Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 110
Текст из файла (страница 110)
что при каждом 1 требуетпн лишь конечное число итераций описанного выше энда. В ргзульпси. ршпение исходной сеточной задачи будет получено с погрегпностыо 0(1РУг) при общем числе арифмагичж,ких операций О()У). В рассматриваемом гзгучае при некоюрам видоизменении итерационного процесса (10) в рсзулшвте олпога пгшпого цикла иы:рации- спугюз сгг шага 6 = 2 ' до шаха 6 = 2 ' и возвращения к гггагу 6 = 2 ' с общей затратой О()У) арифлэстических операций получается точпгю решегшс геточной зада ги. Однако эпп факт носит случайный характер и нс относится к более слсякным зелачаьь Рассмвгриы ~мучай рыьгсрности задачи з > 1.
Пусгь попользуется рассмотренный алгоритм гвсделия )гегнегшя задаю па сотке с шагом 6, к решанию задыги па сетке с шагом 26 и число шких сведений нри каждом шые равно ч > 1. Ддя весьма широкого класса задач можно доказать г;ущсстяование г(21) > 0 и т(й) < сю, удоелетваряюпшх гледуюгцим соотнопгелиггы. Пшше й-кратного применения описышой выше праце)гуры, согпжщей из гл(й) итераций (10), перехода к задача па сетке с шагом 26, решения задачи на этой гитис г помгнцыо алгоритма,з', и перехода на сетку с ша.)г) гом 16 некгпорая парма погрешности решония задачи па аттис с шагом 6, уменыпается в 1~е01) раз.
Естсствснно, что операторы перехода с одной сетки на другую П~~, и гл Пгл будут иными, чем выше. ь Обозначим число арифьютических операций, дос"шточгнгс лл» уыеньшения погрешности в !/е(д) раз на сетке с шагом 6 =- 2 ', через У(1). Справсдлвво неравенство У(1) < дй(1 — 1) -)- Се(в,д)2м. Отсгода при а < 2' можно получить неравенство Я(1) < Сг(в,й)2'г. Таким образом, общее число действий, достаточное для уменьшения погрешносг'и на сетке с шаголг 6 в ))е(г)) рвз, будет порядка О(6 '), то есть порядка О()У), где )У вЂ” общее число узлов сеточной задачи. Высказанные выше утверждения относятся и к случаю аппроксимаций метода конечных элементов. 68. Методы решении сеточных зллнптическнх уранненяй 597 Литература 1.
Бахвал в Н. С. О сходимасги однша релнксацг о ьнподз при егпствапных ограни чениих на аллвптический оператор. // ЖВМнМФ 1966. т б, К 5, г. 861- 883. 2. Вгрпгин П. С., Жилкав Н. П. Маралы вычиглений. Т. 2. — Мл г!Шзмажвз, 1962. 3. Воеводин В.В., Кузггецов Ю. А. Ызгрицы н вычисления. — Мл Паука, 1984. 4.
Годунов С. К., Рябенький В. С. Введение в 'сеарию резню:тньж схем. — Мл Наука, 1962. 5. Годунов С К., Рябснькнй ВС. Разггаспгые гхеьпз. -Мл Наука. 1977. б. Голунон С. К., Забродив А. В. и 11р. "1исленвсе решенно многомерных задач 1ззовой линамики. —. Мл Наука, !976. 7. Дешгсов А. М. Введение в чсч)рию абрлшых задач -5!л Изд-во ЫГУ, 1904. 8. Джорлж А., Лю Д. Численное решение болыпих разрежгшзых систем уравнений.
Мл Мир, 1984. 9. Дьяконов Е.Г. Минимизация вы шслительной работы. Асимптатнче«ьи оптимальные алгоритмы лля вялиптичгских зада ь — Мл Наука, 1989. 10. Зенкевич О., Морган К. Кшючные влемевты н аппроксимапии. — Мл Мнр, 1980. 11. Кобельков Г. М. Решение задачи а стационарной г вабоднай канвекцни. // ДАН СССР. - 1980, 225, Х 2, с. 277-282 12.
Кобелысов Г.М. О методах решения уравнений Наны-Стокса. // Вычислительные процгхсы и сигтеьгьь Ыл Наука, 1991, вып.8, с. 204 236. 13. Крылов В. И., Ьгбкав В. В., Монастырный П. И. Начала теории гычислптпльных шподов. Урвнвения в чагтных щюизволяых.
Минск: Наука я тахника, 1982. 14. Лакуписвский О.В., Гавриков М.Б. Начала численного ашпппа. Мл ТОО «Янус, 1995. 15. Марчук Г.И. Методы вычиглишльной математики. Мл Науки, 1980. 16. Марчук Г.И., Агогвкав В.И. Введение в праскпионно-разпосгные мепюы.— Мл Наука, 1981. 17. Марчук Г. И, Лебедев В. И. Чиглевныс методы в теории переноса нейт!ювон.— Мл Азомиздат, 1981. 18. Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение тачвости решений разпосткых схем.— Мл Наука, 1979.
19. Марчук Г.И., Яненко Н.Н. Прггмегюзпге ишана расщепления Озрабных шагов) дли решения залая мжеьгатической физики. В «ил Некоторые вопросы вычислительной и врикладнай математики.- Новосибирск: Наука, 1966. 20. Рябенький В.С., Филиппов А.Ф.
Об усюйчивосгн разностных уравнений. Ыл Гастехиздат, 1956. 21. Самарский А. А. Теория рвзпостных схем. — Мл Наука, 1982. 22. Самарский А. А., Андрею» В.В. Разпоствые методы лля решения зллиптичоских у й. — М:. Нау, 1976, 23. Самарский А. А., Гуппи А. В. Усзойчивость разпастных схем. — Мл Наука, 1973. 24. Самарский А. А., Николаев Е. С.
Мшады решения сеточных уравваний. — Мл Науке, 1978. 696 Глава 10. Методы решения уравнений в частных произвсшиых 25. Самарский А. Ач Попов Г Ь П. Разностные метены решения залач газслюй динамики. — Мл Наука, 1980. 26. Самарский А.А., Капориа И.Еч Ку.зеров А.В., Николаев К С. Незготорые современные методы решения сеточных уравнений. // Изе. вузов.
Сер, мав, 1983, К 7 (264). С. 3-12. 27. С аул ьев В.К. Интегрирование урал неви й парабол ичеспого типа методам сеток. М.г Фвзматгиз, 1960. 28. Стрзнг Г., Фикс /7зк. Теория лютода конечных елементов. — Мс Мир, 1977. 29. Фелрренко Р.П. Релвксационный метод решения разиостных зллипзичсчших уравнений.// ЖВМиМФ вЂ” 1961, т.1, К 5. С.
922-927. 30. Федоренко Р. П. Введение в вычислггтевьнуш физику. — Мз Изд-во МФТИ, 1994. 31. Шш1еуров В. В. Многоссточные методы конечных влементов. Мс Наука, 1989 32. Инелко Н.Н. Метод лрсбньш шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск: Наука, 1967.
ЗЗ. НасйЬпвсЬ УИ Ып!0-Сг!6 Ме1!юдв апс! Арр!!свйопв. — Зргйзйег-'гш!ай, Вег!ш-. Не!с!е1Ьег8, 1986. Глава П Численные методы решения интегральных уравнений Ю З 1. Решение интегральных уравнений методом замены интеграла квадратурной суммой В теории чисченных методов решения интегральных урзвнсний рвсслаа- тривяются сясуауаоацаае гнпичные задачи. Найти решение интегрального уравнения Фрсаагольлаа первого рода Вр= ) К(х, ь)у(а)се=у(х), l интегрального уравнения Фредгсиьлаа второго рода р — ЛСу =- р — Л ~ К(х, з) у(л) сЛа =- у (х), интегралыюго уравнения Волыерра первого рода сау = / К(х, в)р(л)пв = )'(х), (й) интегрального уравнения Вольтерра второго рода р — ЛСау = р — Л( К(х, ь)у(ь) оз = Цх) В ягой главе мы дадим краткое описание алгоритьюв решения интегральных уравнений, нс вникая подробно в вопросы оценки погрешности. Задача решения интегральных ураввепий возникает как всполюгатела ная нри решении краевых задач для дифференциальных уравнений с часаными производными и как схваосгоятельная при иссчедовапии рабаны ядерных реакторов, при решении так называемых обратных зада а геофизики, при обработке резульчнаов наблюдений и т.п.
Ыы ограничимся рассмотренном случая интегральных уравнений с одной неизвестной функцией и одной независимой переменной. Глава 11. Мел>ды решения я>пегральвых уравнений 600 н зад!ни на собственные значения (6) Он = Ли. Б последнем случае ищутся числа Л, щ>и которых задача (5) имют ненулевое решение. Воспользуемся какой-либо формулой численного интегрирования Ь т У(ф) = ~ >(>(х) г(т 9,я(6>) =- ) гтФ(> Р"~), >=-! (6) где с, вообще говоря, зависят от щ.
Имеем равенство У(>(>) = К,(ф) + 7)„(Ф), (7) где К,„(>Л) — остаточный чвгв квадратурной формулы (6). Рассмотрим двя нримера уравнение Фредгольма второго рода (2). С помгнцью соотношения (7) его можно переписать в виде у(з) — Л~с;К(х, з!'" )у(х(в' ) — К„,(ЛК9) = ((с); (6) >=! остап>чный члон Км(ЛК9) прв вычискпии интегрш>а Л/ Е>(>с, з)9(з) >)в с помощью квадратуры (6) является функцией переменной х. 11олагая в (Я) я = т,(', ! = 1,..., т, пш>учим сшзвму ураны>нпй (щ у(з:,"'о) — Л ~ саК(х,'">, х! '>) 9~>г~ ) = 1(х>"'>) ~-Вв(ЛКд)( ом >=! Отбрасывая остаточный член, приходны к системе линейных алгебраиче- ских уравнений 9,— Л) с>К(х, ',;г ") у>.
— — 1н л =-)(х)"'1)), ! =-1,..., гл. (9) >=! Для решения этой задачи могут бып, применевы гшндартные мщоды решения систем линейных а>пебраическнх уравнений. Будем рассматривать глучай' веп!согнанных К(х. в) и 1(я). Обратим внимание на сл>шун>щес обстояттльггво. Если ядро К(я, в) интегрального оператора О симметрично (К(в, я) = К(.с, з)), то оператор Š— О, «ходшций в левую часть исходного уравнения (2), также симметричен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
