Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Лрг!ть уе(х) = у р„!ль(з!), ()ре))з = ~ ~р„)з < ел ел! нне уреенснол (1). Хозда гнрлесдлнео неравенство ~(р!, — ре)) < и(с, д), где ы(е, р) -ь 0 нрн е/р, р — ! й. Довело!лилье!нее иесущоственнмм обратом отличается от проведенного выше в случае, когда все Л,„> О. 1хешенио рс(х) задачи (1) записывается в виде й"(Х) = ,') руре(Х) = ~РьуЬ.( ), ! ел! -и где р„нри и б )У!, У = О нрн н б )ле.
Погрешность рл(х) — р" (з:) запишется в виде !')и ров ри[х) — у(х)=~(!" "— у)[ =д~+8з, + Лн Оцешш для слагаемого Яз имеет вил Оценка для Я! производится так же, как и в случае доказанной ранее теоремы. Метод регуляризавии применяется для решения самых разнообразных задач, в ишгности нелинейных.
Рассмотрим случай, когда ядро Л'(х, з) несимметрично. Онргшелим оператор 9' ссстнОшением 1„>*у = ( К[е, х)у(з) с[з. Обозначим через у„(х) решение уравнения ру (х) + Ю*Яуь = ь)'У(х). 616 Глава 11. Методы решения интегральных уравнений Выберем параметр д = д(г) из условия Справедлива Теорема (без доиязнгельагна). Пусшь 1йшагсенне (1) разрешима и уа(в) .. нар»сальное реп»ение уравнения (1), сн.е. ресиенпе с мпнплшльной лаймой. Тогда )(9„1,1 — у~() — л О прн е -+ О. Литература 1. Березин И. С. Жидков Н. Н. Методы вычислений.
Т. 2. — М» Фнзмахгич, 1962. 2, Крс»пав В.И., Бабков В. В., Монвссъсрный П.И. Начаза теория вычислительных методов. Интегральные ураивенив, нс коррактныс за:сачи и улу ппенне слодимости. — Минск: Наука в техника, 1984. 8. Морозов В.
А. Регулнрсп»е методы решения некорректно пассавлс нных задач.— М» Паулса, 1987. 4. Романов В. Г. Обратные задачи лсатемагнческой физики —. М» Наука„1984. 5. Тихонов Л. Н., Арсении В. Я. Мсчолы решения некорректных задач. М» Наука, 1986. б. Дшссссов Л. М. Введение в теоршо обратвыт задач - М» Изд-во МГУ, 1994. Заключение Мы заковчилв обсуждение традиционных вопросов теории численных методов. Нри этол~ мы, вгпможно слшпком часто, обрыцали внимание па «подводные камниц встречающиеся нри применении того или ивето числспнОго метода. У читателя могло вгнникнуть превратное впечатление, что применение численных методов !тлв решения реальных задач настолько сложная и безнадежнав задача, что от пело следует отказаться. Чтобы исправить такое впгчатлевве, посмотрим на этот же вопрос с оптимистических позиций.
Существует большое число задач, где есть хорошо отрвбопшные численныг метсды и созданные на пх основе гтандартиые программы ращения задач. Стацлартнью програыыы решения многих типов прикладных задач входят в математическое обеспечение. постввляеысе вместе с ЭВМ.
Если вам впервые встретилась едивичпал задача, иб как правило, целесообразнее воспользоваться стандартной и!ляраммой «пщ самому сосзнввть щюграмму, основную ва щюстейшем методе решения. !!Ри решь нии единичных задач, требующих умеренного обьема вычислений, часто цнут на более чем !00-кратное увеличение объема вычислений по сравнению с наиболее эффективными методами, «вппь бм побыстрее получить Рюультат, воспользовавшись при этом стандартной программой' или алгоритмами, для реализации которых можно быстро составить и огладим П$«ог!>аммбч На практике регулярно встречаются задачи мияимиз'щии функций !олыпого числа переменных, в которых приьювение стаццартньж программ ве приводит к положительному резун«лату.
Тем не менее, опыт «второе показывает, что при реп1евии вовой задачи надо все Равно начзгаать с попытки использовать стацлартную программу. Если, ню«ример, ° 30% случаев применение стшдартных программ оказывается эффекгивным, то их применение заведомо можно считать оправданным даже в том случае, когда использование стэцж«репой программы не приводит «положительному рюультату; при обращении к стандартной програмче будет составлено большое число блоков окончательной программы и !ачастую будет накоплена пол«оная информация о свойствах минимизизуемой функции. Среди «пионеров» использования вычислительной техники встречается гбеждение, что чужими сгацдвртными программами пользоваться нельзя «программу всегда следует писать самому, заново.
Такое суждение было 818 Заключение оправдано на первоначальном этапе использования ЭВМ. когда морив численных методов была разви>а недостаточно и создапныс на ег основе алгоритмы чжго были ненадежными. При современно»> уровно теории численных методов и жестких требованиях к тссп>пюви>»»>ю программ г такой точкой зрения согласиться нелшя. Рассыотрим ситуапию, когда тр«бус-гол путем численного экспсримончв исшндовап, какой-либо физический процесс. Часто, набив мно>о шишек и пспратив ииогча годы на расчет сложных моделей, начиниощпй исследовшшп, приходит к пониманьпо тело, что целесообразнее было на шть с расчеса просзгйгпей модели и изучать го с поь>ощь>о простейших проверенных методов, иногда требующих павьипенных вычислительных зацл»т.
Лишь в >шучаг налвого дов>рия к пос>вновкг зада*>и нмж:т смысл вани»>аться расчетом сложной модели с применение»> громоздких по твоей структя>г мпгодо>5. 'Гаким образом, ва первоначальном апше исследования задачи обы шо л«ь> имеем дело с простейшей »юдолью и прес>ейппгми мелодамн решения, часто основанными на использовании счгщцарю>ых программ. Если же мы начинаеы всследоиавиг задачи с >мучения гложиых моделей, то скорее всего мы поступаем в чем-зо неправильна. Целесообразасе переходить к раесмс грани>о более сложных задач и применению более сло>кпых мгщлов, имея за плгчамн опьгг использования ЭВМ при решонип про»тейших задач простейшими ыетс>шми, поскольку при >акой последовательности действий использование более сложи>«х чнслонных мштщов уже пг будет казаться чрезмерно трудной проблемой. Рассмотрение самими математиками постановки прикладной задачи с ее истоков, с простейших моделей, еще важно и в связи со следующим обстоятельством.
»1агто, сзремясь «приспособить» задачу для численного решения, спониалисз; не знакомый с числе>«ны»«и методами и возможностями ЭВМ, исходит лишь из сложности внешнего вида мателпиической постановки. В результате этого иногда а] происход»гг замена исходной задачи зады>ей, не имеющей к ней отношения, б) задача, передающаяся численному решению при возможностях сонременных ЭВМ, становится задачей, пг поддающейся такому решению. Еще один довод в пы>ьзу более всес>ороннего >гзучения постановки зац:чи состоит в следующем.
Часто в процессе построю«ин щюстейшей попели мы получаем представление о том, в каком направлении будет идти усложнение мшсда и программы решения залаяв. В результате этого мы сможем заложить в исходный вариант программы, предназначенной для исследования простейшей модели, вазможности для дальнейшего усложнения программы. Во всех случавх целесообразно состшп>я>ь программу поблочно. Дело в том, что при решении сколько-нибудь сложных задач мы заранее часто не можем сказать, будет ли выбранный нами метод решения пцллццнп>им цля решения этой задачи. Заключение 619 Например, при решении краевой задачи для дифферегщиальных уравнений у нас может быть неуверенность в разумности выбора ражностной схемы во внутренних пзчках или вблизи границы.
Вычисления во внутренних точках и вблизи границы ведутся по различным формулам и повюму лучше, чтобы они были еьщелены и отдельные бяоки с теьь ггобы можно было производить независимуго о~ллойгд лгеглодое. Также важно препусмотргть возможность быстрого и удобного изменения па.— раметров за,лачп, например шши сетки при решении дифференциальных уравнений или числа узлов квадратуры Отладка программы и ащзобация метода решения задюги щзи малом числе узлов проходят быстрее и позволяют лучше использовать возможности ЭВМ.
Например, при малом числе узлов можно бысзро проверить сходимость итерационного процесса. Иногда професспонюц пью программисты рекомею[укп п[юводигь отладку щюграммы при помощи тспшоа Берегся минимально допустимое число узлов, при котором включаются в работу вге блоки программы (и все гржлы). Нри тэколг числе узлов задача рожается бш помощи напишшвой щюграммы, а затем результаты расчета сраввившоюя с результшами расчета с помощью ЭВМ.
Для типичных конечно-развгюгшях методов резпония дифференциальных ураивгний минимальное число узлов по каждой оси, при кото[юм включаются в работу вгг блоки и циклы, находится в щзгделах от 2 до 5, В процессе работы над отладкой щюграмыы в программу ввылтся дополнительные команды вылачи на дисплей или на печать промезкуточпмх данных с цглью сравнения их с заранее просчишиным тастом. Такой режим отладки особетю удобен дэя начинающею программнсчю Специалисты, имеющие большой опыт работы с ЭВМ, предпочитают оглажимггь программу крупными модулями, озчотая отладку программы с проверкой кжества метода (отладкой ьгетодт).
Для этого стараются строить программы решения шк, чтобы при определенных значениях парамет[юв она превращалась в программу решения задачи с известным [иэпепиоьг. Например, уравнения двимсения снежной лавины при ощлщшгенных значениях параметров превращаютсз в уравнения мелкой воды, для которых в случае кусочно-постоянных начальных данных известно то'шог решение (так называемое решение задачи о распаде разрыва). Сравнивая решение, полученное в резулшате расчетов, с точным решением, можно судить о правильности программы и ю~честве метода. Посгроение решения з дачи о распаде разрьша само по себе требует относительно больпюй вспомогательной работы. Вместо непосредственного построения такого решения для залаиной системы часто псктупают следующим образом.
Вместо конкретных значений коэффициентов системы ставится произвольные параметры, производится одновременная подборка этих параметров и системы функций, которая может быть решением з дачи о ййй Загглюченве распаде разрыва. В результате получится некоторая задача с известным решением, отличающаяся от интересующей нас задачи лишь значениями числовых паршаетров. На такой задаче мы люжем отладить все наиболее существенные моменты метсда и программы. Проиллюстрируем способы по<троени» зцдгч с пзвесгг~ым частным решением на примере дифференциальных уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
