Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Рассмсприм знгг метод иа примере краевой задача — пи=у" при 0<т.<1, п(0) =и(1) =О. Соответствующая сеточная краевая задача Льна = 1' иьитт вид: ! пиь~ — 2и .1-ни 1 )Д =Л =У(ггй]: п=1,...,Ф вЂ” 1; с=ил=о. Пусть Л = 6 четное. Далее, как правило не оговариваясь, пргдпова1нем гго все рассматриваемые осто шые функции принадлежат подпро- стРанствУ фУнкЦий са, УцтиетвгРлвппсих Ушювгпо ио = ип = О. ()нищем подробнее процедуру сведения рггпони» на сетке с питом 6 к решению задачи ив сетке с шагом 26..
Рассмотрим итерационный процосг. и) =на г(йасй, 1 ], 6=0,... дл — 1. (10] Вычгглая это соотношение из равенства еа =и„— т(была — Х ) ь получим уравнение спносительно погргпшогтя гь —— па — иэ. = (Š— тбь]г;„. л-м В качестве начального приближения ыпьмем п~~ = 0; тогда 4 = аь, г„"' = ( — тйа)"сль. Далее в рмхуждениях об уменьшении величины погрешпгхти мы имеем в виду уменьшение погрешности решения па относительно погрешности приближения па = О. э оп Фуикции рэ(п) = ъ 2йп — —, о = 1,...,Ф вЂ” 1, образуют полную орто- Л ' нормированную систему в пространстве функций Ц, относительно скалярного произведения (Др)ь=-6) Хр =1 590 Глана 1О.
Методы решеии» уравнений в частных производных и являются собственньпии функциями для оператора Ал! эгд 2 — 2 савв Ж 1'112 12 12' Па!тому (Ь вЂ” тбл)д = (1 — 4т/э в!п — ро . -2 . 2114 ив 2О1! Отс!Оца видно, что итерационный щюцесс (1О) сходится при О < т < 112/2. Если т = д112, где О < д < 1/2 не зависит от )э, то сос!авляющис поГРЕШНОСтн, СсетввтетВУЮЩИЕ фУИКЦИЯМ 412 СО ЗиаЧЕПИЯМН д ПОРЯДКа !У, то есть сильно колеблющиеся, умножшотся на множа!с!ш сун!с<твенно меньшие единицы.
Вследстшю в!его и происходит определенное сглаживание погрешности. Пшюжим далее т = Оз/4; тогда провоэщмые выкладки имеют нвибсшее простой нид. В ча"гвости, пээ-11 ! 2п ты — 1 (Я вЂ” тбэ,)!эл( =. б/лиэ,~, где Сэ,пл 4 и соотнопюние (11) приобретаог вид Юлре = Ут. 2 Обозначим 1„= —.'2- = сов! зд и ат — — — "и'22)— = в!из Уд.
Таким обра- зом, и Л ~ и е С э из / 1 Э де Г ~ Э Определим оп!'ратор Пэзл перехода с !етки с шагом Ь на сетку с шагом 21и д, ~! + 2д„+ д„ Пл дл и - четное, зл 4 и оператор Пзэ, перехода с сотки с питом 2Ь на сетку с шагом бэ д при и — четном, л Гдзлдзь = д„, 4 д„е, л 1, — ' — ' при и, — нечетаом. 2 Лемма. Справедливы нерюенсшеи ((па"дл((й < ((дл((л, ((пзлжл$1, < Ьзл!1зл. (12) Докизаглельсшео. Зепи!нем неравенство Коши — Буняковского для скаляр- ного произведения векторов (1/в,...,1/в) и (аы...,а,)! о! + ° ° ° + а, ! а! + -- + а, (' — ')' '': < е е 3 8.
йгештц.1 реп1ення сеточных эллиптических уравнений Позхиму 591 д„1-~-2д„й 9„.11 л тд„л-1 дь +д„-1-до+1' д„-~-д„' йд' ь д ( «2 г 4 4 Если дг, б Ц„то после сул1мирования по четным и и домножения на 211, попутаем первое из утверждений леммы. Аналогично имеем д -14дп11 дп..1+д„., ( )- — - —- л 2 2 2 Л1'2- 1 Просумыируем по нечетным и и добавим сумму ~ дл.. После умножег -1 1=1 иия на й получим второе утверждение леымы.
Если бы удалось решить гично уравнение 1 там =121, (Ь, (13) такой, чгп приближенное решение может быть записано е виде 'гь = А2ьдз = 1'и — Егьт2ю где А'11, и огь — некоторые линейные операторы и )( 2ь гь((л с1(( ш)(гь (14) Перенесем правую часть (13) на нитку с шагом 23 и применим зтот алгоритм к ураввениго 12ьт'2ь = П1 еь 1ь. Точное репнине этого уравнения записывается в виде тть =1.ьПь О (ь = ПгьПь Юь' 11иь.
— 1 З вЂ” 1 2Ь Ь Проинтерполировав полу чивпиеся приближенное решение Рш = т гав Я~'ггь на сетку с шагом 11, получим приближение ть = Пм (т ь — дйтгь) положим иь =ил +та. 1 Погрешность получившегося приближения равна Еьг = тьм — ть. Выразив зту погрешность через решение исходной задачи, получим усь = ха + «ь 1 1 2 то, прибавив тл„к иь, мы полу птли бы точное решение задачи и1,.
Продюложим, гп1 известен алторнтм приближенного решения уравнения 11ыть = дгь Глава 10. Методы решения уравнений в частных производных где гьь — — У)1, иь — Пгьггь = (Сгьз' — Пн,У'21 П~ьУ2ьыУь) оьт (16) гь =Пгьсгьггь = П2МьБ11,Пь (2ьмйьиь. Ь, 1 ь -1гл йьугькции дд являются собшвенныьпь ушя операчоров Ьь, и Бнл 4мпг ума 4з„4шпг "лг ььдсд ьь7 У12 "д У12 Уд' гьгд (211)2 Угд У2 гд' Справедливо рыьенство гь П„'удгь, = ь,уел. Пошольу я(РУ-4)п ( вьп'-Р=Дд(77) Угл -д(71) = зш ( — зш-ду = -ьр (н) + д дглуг(н) = 0 при четном и, 1 зл'уг = гуьуг = —, 2' при нечетном п, ПРИ Ч! ГНОМ 71, Р6) ад+се=1, сд — — зм.
„, зд —— ср; „. Позтому ФУ2 — 1 гь = Е (с' ь'ад — Нь'"ам-д)ьдд. д=г Согласно равенству Плрсеввля МУ2-! ))")(г = Е (с"' — ' —.)', д=г Из неравенства Коши — Буняковского счедует (с а — з '"ауь ) ( (с;,2 ~- з ™)(а 2 р ауд г) Вследствие (16) имеем сд -у- з, ~ м од+ зд — — 1. Поэтому з м 2 2 2 (сд ад — зд ам д) (ад +ал — д . Совпадение функции Х.ь117~~Уь!дь'"!ы, и 1)ь™нь в узлах сетки с шагоы 26 носит случайный характер и но имеет места в других случаях.
Спраидливы раненства 1 В. Мдтцяы решения сеточных эллнптечыквх уравнения 593 После суммирования но д полу.!»ем Отсюда и из (12), (14) нояучасм оценку ()я»)(» = ))П»бв!! Ьз» П»!1»б)» ))» < сд))п»)(». Исхцця гж релепств )( д»!(и) е»-,.ж,рд ур д при чпгноь! и, при нечетном и Получим уравнения яд гд + з! ад + бд =- соз — =- г !д и следовательно, ад — — сп Ьд — — — з . Позтому ю-! »-! Па!ге!, = ~~се 'ад(сд!рд — лд!рь д) = ~~(сд ад — ьд сдаю . )!рд. д=-! д=! Подставляя его разложенне в (15), получим равенство и-! зд, — („!! -.
Пзд,ди» = р !сд сд — (г! ад — з! сдаю «)) дд,! =- ю — ! =' 3' (сд здад+ зд сдаю — д) додд=! Согласно нера»юнству Коши — Буняковского (сд здад -г здмсдая д) < (сдз'ледя -!- ад~се~)(ад + аю-.дт). Первый множитель записывается в виде у (и) = (1 — р)в"рз+ рт™(1 — р)», где и = в„. и раненств (16), подберем ад и Ьд так. ггс!бы при нсех и вглголнялось равенство П»»р4 д* =аду»!( )+Ь„,, д(п) ! Глава 10. Металзы РешениЯ УРавнений в частных пуоизвоДных Нслн ввелги обозначение ди, = плахды(у), та при всех д будет справед(е;ц лнво неравенство (се е„пг Р эч сеалл в) < ды(гл, -~- глн „), 2 и поэтому Н-1 !(хь!(ь = ) (сг ечое.у аев'геан — е) 1=-1 < дв,~~',(ае~ ~- он- 2] < 2ды ~аез — 2д Дал,~(12,. Отсюда получаем оценку ((еь~!]ь < О,„'Эаь)(1,.
1де С = 1/2дм. из этой оценки и оценки для )(21,(! следует, что (1м11Л1 < (См р елй]7'.)!1 (17) Здесь Ял, — — еи — ошибка начального прнблилкення: пл, - — — О. е Оценил1 величину Сг Справедливо равенство дз(д] = (1 — йа)пз, где и.= д(1--д). Согласно формуле дифференцирования сложной функшлн = п[2 -- би)(1 — 2д]. л]д Отсюда получаем, гго производная функции дз(д] абршцаигся в нуль в точках 0,1/2,1,1/2 +11/1/12; поэтому.
иеслепув график функции дз(д), палучаел1 дз = дз(1/2) = 1/32, Пз = 0.25. Задача 10. Показаччэ что 2 1 '(.1 ° при т > 2. Подведем итог проведенных посчраенлп11. Начав с приближенна иле =. 0 =- 1а, — ила мы получили новас приближение пл„—— па — ал, па, где ге = 1, а См -Уь,, 5;; = О„- — П21„5.„-„1ПзььО„и бь + Певал озь Пь л)ь'"Аь. Таким образом, воспользовавшись алгоритмом уменьшения погрешности в 1/ег раз на сетке с шагом 25 и произведя дополнительно О(шйл) арифметических операций, мы добились уменьшения погрешности на сш ке с шахом 5 в 1/еа раз, где еа = ы,„т 11. Далее фиксируем гп = 2 и возьмем ел = 0,25. Из оценки (17) следует, что при использовании описанной процедуры норма пагрепгности решения на сетке с шагом /1, умножится на множитель нс больший 0,5. После 1 В.
Методы решения сеточных эллиптических уравнений повторного применения этой процедуры норма погрепшости решения нв сетке с шагом 6 уьшожится на ьгножитель не Гюльший 0,25. В нгогс после двукратного использования алгоритма уьгсньшения погрешности в 4 раза па сетке с шагом 26, осуществляя допсшнительпо не более С(2)«4 арифметических операций, мы получасы шшоритм улссньшения погрешносги в 4 раза на сетке с шагом Ь. Обозначим число арифметических операций, досшгочное лля умсш,- шения погрешности в 4 раза па сетке с шагом 10.= 2 через У(1).
Полученный вьппе результат ь~ожно записать в виде неравенства Функция И'(1) = С(2) 12 удовлетворяет уравнению И'(1) =- 2И'(1 — Ц т С(2) 2~. При 1= 1 растмагриваеыую сеточнук~ задачу можно решить, совершив не более чем 3 арифметические операции. Поскольку С(2) > 2, то 7(Ц < И'(Ц. Ипдукцией по 1 можно получить оценку Я(1) < И'(1) = О(«г 1ойз «у) при «'г' = 26 Вели требуется добиться уменьшения погрешности в М раз, то будет достаточно (1+1обх М) итераций, и, такиь~ образом, общее число действий, требуемое для решении задачи, будет 0(ЬГ1ойз 611обз М). Эта оценка хуже, чгм оценка 0(«ч) чгяша дойствий методов прогонки илн стрельбы. Однако в рассматриваемоы мепше можно уменыпип, число арифь~етичсских операций.
Во-первых, можае покэзатчь ччо при нскоторолс видоизменении итерационного процесса (10) прн решении задачи на сетке с шагоы 6 достаточно лишь один рвз обршцаться к рсшгпшо задачи на сетке с шагом 26. В результате этого число операций, требуемое для уменьшения нормы погрешности на сетке с шшом Ь в 4 раза спиваются до 0(«г'). Можно предложить другой вариант уменьшения нормы погрешности, наприьюр, в 4 раза на снгко с шагом Ь = 2 ~ с затратой О(«4) арифметических действий. Положим гй = 1/(4(1 — «+ Ц),гп« вЂ”вЂ” (4(1 — « -~- Ц и (1 — «-1-2)0,59) -';1 при « = 1,...,ть Применим описанный выше алгоритм последовательного сведения регпения задачи на спгкс с шагом 10 = 2 з к решению зала ~и на сетке с шагом 6, = 2 1« '); при этом для каждого « =1,...,2 производим гн«итераций по формуле (10) при т = т = 6~/4. Задачу на сетке с шагом 10 = 1/2 решаем точно.
Задача 11. Доказать, что при таком выборе 0 и гл«погрешность решения на сетке с шагом Ь = 2 ~ уменьшится в 4 раза, а общее число арифметических действий, затрачиваемое при этом, есть О(дг). вйв 1ыаеа 10. Мепжы решения уравнений в часппзт произеодньпс При решении задачи существенно используется то, что при всех еыполнэютея наравспггеа вв > г)г г -)-б,брут . Во вторых, можно принять во внимание следующее обгтоятельства. Прн дважды дифферснцируемой 1(х) решения задач на сетках с шагами 2 ' и 2 (г ) агличакпнн на 0(2 ).
Понгому можно поступить . г-1) г! следующим образам. Задаемся пскшарой шх:ксдоватсльностью убывающих величин бг =- сона1-2 г'. Послсдователыго рсгпэеы задачи на сетках с шагами 6, 2 (г 0 с погрешносы,ю итерационного процесса порядка бь, и получившиеся приближения берем в качестве исхш~ных для итераций на снгко с шагам 6г = 2 '. При ггам окгзываштя,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
