Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 112
Текст из файла (страница 112)
е. Пе7 равно решению ураввения у — ЛОер =. 7. Применял к (!.2) оператор Се, пшгучгг»» уравие»ие Ое(Š— ЛО)у=а,( 9 2. Решение с помощью замены ядра 607 Рассмотрим простейший случай. Пугть е (1.6) примсняеггя г)юрмугг,г приме„ угтюьников 4(я)йт=,') — 9(хг ), г,,"' =ггт (б '(г ) Ш 2гп -л системе уравнений (1.9) имеет вял у* — — ~Е (х, '. "," ) ГГЛ = У.
г=! (10) али в вгкторггой форме у- ЛЕЩеу=й Пусть гп, =- ь1, 1 цепов, т нечетное. Опредезпьг лгатрицу Я размерности ш х гп по правилу: ее Здементы яп раины ш (' ы "д' хяожь4' гло (гы„,, ), хе „,, ~) блнжгйшия к (г,'", г "' ) из точек (з„, зл ) Вли/Щ (О зость измеряется квк максимум модулей разностей первых н вторых компонент. Таким образом, (напомним, что з нечетно).
Задача 1. Показать, что Я б Мю. Далее вводим новый вектор невзвестных н — — у — ЛЯу (апалог перехода к урав- нению (9)) или умножаем сбг части системы (10) слева на млгрипу (Š— ЛЯ) "' (авалог перехода к уравнению (9)). В обоях свучаях получаем новую сиспзму урввиелий вида и — Рп= й.
Справедливо следующее утверждение. Если ядро К(х, в) непрерывно, яю )(Р)( < ы(1) ы(1) -г 0 нри 1 — г со Таким образом, получаем систему уравнений, для решения кспорой может бьггь аффективно применен мешд простой гперяцин. При реальном решении задач часш в янном ниде системы уравнений (8), (9), (11) не выпнсываютс»; на каждом шаге необходимые ваюмоштельпые «оличины, например в случае (11) значения векторов (Š— ЛЯ) гЪ при различных Ъ, вычисняются заново. В ризульнми етого трудоемкость ыетода оказывается довольно малой 608 Глава 11. Методы решени» интегральных уравнений Рассмотрим, например, дискретный вариант перехода к системе (9). Имеем систему (Š— ЛЯ) '(Š— ЛК1 О)у= (Š— ЛЕ) гб Ишрационнмй процесс записывагтсв е сиде у"~ = у" — (Š— ЛЕ) ' ((Š— ЛК1"'1)у" — Г) Вычисление вектора тт" = (Š— ЛК1 1)у" — Г требует 0(глз) арнфметп кккпх операций.
Вектор к" = (Š— ЛЯ) зж" накопим па каждой птерзцнп, решая систему ур шиений х — ЛЯв = ю" с матрицей Е б ЛХ1 Вычисление коэффициентов системы (б) требтет 0(1зт) операций и орп известных Аз вы.шсление и требует 0(!т) операций. Таким образом, прк 1 = 0(тгтз) иа каждом шаге производятся О(злт) операций, пс порядку столько же, сколько в в мепзде простой итерации. З 3. Интегральные уравнении Фредгольма первого рода Задача решения интегрального уравнения Фрещольма перваго рода ГЬ 1др = / К(х, з) р(з) ~)з = Ят) относится к клш:су кекорретзпных задач. Поясним, что зто означает. Пусть ядро К(т, зт) веществонно и симметрично, т.е. К(з, т) = К(х, з).
Предположим также, что К(х, з) и у(х) непрерывны. Тогда существует полная оргонорыироввнная система собственных функций р" оператора 1з: ()~п = ~ К(га з)~„(з) дз = Л„~„(х), ГЬ (Ио 1оз) = / Гт(з)рз(з) дз = бузы где бт — символ Кронекера. При атом К(, з) = ) Л зз (х)р (. ), —.-1 609 1 3. Ивтегральные уравнении Етредголыта первого рода сгодимость ряда в прелой части понимаетея в норлю! ь ь )(Р(х, И= Д (Р(.;а)]в *.'. Из врепыдуШего соотношения следует, гго ш )]К]]' = ЕЛн]' е:.! и, гледоватнньно, Л вЂ” т О при т! -т ог,.
Расс!!охрип случай, когда Ль ф О прв 1 < и < тм и вге Л„= О прн о > но. Тоска ядро имеет вид К(х. е) = 2 Л„тре(тг)утн(е), = ! т.е. являетгя вырожденным. В тлучас нырожденного ялра К(хч е)у(е) де = ~ Л / уть(х)кь(е)у(е) де = ) Л„(!ен у)х„(тг) = !"(х). ° а е е=! Следовательно, задача (1) может иметь решение тилько в тоьт случае, когда у(х) является линейной комбинацией етг(х),...,трь„(е;), т.е. звписывветс» в виде о ,((т!) = ) у„р (т]. =1 Задача 1.
Проверить, что зтим решением является ее у(ь) = уе(г) = 2 — тт (х). Задача Уь Проверить, что лкбея функция у(х), представимая в виде у() уе() Е М) = от! тде ~ ]с„(з < оо, также будтгг рюпетгиеьт уравнения (1). я=ее-!-! Таким образом, в рагсыатриваемом случае задача (1) монсеш не иметь решения; е случае, ваада отш имев!а решение, зто решение неединснменно. ПУП Глава 11. Методм релюиия нптегра:<ьеых уравнений Рассмотрим случай, когда все л и'и. если )Я =- <) / )<"(х))~ фг < со, то г"(х) пр<д<тавима сходюцимся в норл<е прострав<тва бэ рядом Фурье < ((и) = 2 сп<рп(т), г„= (1, Рп), ~ св .= ))П) . п=< Здесь и далев <ходи<<ость рядов понимаетсв в сясь<еле нормы пр<х<трвн- я стев 1,э. Положим Я =- Л (Л„ =- < < г Задача 3.
Доказать, что прп К < оо функция у(х) =- у — <и (х) явл»- ет<н решением уравнения (1). Задача 4. Доказать, что прн К = ос <<щ<ача 1 не имеет решения. Задача 5. Пусть все Лп / О. Показать, что задача (1) не может иметь двух различных решений (решения, отличающиеся иа множестве меры нуль, считшотся <нападающими). Таким образом, возможна следующая ситуация. Зада"<а (1) л<охгет иметь не боков одного реьшньл, однако прь пьшм решенье ар<деон<а<<во< льшь дпл ииоанетпеа правых чпстей, удоеш<паоряхпць с ум оешо Я «ю.
Задача П. Ра<ть<огреть случай решения уравнении (1) описанным вьш<е методом, когда имеетгя бесконечное чиг;ю Л„, отличных ог нуля, и бес- конечное число Лп, равных нулю. ь К(п:, п)1)(п) дл = 1(х), и (2) где э (х) = Х(х)-~-61'(х); норма 66 ногрошно<ти измерения ((х) мана: ))бу(х))) < е. (3) При изучении многих задач, в чмпиаств е задачах оьоерпре<ппцьа реэупьтппьоп ьабпюдсььа, нли, как говорят, в зщ<ачах их обрабеткь, часта возникает следующая ситуация. Имеется некоторая функции 3(л); мы 14 наблюдаем не ее, а фуню1ню 1'(х) = / К(х, е)р(е) <йц причем в значения этой функции вносяття возмущения 6Дт).
Ты<им <юразоь<, задача ь К(х, я)р(е) <л = 1(я<) имеет решение, но нам реально требуется решать задачу 6 3. Интегральные уравнения срредшльма первого рода В11 Разность между решениями зада! (2) и (1), которую можно записать в всще бр(т) = р(х) — у(х), является решением интегрального уравнения ь К(х, г)бр(г) йг = 6/(х). (4) Пусть б/(сг] = ) оаус„(х). Условие (3) означвнг, что ) (о [г < гг. =! =! Рассмотрим сначала сгучвй, когда все Л ф О. Гели ряд ~ ~ — ~ раск ~л„! ходится, то уравнение (4) вс имеет решения. Еглн даже этот ряд сходится, то нельзя гарантировать, что погрешность бр[я) будет стремиться к нулю при г — ! О.
В самом деле, среди егох правых чан!ей 6/ с ))Щ < г имеется правая меть б/о = гщ„(х), соотвс"гсгвующая такому и, *гп! (Л ) < г. Тогда бр =- — рс„[сг), т.е. [)бр[) = г/)Ло) > 1. Л Длл решения рассматриваелюй задачи »южно применить гмпсод регрллризайии по Тихонову. Никто не обязываог нас непосредственно решать задачу (2) с возмущенной правой чаглю. Можно попытаться заменить эту задачу некоторой «близкой» задачей, решение которой будет «близко» к р(т).
Мы уже изучали некоторые глособы регулярсггацип на примере решс. ния систем линейных уравнений. При р'шенин интагральных уравнений сйредголыаа первого рода в качостве такой близкой к (1) задаче расс!ыогрим уравноние дря(х)+ / К(х, «)ра(г)с[г =/(г:), д > О; (б) парщсетр р иногда назыв'иссг парамепцюм рггулярсюации.
Теорема. Прешь осе Л„> О, р(сс) = 2 угры(х), ))у)! = ~)у„[ < оо. и=-! .— -! Тогда справедлив!! неравенство [[рс.-у[[< (г» р), гдг м(г, р) — + О при е/р, д -+ О [ м(г, р), вообще говоря, зависит оп! у(х)). /( ) = ) Л р !г ( ) =') ./,ю [х) =1 Доказаслельство. Сравним решение уравнения (5) с точным решением задачи (1). Имеем ВЛЗ Глава 11. Методы решения шпегрвльиых урввие!пЮ где (я = Л ря, у„= (р[х), 2!я[я)) и Йх) = ~[7 -~оя)!а[ ).
=1 Попс!валю! уя(т) = ~ у,",!2я(х) в (5), получим я=-.! Х (Р г Ле)СЯ Ре(х) =- Х [1 + и )Р ( !). =-1 Таким образов!, рассмотрим разность Вя(х) = Ря(х) — Р(х) = 2 ( — ' — -- — Р„) !Р (т). ЛЬ !оя , ( Р-2Ля Имеем равевство Л р„+ Оя ггя — рря рз-Ле " РРЛя Такиы образом, погрешность Ля[х) и!янно представить в видо суымы двух слагаемых й1,[х) и Яз,(:г): Вя [х) =. В„(х) + й„[х), [б) где Вг(т) ~- °, [,) Вз[,) ~- -РЬ ,р+Л. " '' "',Ррл„я '' ВслеДствие оРтоноРмиРованности системы фУикций уе[х) имеем Поскольку р, Ля > О, то р.
+ Ля > р и поэтому 613 13. Интегральные ураанения Фреложьма псового р<жа Перейдем к оценке ()Е7~)!. Рассмотрим сначала более простой и относнтелыю часто естречшощийс» случай, когда дополнительно выполнено условие (8) Тогда (О) Из с<я<гнои<ения (6), (7), (9) следует, что ))Е(к!! ц ь<(е, д) =- — + 1<рс. д (10) Следовательно, при дополнительном предположении (8) теорема доказана, п<ккоиьку ))В<,)! ц ы(г, р) = — -~. агре (!Е7я)! < 2</еК вЂ” < О. Проведем теперь доказательсгао теоремы без предположения (8), Предстаеим выражение ((77„(! я виде где ~ ~ -ДР ~ дз ~- ~ -Д1<п ~ Справедливы оценки и ь<(е, д) -+ 0 при е(р, 1< -< О.
Таким образом, прн дос<нгочно малых р, е/д мы получаем решение задан< с малой погрешностью. Дпя получения неллучшей оценки стремления погрс<лносги к пулю г найдем шши(е, р). В точке минимул<а д = дс имеем ан = — я -~- Ее = О, л дс же. Ро = ЯК. Из (10) получаем, что при р = х/е/К Глава 11. Мате»П«рнпения интегральных уравнений 814 у(„',и < ~ Ы~. =лн Покажем, чзо [)Л»,)[ — «О при р — ь О.
Дпя етого достаточно показатгь чзо д«»я любого д > О существует р(б) такое, что [)«с [( < б при р < р(б). Возьмем щэоизпольное Б > О. Поскольку ряд ~» [»у„) скопится, то существует И(б)»акое, что )з 2 =иОП» Е«ши р«< (р[б)) =- б»/ [2(г»(Ж(б)))»/, то 2(~, л < Б~/2 и Такиы обрк«оь«, имеем 1~5«1[ < ~[Пи[) + !)Пр[), )Фй)! < с/И, [) К«и)) — «О при р -«О. Таким образоы, утвер»пление теоремы оправе«алино и без г»редпсшсжевия (8). ОпиСанный выше метод рн уляриющии применим и в случае, котла нек«порыв из Аи люгут обрашатын в нуль. Пусть «'«» мноисеспю п»вких, что Л„> О, Пе множество и таких, что Ае = О.
(Каждое нз »тик мг»оапсзв мсвкет быть как коне шым, так и бесконечным; одновременно оба коне*«ными быть не могут.) Если У(х) = ~ Р Р (т), 2 )Уи[» < со--Решение УР»внепиа (1), »о пРи )" [ < со Функпия ~(р„+ав)д (х) также будет решением уравнения (1). ек Положим ре(х) = 2 у р (х); согласно вьппссквзанному ус[х) также явлиегеи. ся рвпепием уравнения (1). Задача 2. Пусть р(х) Ф»уе(х) — ре»пение уравнения (1). Г!оказигь, что [)„[) > )[„о[) (11) 615 з 3. Интегральные уравнения Фрелгсльма первого рсл» Ршвенш уравнения (1) с минимальной нормой (в !лучае неединсгве!н!ого решения) называется нермальнмм. Из !11) следует; по уе[х) нереальное релвсньс задачи. Теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
