Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Последнее означает, что В > — Л. 2 (14) Как нпдпм, условие (14), обеспечивающее усшйчивость схемы (5), пе совпадает с (8). Однако у схем, облалшощих свайсмюм (8), нместса сущмтееваое достоинство. В ряде практических задач интервал интегрирования У уравнения (1) дос"гаточно велик азп же требуется вести счет задачи до выхода на сшпиогшрный режим. В этих случаях целесообразно испшгьзоеать разностные схемы, удовлепюряющие Ьшее сильяай оценке устойшгвосю~ (15) прн д < 1.
Обозначим (1+ г/к] ' = д и тк = г. Тогда из (11) имеем !! шм(!-' < 4И е)!' +З!!ду!!' — ) <д'!! " '!)й+ду(!ре)ф- + + Зд'(! '(б — « "- д"'ы)!о")!о+ ~ ~(!)ре(!'. Ьд!)~- ((о„. -.4-(!р"(!.-.) пусть !)ге!! = гпах !!зг"))гэ- < со. тогда из последнего неравенства пслучаеьг !)и (!«< г )!ге(!» 4д !)ее)!». (15) Омюда сведует, что при (!ге!! < со решение задачи (5) будет ограанчено иа бесшзнечном промежутке времени прн выполнении условия (8).
Отметим, что из (14) ограниченность решения на бесконечном промежутке времени при наличии правой части, вообще говоря, не следует. Разноствую схему (5) можно рассматривать как итерационный процвел решения уравнения Ап = дг, Таким образом, собственные числа Я пе превосходят 1, если выполняется ахшнашенпе — 1~ — <1 ЧпЕН. (Яе, е) (13) (о, е) Глава 10. Методы решении уравнений в частных производных где р = эь В этом случае выполненно условия  — тЛ > О обеспечивает схоаимость итерационного процесса. Действительно, записывая уравнение для погрепгности з = пя — и, имеем з = ил — и. Вз, е Аль =О, Из условия 1Э =  — тА > О сл!едугг, что 23 определяет в Н норму, к!пирую буде!! обозна!ать (( ((и.
То!да из (9) получаем ((и ы(ф 4-2т((п'Ы~((! < ((ив((й. Отсюда (1+ ') ((н Ы((з „((пвт!((г < ((н ((г (16) т! -! Введем норл!у )(пэ((! = ((и ((!г кт(14- — ) ((пв((зс! тогда из (16) следует окончательная оцевка ь Таким образо!!, итерационный мепэд (б) сходится со скоростью геом! трической прогрессии. При этом скорость сходимости опрсдш!несся вели. чинами т и к и условием 22 > О. Проц!те сходится как в норме, определяемой оператором П, так и в норме, определяемой оператороы А. Выясним, при каких условиях будут устойчивы схемы (3), (4). Схема (3) уже имеет вид (5), при этом В = Е., а А =- — !3ь.
Необходимо, таким образом, проверить выцолпеиис условия В > — Л. Имеем (см. 3 6) 2 и — ! (Ао, э) .= — ~ 1! 23 э,зе,х = ~ 1! ~~ * ' — '-/! й !,з=! !,з=е —..тт! з! — ! + ( ' ) ~ < —,) йе,:= —.(е,е). оьз-!! с!! " 3 2 1, ) ~'.1г ! 12 ,з=! Таким образом, чтобы (14) было справедливо, достаточно выполнения неравенства 2/т > 8/бт, г.е. «впал схема (3) усзовпо устойчива при т < бт/4.
Представим теперь неявную схему (4) в ээр!е (б). В этом случае В = Š— тз1ь, А = — !1~, причем А > О. Таким образом, условие (14), равно как и условие (8), выполнено при любых т и /!, т.е. неявная глеыа (4) безусловно устойчива. Если для реп!ения системы уравнений относительно значевий роше. ни» на верхнем слое применяется так называемый мор!и-олзорпглм в его устойчивой форме, то число арифметических операций при переходе от слоя к слою пропорционально числу нежгвестных.
Тогда неявная схема является экономичной. 573 ! 7. Решение парабаличгсюш урэвнелей Перейдем к изученшо других экономичвых разгяютных схем для уравнения (1). Буделг ржхыатривать закачу (1) с ознюродными граничными угловиямн, т.е. при а: — О. Пусть Л~ н Лз — операторы второй разделенной разности по направлениялэ зн и зз соответственно, з.е. б,т~ г — 26,э+э! э з б,мчз — 2с, -!- е, л,, = Здесь, как и ранее. э — фупкпня, совпадээощая с е на 51ь и равная нуэпо на еПь. Задача 1. Проверить, что функция р,з!п(яэпИ), где 1э — пронзвопыиш функция аргумента 2, являетсв собственной для опо!гаторэ Лн а любая функция ф!з!п(нгну'(э), где ф, — произнольшш функпия аргуменш Е- собственной для оператора Лз.
Задача 2. Проверить, что функции р „ = ып(гннЬ)эш(япуЛ) образувгг полвую систему собственных функций операторов Л, и Лз. Положим В =(Š— РЛП(Š— Л ), Л= — Лг'. Оператор В является снл~метри ппяи н положительно определенным как л1юизведевие симметричных положительно определенных и коммутнруиь щих межг1у собой опершоров. Опершюры таксяо вида наэывшот расшенллюи1имясл. Коымутируемость операторов Л~ я Лз можно проверить непосредственно: креме чого, она следует из того факта, что эти операторы имеют обпбчо полную сисшму собственных функций (см. задачу 2) и, слсдоватольно, записывание» в виде (Š— ИЛ~) = С ~5!~С.
(Š— рйз) =- С МзС. где Мн Мз — диагональные матрицы, матрица С одна н та же. Проверим, при каких д выпиэпяется условие (1.1). Икаем Е = Š— д(Л, + Лэ) 4- р'Л,Лз = Š— РЛа + д'Л,Лт, поэтому условие (14) приобретает вид Е-дЛ'+р Л,лз > — -Л .
г 2 Так как оператор Ей-узЛ~Лз положительно ощ>еделен, то условие д > т(2 обеспечивает выполнение (14), т.с. при р > т(2 разностная схема (5) безусловно устойчива по начальвым данным. Рассмотрим алгоритм реализации схемы (5) в данном случае. Обознань' — пи чим х = и предсгавиы (5) и вцке т (Š— РЛэ)(Š— НЛз)з = А~и + 1с". 874 Глава 10. Методы ргавевяя уравнений в часюгм» щювзводнмх Последнее уравнение разобьем на два: (П вЂ” ддг)9 = Аг'и -8лг, (Р— рА ) = у. (17) Функция 9 = 8льпв -1-гр" может быть вычислена во всех зочках Пь, т.е. можно считать ее известной.
Первое уравнение (17) запишем в видо При фиксированном у сисчвма (18) отпоситпвьно неязвестных у,м, 9»г,...,уы гы пРеДставлает ссбюй системУ УРавноний с тРехДнагональной ыатрицей, которая может быть решена, наприлгер, методом прогонки за О(М) арифметических операций. Решая (18) при кагкдом 1 1,..., М вЂ” 1, найдем функцию 9 во вгях у;шах йгг Группы неизвестных, связанные уравнениями (18), обьедияены на рис.
10.7.1 символом ьг. 11рамечаяис. Рели репшется неоднорсднвл краевая задача, т.е. и)г. Р' О, о ег то, вообще говоря, р = (Ь" — РА») не удовлетворяют гранично- т му условяю р)г — — 0 и значения 9)г. требуется определяп, специальнылг обрезом. Аналогична второе уравнение (17] расписываечся в виде », — р 'г г ьг =9,,1=-1,...,М вЂ” 1;л=-1,...,М вЂ” 1.
(19) »ь лг — 2», +»ь Аз При фиксированном л (19) ггшгяется системой уравневий с трехдиагш ивлевой матрицей относительно неизвестных (», „», г,..., », м г). Рис. 10.7.2 Рис. 10.7.1 Таким образом, функция» может быть найдена из (19) за О(Мз) арифметических операций. Группы неи:витных, связанные уравнениями (19), обьединены на рис. 10.7.2 символам $ Значения мвьг находятся по «вным формуламг и"~ =п +т». (20) 1 7. Решение параболических уравнений буй Задача 8.
Доказать, чта при дхт»точно гладком решении для рассма- триваел<ой схемы имеет мосте аппроксимация порядка 0(р-1-т+ 1»г). Та- ким образам, при р = т(2 погрел<ность аппроксил<ации име<т порядок 0(т+!»г) и схема абсолютно уашйчива. Бл»нким по сваей структура яаля<ч<я шгсд шроманиых направлений. Суп ОГО '»аКЛЮЧЭЕГ<л В ПЕРЕХОДЕ От и" К Эе М ПО фОРМУЛаМ э Ы»Уг =Л1 ""Р «Л; "+С«", !»,5т а .1-1 а -~-1<г , <ы» 0,5« (21) здесь введен промгжугачный вектор неизвестных < "л<»г» пер<юг уравнение (21) решается применением щюгаики па оси г.„а вторы — припеиеивел» прогонки по аси хг. Построение игплов с рапцаоляюпюл<са оператором на верхнем слог в ймерном случае ли»жна провыли ао точка ты<ой х<е схеме.
Пусть А = А» «- А» + .. -<- Ал, где А,— одаомарвый оператор в <-и направлении. Положил< В = (Е + рА»)... (Е -»- рА»). Ну»кная разиастиая схема будет иметь вид иеш — и" (Еьрд»] .(Е+рА«) +Аа" = р . г (22) Реализация атон» негода проводится по такому ж< алгорвтму, что и выше. Параметры р и т вь»биракпсл аз условий устойчивости и аппроксимации раз- настной схемы. Перейдем к рассмотрению ыетодов решения параболических уравнений в случае, когда область П имеет досчаточца произвольную форму.
В зтам случае реализация описанной выше схемы, основанной на представлении оператора В на верхнем слое в виде произведения одномерных операторов, встречает существенные затруднения. Однако применима схема (21). Таким образом, суть представленного алгоритма заключш»гся в гледу»ощем: при каждол» у решаем систему уравнений (18) с трсхдиагональной матрицей. При тгоы изменение 1 соответствует изменению абсциссы; поэтому г иногда называя»т «горизовтальпойл переменной функции у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
