Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Далее, используя найденное значение р, при каждом 1 решаам систему уравнений (19). Аргумент у в игом случае называют, соответственно, «вертикалы»<ш. переменной. После этол» значение и"з находится па явной формуле (20). Описанный алгоритм чанга называют э<с»ло<1о.л< 1жсщсяленьл. Как мы видели, оси<впал его идея заключается в постр<юнии оператора при разноггпой гй»оизвсдной по времени таким образам, чгт»бы этот оператор являлся щюизведенисм операторов В = В»Вг. каждый из которых действусг галька в одном направлении, я полученная схема аппроксимировала на<одну»о задачу. ТЪк, в данном <шучае В, = Š— рло Глава 10.
Методы решения ураэнеюп!й в частных производных Другая разностная схема может быть получена из следующих соображений. Представим А в виде А = Л! + Вз, где Вт = Вз, В! я Вз правая и левая треуп!льные матрицы. В частности, если А = — с!ь, го В! и Вт можно записать следующим образом: 2э„— г!гь! . — д, г!, 2е, — э! ! . — о, Е рассмотрим разностную схему н"+ — нь (Е -~- отВ!)(Е-~- атВз) — + Апэ = сэь т (24) Оператор В = (Ез-ат11!)(Е+отВх) будет симметричным и положнзельно определенным.
Поэтому ддя устойчивости разностпой схемы пг! начальным данным достаточно проверить выполнение условия (14). Параметр о (весовой множитель) выбирается таким, чтобы схема была уши>йчива и аппроксимировала исходя!о уравнепио. Пусть в качестве прнмора рассматривается уравнение (1) в прямоугольнике с нулевыми граничными у!моннами. 13 этом случае А =- — с!!', а В! и Вз определяются по формулам (23).
Тогда Б = (Е-~-агВ!)(Е Р атВт) = Š— пгс ь + азтзВ! Вт. Оператор В!Вв является положительно определенным, почтолгу Š—.- В* > П. У<ловнс Е > — А в данном случае 2 заведомо будет выполнено при !г > 0,5. Таким образом, условие о > О,б обеспечивант безугловпую устойчивость схемы (24). Найдеы порядок аппроксимации разностпой схемы (24). Так как то, используя формулу Тейлора, получим 1 / бн Ви 1! Вга 1! Взо1 В,(.) = — ~ — + — р Гт й ~ à —,—.,) т 0(1,). К ~,дх! дхз 2 дхз! 2 дхз) Испо.п,зуя аналогичную оценку погрешности аппроксимации опера!ора Вз, приходим к заключению, что выраженно В = Š— огЬ '+ а т В!Вт ! 2 2 аппроксил!пруст единичный оператор Е с порядком 0(от 4-тгг/1! ).
Если считать, что !г > О,Б порядка 1, то охал!а (24) аппрокснмирует исхся!нос уравнение (1) с порядком 0(йз-~-г+тх/1!з). Таким образом, величина т/й должна быть достаточно мала. Тем не менов схема (24) вс! же лучше, чем ивная. Для устойчивости явной схемы требуется выполнение условия т < Ьз/4, в то время как при п > О,б схема (24) будет безусловно устойчивой и шаг по времени т может быть выбран существенно большим. Например, можно взять т = обз или же т = алз1з. Погрешность аппроксимации по времени в этих случаях будет иметь порядок 0(йз) н 0(ц ссютвегственво. Следует, ццпако, отлгетить, что часто решение параболического уравнения по г облцлэет достаточным количеством производных 2 7.
Решенно параболнчыкнх уравнений и эти произвсщные стремятся к нулю при ( -л 1ю. Зто оправдывает применение схемы (24) при расчете нестационарных задач, посколыгу п1аг по времени т можно брать достаточно большим. Выпишем алгарит»1, 1юответствуюший разностнай схеме (24). Обознччим (Е, '-~- птах»)» через у. Тогда, решая уравнение ( Е + птй1 ) у = — Аио + (о", (28) можно найти значение р но явным формулалг. Действипшьно, в случш., котла П квщ(рат (чта несуществалша), уравнение (25) в узле ((, у] нли.
ет внд 112 ™1 841 1 Ю »о1) ( ' 72 ]ь1' (28] По извостп1»м значениям д,м, рмз, 1, ( = 1,...,1((, нз (28] по явным формулам можно найти у, »1 1 и р»1 1п, 1,', 2 = 1,..., М вЂ” 1. После этого Па 1ЕМ же фОРМУЛаМ НаХОДИМ ЗнаЧЕПИЯ Уьи-2: УМ-»З И т Д. Для вычигиния зи оюнни рб требуется число арифмелнческих операций, не зависящее от шагов сетки.
Поэтому вычисление значений функции р во всех узлах испробует 0(М»] арифл1огячсскнх операций, что по порядку совпадает с количеством узлов яа юн1е. Лнологичным образом решая уравнение (Е+ пт76]» = р, За 0(М ) арнфыстНЧЕСКИХ ОПЕрацИй НайдЕМ ЗНАЧЕНИЕ». РЕШЕНИС иот( находится после этого простым пересчетом оо форл1уло ио' = ио -1- г». ч11 Такил» образом, переход от ио к иочч в схеме (24) требует числа арифметических анераций, пропорционального каопчеству у»пав сетки па слоо, т.
е. схел1а (24] экономична. н»нбслго эффектнвяа стел1а (24), ослп ге р»осматривать как нюрапианвый моща ллн реюоння стщионарнай э»дачи Аи = (о. В этап случае требование ю1пракснмацнн ио ( пе играет вникай роли н параметр т можж2 «ыбирать только из гоабражений наиболее быстрой 1ходнмоств нтграцнон1юга мотала. ()бы о1о пыбнрают т = О(й) н 1 = 1, *пабы выло»пилось (8). Тогда операторы В н А связаны соотношением (27) 71ЬА < В < 7»А, где.п, 12 > 0 не зависят от й, н, решая глацианарную задачу с помощью 1перациапного проц»оса (24], получим рыоониг с точностью г эа О(11»1п(с ')) арнфметячеоких операций.
Задача 4. Доказать оценку (27) при и = 1, т = О(Ь). Задача б. Показать, что при любых 1, т > О отношение 72/71 ограни- чено снизу постоянной, отличной от нуля. Б78 Игерациовиый процесс можно ускорить, если зафиксировать В и посте етого выбирать параметр г переменным.
В частности, если выбирать гл как уклзывалось е 1 6.6 (чсбьпеевскае ускорение), то решение стационарной залачи с точностью е молсет быть нш1учеио за 0(А Иг!в[с л)) арифметических операций. Для решения параболического уравнения в области достаточно произвольной формы существуют также и другие методы. 1лассмотрим метод, который сводит исходвую задачу к решению последовапльности одномерных задач. Изложение метода проведем па примере уравнения (1). Представим оператор Ь в виде сулгмы одномерных опера|оров дг дг Ь =- 1 г -1.
Вг — = —,. + —, '=да.г дг а правую часть ( — в виде суммы правых частей: у =- уг + 12. Левая и правая части уравнения (1) равны сумме левых и правых часний уравнения 1ди 1ди — — В~и=уз, — —,— Е~~=~ю (28) 201 ' 2дй Опишем переход ст и-го к (и, +!)-му слою. Лпггроксиллируем первое из уравнений (28) следулощим образом: Второе уравнение (28) заменим соотношением Таким образом, алгоритм заключается в последовательном решении уравнений (29), (30).
При агом вычисленное значение функции являетси начальным условием для <шедующего уравнения. Ясно, что каждое из уравнений (29), (30) пе аппроксимирует исхгггную задачу. Найдем погрешность аппроксимации. Имеем Аналогично Вьг[и) = рг(и)— 4г,'(и) = раг И Глава 10 Методы решглпгя уравнений в честных проишсдных 1 ди дги — — — -1, О(Р .), 2 дй дяг ( д ) 1ди до г — — Ьгл — У~ = — — + — +(2+О(12 +т) ш фл. дй 1 2дй др' 2 — —.— — — Уз+О(б +т), 2 дй дрг д 1 1ди д2и — — -У1 = — — — + — +уз+О(йг- )= — гй. д1 ~ = 2 де д,г2 1 У.
Рсшеьпье параболических ураеиеьпьй 379 В общем снучае ьььь = О(1), пснтому и уравнения (29), (ЗО) аппраксими- руют (1) с порядком О(1). Однако ьдь + бт = - —, + Аи+ ~ е О(6 е т) =- О(6 -ь т). ди г дб В этом случае говорят, что схема (29), (ЗО) аппрохсимпрушп задачу (1) е суммарном (ила слпбом) смысле, тее. хотя каждое из уравнсний (29), (ЗО] пе аппраксимирует исходную задачу, сумма погрешностей ышрокснмацнй этих уравнений равна О(1Р -ь- т).
Реализация (29), (ЗО) требует на каждом шаге решении уравнений с трехдиагопальпой матрицсй. Таким абрагом, этот метод применим длэ решения уравнения (1), когда область й имеет достаточно щьоизвольпую форму. Остзетсв липьь выяснить ее устойчиность и сходнмость. Оказываетьзь, имеет место Теорема (без доказательства).
Схь ььа (29), (ЗО) устшьчина е осто ьнай ььорлье прострпнсшеа С и при досгппточио гладком рсьаеиии Ььп — и( ' )((г(ьь,) ~ Сь()Р + т) где Сь ие заеисиьп аш А и т, а и(пт) зна ьгнае решения и(х,т) иа п-м слое. 1'асслютренный метен получения 1ьазностных схем носит назнапие машадо дробьгьмх шагав нлн жо лжтсдп суммарной пттрокспмпььии. Его можно применять нс только в линейных задачах, но и в нсливейных. В общем случае длн уравнении ду — = Рь(и)+.- -1-!Ь(и), (31) 1 ди„ й дг — —" = Р*(и,), 1 = 1,..., й.
При этом в качестве начального условия на шаге для каждого из уравнений берегся зиачепио, вычисленное из предыдущего уравнения. В создание описанных выше экономичных методов решений многомерных нестационарных задач внесли большой вклгд Е. Г. Дьяконов, Г.И. Марчук, А.А.
Сама1юкий и Н.Н. Яненко. где операторы Р'(и), вообще говоря, нелинейные и пе абньательно одно- мерные, схема метлэга дробных шагов заключается в следующем. Реше- ние на шаге уравнения (31) заменяется ььоследоватслььььыьь репюнием яа пшге уравнений 600 Глава го. Методы решеввя уравнений в частных пропзволвых З 8. Методы решения сеточных эллиптических уравнений В этом параграфе будут расслютревы методы решения систем сеточных эллилггичьаких уравнений.
!'ассмотрим простейший пример (гм. у 6). Пусть и эл — 2п,„в+и л в и„, в+г — 2п и -!- в 2 и„,е = ллып = О, пе „= им „=- О; ш = 1,..., и — 1; и =- 1,..., 1У вЂ” 1, система сеточных уравнений относительно неизвестных п„„ь О < гп < М, О < л, < лу, получающаяся в !хтлультате аглпроксглмацип краевой задачи Дирихло дп» уравнения Пуагсопа в квадрате П (эл = (гл, зз), О < з, < 1). Будем дпя простоты считать, ччо !лг = Йз = б = 1/бл. Двя решения системы уравнений (1) можно преллложпть бглп шое число методов. 1!оэтому лля лаго, ч'лабы их сравнивать, пообходимо выбрать один нли несколыго критериев, по которым будет проводиться сравнение. Условимся критерием качества метода считать количество арифметических операций, которые необходиллы лабо для получения точного решения, либо лля получения решения г некоэарой заданной точностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
