями.
На лпгожестве непрерывно дифференцируемых функций. обращающихся в нуль на границе дй, введем норму 16. Разиостпая аппроксимация эллиптических уравнений с!оп й В качестве псцпространства 1' пространства Н' возьмем пров странгтво непрерывных в й функций, линейных иа каждом элементарном треугольнике и обращшощихся в нуль на НП. Каждая функция из К" однозначно определяется своими значениями в узлах Йа и, обратно, каждая сеточная функция, которая принимает в узлах сетки заданные зла!ения, одиозна пю определяет функцию из Р!'.
При эп!м функция из рь называется кусочно-линейным ессгюлнеипем пешечно!! Фрикции. 'Галим обрезом, существуег взаимно однозначное соответствие между Н и где Н вЂ” пространство сеточных функций, определенных па Па и принимюощих нулевые значения на дП>,. Функции щ~, Е Н! 1 , (х, р) = (гпй, пб), О, (х., р) Ф (тб, пб), пш! ф(о) = Ф( ь). 'е! ь (27) Предположим, что с!' существуег; представим ее в виде Л' — ! ! ч е' = г о,зэ!,г, где п! --неизвестные коэффициегггы разложения. Отметим, что сгз, в силу выбора функций р!гз является значением сь в точке (г,у). Таины образом, отыскание приближенного решения состоит в определении коэффициентов о, . Выпишем уравнения для определения этих коэффициент!>в.
В точке лгинимума функции Ф(~.е!у; ) должны выполняться равенства ВФ(Е !гу„.) — — = О; гп, и = 1,..., Л вЂ” 1. дг! Вычислим левую часть этого соотношения: — 2~~с! у!гу~ г(х!(р = 2/ 1~ с,!. ( — '! —,+ образуют базис в Н. Соответствующие им кусочао-линейные функции из Кь, принимающие значения, равные единице в узле (и!, п) и нулю в других узлах, будут обра:ювывать базис в )ггб В кюгестве приближенного решения задачи (26) возьлгем функцию е!' Е 1'!', которая минимизирует функционал (26) па подпростраяствг (ги те з б. Разностная аппроксимация эллиптических уравнения Таким образом, уРавнение, соответствующее узлу (т, и), записывав в виде = йз 4с,„„— о ьг„— и г„— с,„о,— с,„„ 1 Г где дм„= — з / .гуь„ядхдд.
Разделив обе части на Л~, получим систему й сеточных уравнений бье,„=д, „, 1<т,гг<19 — 1, (29) структура которой полностью совпадает с (б). Единственное отличие заключаетгя в другом способе вычисления правой части. Однако если д,„„ вычислять приближенно, полагая 1 1' 1 à — уэв„дхдд = ( „— ~ ул„дхду = Г„ю, й й„„ то получится разностная схема, палнасгъю идентичная (З). Так как левая часть системы (29) совпадает с левой частью системы (5), то система уравнений (29) имеет единственное решение при любой Справедливы неравенства )(и — иа(( —: )(и — иь)) < сг)~(((~) „((и — и" (( < с 1Рэ' ((~ Таким образом, в случае описываемого лгеюда требования к гладкости ршпения существенно ыеныпе, чем в случае приыенения метала конечных разностей. Построение разностных схем таким способом особенно целасоабразно в случае уравнений и систем с естественными граничными условиями, когда непосредственная аппроксимация граничных угловий вызывает за'грулнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
