Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Однако матрица системы уравнений (9) не обязатош,но будет симметричной. Мы видели ранее, что решение систем уравнений с снмыьтрнчной матрицей а определенном смысле предпочтительнее решения системы уравнений с несимметричной матрицей! шире класс точных и итерационных л>н>одев, которые могут быть прнь>сиены для решения таких систем.
! !. Решение методом замены ннмирэлэ 601 Систеыу уравнений (9) можно преобразовать к виду, в котором матрица системы Г>удет симметричной. Ддя этого умножим ь-е уравиенио системы (9) на сб получим систеь!у уравнений с,д,— Л~с,сзК(з:~ ),х!. ~)у =г„уо !=1,..., ш, (10) ! =.1 х„— Л ') зУгжь(гзК (х)э!, з!(э)) Я !=! (П] В глучае г, > О второй гпасоб гвмметрнзвпин является балке предпочтитель- еьш, поскольку рвзбргх собгтвевиыь значений у матрпцы системы (! Ц. как правило, мсныш, чен у матрицы сисшмм (10). Заметим, по в случае, когда в кввдра'г!р!* (6) вго вег» одннаковьс «! '! = . = ! !„! = (б — а)/еэ, необходимость в таких симметризы!иях отпэдыт. (12) Задача 1.
Рассмотреть свучай комплексного самосопряжснноп! инрв К(х, э] = К(т, э). Проверить, что в этом глучао при ис!юльзовании описанных способов получается система уравнений с сшн!гоприжени!хм ядром. Конечно, как в в случае решения произымьвь!х сисзш! линейных алгебраиче- ских уравнений. прн использовании мешлов Гаусса или квадратного «ария в процыхе вычислений может возникнуть операц!ш деленая ла нуль или перо- пшшение, Задача 2.
Рассмотреть случай формулы прямоугопьникоп, когда выпол- нено гхютно!пение (12), и постокнного ядра К(а, з) =— К = сове!. Применить для решения системы (9) метод исключения Гаусса при естественном порядке исключения неизвестных рг,..., рнн Показать, что при 1 — ЛК(6 — и) > с > О в ходе искяючения по методу Гаусса Я 9.1) абсолютные величины всех встречающихся злеь!сигов а,.
Равномерно огра! ничены сверху некоторой пгхпоянной л(с), зависящей только от с и нс зависящей от пс (еч.! < к(е) < оо. ю! и уже с симметричной матрицей. Другой возможный способ симмгтризации состоит в следу!ощем. Умножвм ь-е уравнение в (9) на,гш и положим /е,р, = хь Получим систему уравнений глава 11. Мюц!ю! решенв» интегральных уравнений 602 Показать, что !пп впр(п,.( = сю при 1 — ЛК(б — и) < О. (Л(~ (суК(х1 1, з( ))! < 1 — с.
с > О (16) при решении системы (9) методом рауны всегда ! п,у) < к|(е) < оо прв !побыл гп, г, у, 1. Прн рвсмогрении задачи на собственные значения (б) при аппроксимапии вптс- грала квюгратурпой суммой (6) возвпкает вл!ебраичоскан задача еа собствен- ные значения: ~., К( ',.'"',,!"') у; = Ле,. гы (14) Для о репювия могут бьнь применены сшгшертпые лбовы решения задач на собственные значения. В случае ге > О и симметрично!о ядра К(я, е), км! и пылю, задачу ва гоб- стеевные зн пения можно преобразовать в залачу па гобственпые значения для симметричной матрицы г.
помощь!о введения новых переменных,„гг„у, = х!. Ук!ион!пе. Озжн из вснможиых путей решения зада !и заключаетгя в рассмогрении итерационного процесла (гл. 6) ,я 1Р !.!) ч К/ 1й! б )1 1! ) ! —.! нахождения собственного веки>ра при начальном усвоена (р~~ ~,..., р,, ) ~е1 с положительньпгн компонентами р! 1. Интегралы!ое уравнение Вовшерра нторого рода (А) можно !юпислть в виде гь р(и) — Л/ К(х, в)р(е) ю1е = ((з) Задача 3. Показать, что при усчовии Задача 4.
Пусть «сс с К(х! з."Я ) > l 1т~ Докжать, что максимальное по паул!о (14) положительно. Доказать, гп! среди ствующнх етому собственному значению, компоненты нспгрицательиы. О н греши пнх есть ненулевые. собственное значение Л! задачи собсгнснных векторов, соотвегнь!ест!и вектор, у которого все Ь 1. Решение методом замены интеграла ВОЗ 9(х, ') — Л1 К(л]", э)9(в)бв = )(хр" ) и для вычисления интегралов Е' К(х,', х)р(в)»(л (19) применив» какие-либо кввдратурные формулы достаточно высокой точности, использующие вше»ения подынтогральной функции в точках ( ) (ш) «:( '), , х)„,' . Еш»и при вычиглении интеграла нспользукпхл значения 1"») . (» ) псдыптегральпой функции лишь в точьвх х»,,.,, »г;, то матрица <истемы уравнений (9) будет левой треупшыюй и отыскание решопия системы (9) существенно упростится. Рашмотрим»леду»ошую схему решения «влачи (4).
Пу»ть 1Г(«, в) и Кв) диффсреппируел»ы 1 рвз. Рйожно показат»ь цо тогда решение В(х) хаюхе 1 рвэ лиф»(юренцируемо. Положим я»Д'1 = а + (» — 1)Н, Н = (Ь вЂ” а)/(и» вЂ” 1). Для »» вычисления интеграяов / К(х, «)((«)»В применим формулу Рргюри с порядком ючности Г)(11»(хъь' — и)). Так»»»» фармуяы опредолевы при» > 1. При «< 1 лля вычи»ления этих интегралов применим какие-«»н(ю квадратурные формулы по узлам хе 1,..., х»1 '»~ с «очностью порядка О(Н') или О(Н«» ).
В итоге пояучим систему уравнений (9), у кото1юй выше главной диагонали ненулеиые элелямть» могут находитьш только в первых 1 с»роках и сюлбцах. Решаем систему нз первых 1 уравнений системы (9) отно»нтельно 1 неизжх:тиых р»,..., В»; затем находим осгвлы»ые В„решая систему уравнений с леной «реугольиой матрнцей. Если ядро К(х, в) и правая часть )(в) — аналитические функции, то иногда целесообразнее использовать идею широко язве»гнои» метода Бвтчера рмпення дифференциальных уравнений. В этом случае получится система уравнений с полностью заполненной матрицей, но при э«ом погречпность решения убывает как д,д < 1.
( К(я,в) при в<я, с ядром К(я, в) ]( 9 при в>х и применить описанный выше алгоритм решения интегрального уравнения Фредгольь»а второго реда. Однако на такол» вути ыы можеь» получить методы с плохой сходимостью при т -+ оо: погрешность квадратурной формулы (б] может оказаться большой, поскольку при в > т подынтегральная функция равна нулю н ва всем отрезке ]а, Ь] рвзрывпа (ес;»и К(х, в) э( 0) или не обладает высокой гладкостью. Поэтому целесообразнее поступить следукяцим образом. Залазив»»ж каким-либо набором точек о < т» « --.
хы < Ь. Вьюн»пем соотношения (») ( ) Глава 11. Методсс решения интегральных уравнений 60 $ Еглсс К(г, з) и О, то дийк)крессшсруя по г уравнение Вальтерра первого рода (3), мы сведем его решение к реаюпоо шпегразьного уравнения Валыеррз второго рода К(т. х) р(з) Е / Ус (г, л)р(з) сЬ = д (я). (1б) 2 2. Решение интегральных уравнений с помощью замены ядра на вырожденное К(т, з) = ) сс(и)д (я), й < ос.
Пусть К(т, з) ю К"(т., з) = ~ с (х)с( (з). Для определенности будем сс1лр1палшвзсо что сс(т),..., г (сг) линейно нс зависимы и Ас(з),..., Ит(з) также линейво независимы. В противном случае здро Ке(:с, з) можно записать в виде (Ц с мспыпилс значением Е В случае (1) есть основания ажидиь. чтсс ранение уравнения (1.2) близко к репюнию уравнения р(х) — Л ) К"(т, «)р(я) Аз = 1(и). (2) Падгтавляя вырвжстпсе Ке(т, с) в (2), получим равенство ь е р(т) = 1(сг) -~- Л( ~ ссл(сг)й (з)р(з) сбс л-.с Следовательно, р(я) = У(сс) -р й') Арсу(я), (4) где А = / 41(а)р(л) Ав. Таким образом, решение уравнения (2) свалите» к определению «озффи- циентов А..
Другой класси*ссз:кий способ решешгй интегральных уравнений, применяемый в случао задач (1.2), (1.4), госюит в замене К(п, ь) — ядра интегрального оператора на нырожденипе. Вмрождессим.сс называетси ядро, представимое в виде конечной суммы 60б 2 2.
Решение с помощью замены я,лра Подставляя выражение (4) дяя р(х) в (3), получим уравнение при получении этого ураввепия е двух а»учаях индекс суммировании / переобозначен через к Последнее уравнение можно переписать е видо В,с»(1!) =. О. =1 где »Ь В! = А, --/ г(,(ьЩз)»Ь — Л) Аз/ 4(л)сз(з)1(х. „=1 Вгледгтвие линейной независимости функций с,(х) имеем В, = О.
'й»- ким образом, ьпл получили систему уравнений относительно не!!заветных Ар 1 А " Л Е(йо 11)А — -- (Ам У)! (б) р(х) ш ((х)-РЛ) А сз(х). еххн» применяется метод «з з 1, то при Йаьп»их т решение свс!ш»ы (1.9) м» годом Гаусса может оказатъгл невозможным из.за недопустимо бш!ьшою (по- ряш»а п» ) числа гшераций.
Ешш А )Лс К(хь 1,х!"'!)! <9 < 1, »=1 (б) то длв ршпеняя системы уравнений (1.9) можно применить метод и!шотой ит» рации р,"." = Л'Я гхК(х',"', х,'."')у, "Р В. 1=1 (7) Если персии»нть этот итерационный процесс в векторном виде у "'=-ву" +у, то вследствие (б) имеем ))В)) < 9 < 1 и погрел»ность итерационном» процесса убывает иак 0(д ). Если и не очень бл»гзко к 1, то применение итералионною процесса (7) целесгюбразиее применения метода Гаусса. 14 здесь (д, 1) =- / д(з!) ((х)»)х - скалярное произведение. (!огз»е р»чпения х згой гиоюмы получаеь1 приближение к решению задачи, ко"юров имеет вид Глава 11.
Мюолы решении интегральных уравнений вов Если итерационный процесс <ходится медлевиО или не сход»ггсл, то применяет- ся, например, следующий врием. В уравнение (1.2) вводится новая или»вес«нам фу,кция г» «(т) = р(х) — Л / Ке(х, л)р(л)»(з и оио нргсбразустся к виду «(х) — / Н(х. л)ь(л) г)л = у(в). (8) Оказывается, что ()Н(х, л))( — » О, если ((Кс(«, л) — К(х, л))( -» О. Поэтоъ»у при доегаточио малой величине ()К"'(х, з) — К(«, л)() и рглумиом выборе кнадратуриой формулы окажется, что система уравнений (1.9), соотгетстеуюпюя уравневиго (8), удовлетворяет условию (6), и итерационный процесс (7) бмстро сходится.
Рассмотрим друц»й способ получения уравнения вида (8) с малой ))Н)),, Опрь делиы ивтегральиый оператор Осу = / Ке(х, в)9(л) г(з. которое может быть записаво в виде у(х) — ~ Н(х, л)9(з)»(« = Ь(х), (9) где опять-таки ))Н)) -» О, если ЦК вЂ” Аа((, -» О. В вычиглительиой практике наиболее употребителеи дискретный вариант описала ых ал»аритмов.
По аналогии со случаем выра»клея иых ядер можно определитьть класс вырождеильо: матриц. Пусть ЛХ вЂ” мио»кество квадратных матриц г размерности гл, представимых в впдс 8=-~ 'с бт. »=» матрица с»д является квадратной матрицей размерности ш и ранга 1. Аналогично способу решения интегральных уравнеиий Фредгольма второго рода можно построить способ реше»шя алгебраических сиогем с «выра»кдгивой» ьштрицс 1 у — Лбу=К 8551 е вектор у отыскивается в виде у = У -~- ) А.с.. Отвосительио неизвестных А» »=1 получаые систему ураваеиий (5),где( ° , ) †обычвое скалярн произведеиве векторов. Обозначим через Се операте, сбратлыв к оператору Š— ЛО»», т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
