Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 103
Текст из файла (страница 103)
В последнее время получили ппгроксо распространение праеьчйюииоразнастнис методы решения крмюых задач (метод конечных злеменгпае). Описанный выше л~етйц построения разнастных схем с помощью мегида Ритца является одной из разновидностей метода конечных злс ментов. Опишем в общих чертах суть проекционно-разностного пшгхгша на другой люделыюй задаче (ср. с з 9.11). За основу метода обычна берется интегральное тождество для определения обобщенного решения.
Итак, предположим, что в квадрате П = (:с = (хм хз), О < хм хз < 1) требуется найти решение краевой задачи ди — г.'го = г", ( — +ои)( =О, и(ай1г = О, й > О, (ЗО) где à — участок границы, лежащий на прямой х = 1. Предположим, что классическое решение этой задачи существуег. Умножиьг обе части уравнения (ЗО) на функцию уь частные производные которой являются Глава 10. Метолм резвення уравнений в частных вровэвовных 562 кусочно-непрерывныл~и и 1с) = О. Интегрируя по чаогял~ и используя ~аа1г краевые условия, получим ~~ой ~рдхду+ ) о(в)о(в)р(л) дэ —.- /~~рдхдуь й зг зсй (31) Соотношение (31) называется оишгхральнмм то:лсдссшвслк опо имеет место для любой функции сэ б Н', где Н' — пространство, являющееся замыканием множества гладких функций, равных нулю яа НП'1Г в нор«се (25).
Если н является классическим решением задачи (30) и имеет суммируемые в квадрате производные, то оно удовлстворяет (31) и и б НЕ Обратное, вообще говоря, неверно. Можно указать функции о и г, для которых выполнено (31), оцпако классическое решение задачи (30) существовать не будет. Функцию и б Н', удовлетворяющую интегральному юждесгву (31), называют обобщенным рсшсиисм звдачи (30). Обобщенное решение, определяемое из интегрального тождества (31), совпадает с обсбщенныь~ решением, определяемым миг«имнзацией функционала )11 ) диду — 2/ 1 ф "у+ / (') з( )дх /' ' — /' о /' ° й / /' Подобное обстоятельство всегда нмют л~есто в случаях, когда исхоцный дифференциальный оператор является симметричным и положительно определенным.
Если эти условия не выполнены, то задача определения обобщенною решения пе может быль сформулирована в терминах минимизации некоюрого квадратичного функционала, но может быть сформулирована при помощи ишегрального тождества типа (31). Поступим аналогична предыдущему случаю. Триангулируем область Й и введем пространство 1'ь функций, кусочно-линейных на элементарных треугольниках и обращающихся в нуль на дП'1Г. Приближенным реп~ос«ием задачи (31) назовем функцию и' б Гь такую, что для любой р б 1'' выполняется равенство /' " г' 11иь17рдхду д- / й(у)н~(1, у)р(1, у) ду = ) ~~рдхду. (32) ° й с дй Таким образом, интегральное тождество (32) совпадает с (31) с зой лишь разницей, что в (32) решение и пробные функции берутся «ю подпространства И" с Н'. Функция и' полностью определяется своими значениями в узлах сег ки. Для того чтобы нь удовлетворяла (32], необходимо и досвъточио, чтобы (32) было справедливо для люрюй фуякции 1р и )гь, входящей в базис )гь.
В кюге«тве базисных функций вспьмем функции из )гь, которые равны единице в одном из узлов йь ОГа и нулю во всех остальных узлах. Это дает нам систему сеточных уравнений, Обратим внимание на тот факт, что тшгерь в базис входит функции, которые, вообще говоря, отличны от нуля на Г. бйЗ 36. Разносгная аппроксимация эллиптических уравнений Представим о в виде и' = З,нв, !г,, !де э, — неизвестные козф. ь ь фицие!ны. Подставляя зто выражение в (32), получаем г! 1 г!гм '7!ДУ~Ф+~ о / о(и)~ (1, У)У!!У(1, П)Ф= гп а /Ууьг((ат(р! 1<!<)г 1<1<!г — 1 (33) Совокупность соотноп!ений (ЗЗ) образует систему линейных алгсбрэических уравнений относительно неизмктных коэффициентов и„, и поролслает некоторую праскцнонно-разносюную схему (зта схема ъюгла бы быть попучгла и как вариационно-разностпая).
'Гек как либаи функции !г б Р!' может быть разложева по функциям !г в„тг! из выполнения (33) будет следовать справедлиность (32). Таким образом, выражения (32) и (33) эквивалентны. Для доказательства устойчивости (33) положим в (32) !г= нь. Тогда г! ь()2 < ) (!у ь)зйх1 + ( )( ь(1 ))зй уп с < (/ у 1,1,! ( )(( ол)) <(),!( (( ь(~ .и где !)у!) !У р)( ген Ы! 4н! — и,,ц.— н! !! — и, ~! — иь !=Едко )г где 1 Г д, = — 1 ~ул! Ихней.
В точках Г, т.е. в узлах вида (Ф, у), имеем 2оп — нп . ! — нл + нн! — нл-!,! + +( ! !ил!-!+утин!+где!нлдь!) = Ь дн!. г Таким образом, )(нь)!! < ))Д !. Это означает устойчпвость проглционпоразностной схемы, т.е. малым изменениям у в нормо () !) ! соинкпствуют малые изменения иь в норме Рассмотрим структуру матрицы системы уравнений (ЗЗ) Если ! < г, < 1т' — 1, та уьз!г = О, поэтому интогрвл по Г в (33) равен ну!по. В атом глучае выражение (ЗЗ) совпадает с (23), и, следовательно, уравнение, соответствуюгцее функции Зчзз имеет вид ббй Глава 10. Методы резпения уравнений в частнмх произвцпных Здесь сь1 = ~умурл о(р)с(р, Л~О1чу = ~ Гузмуехачйре В случае, когда ат зг тп а(уЛ) + о(пЛ) т = ( Рмучдм о(в) йт = / узы)узпя г(е, уг 2 /~ Лтрй =~Г,,й.йржЛтУ В заключение кратко опишем построение проекционно-разносгной схемы в случае криволинейной грнницы и возможные обобщения этого метода.
Пуси, дл» прсххоты рагсматрвваепя задача Дироле ~ия уравнения Пуассона и П— плоская односвязная область с кусо шо-глвдкой границей ду], т. е. ОП гюстопт мз конечного числа гладких дуг; перы:екюощихгя между собой под ненулевы- ми углами. Зададимся параметром Ь вЂ” шаголг сетки.
Построим ломаную Гю обладающую следуввцими свойствами: а) область Пь, ограниченвая Гь, содержится в Г]; б) межлу точюзмгг ду] и Га можно угшнавить взаимно сшнозначнсе гоотает стане, т.е. существует взаиыно однозвачное отображение ую ВП -э Гю которое имеет кусочно-непрерывную производную уУ, (р'(, ((р ~)'( < С, где С не зави- сит от Ь; в) расстояние от точек Га ло ОП не превссзюг~ит величиим сг Ьт, где сг > О— некс торая постоянная, не зависящая от Ь; г) длина згмньев ломаной ограничена снизу величиной сзЛ, сх > О.
При при- нятых допущениях относительно области такое погггрсение всегда возможно. Разобьем область Пь на треугольники (которые будем называть злеменшар- нммп) так, что: а] длины сторон треугольников находяття в пределах (сзЬ, гчЬ), с, > Π— по- опжнные, не зависящие от Ь; б) площади треугольников находятся в пределах (>Ьт, сейз); в) любые два треугольиииа либо не пересекыотся, либо имеют только одну общую сторону, либо общую вершину. Описанное выше построение г азываетгя ке зорею елейно шро г гр пщпея области П; вершины треугольников называемся узлами сетки. Можно дока- зать, что такая триангуляция осуществима. Пусть Н вЂ” прострюктво непре- рывных функций, кусочно-линейных над элементарными треупзльникамп й» и обращающихся в нуль на Гь.
Зцпмге (1) с одноредным граничным утловием (2) постивим в озотвпптвие щюекпноино-разиосгную задачу — найти функцию оь б Н, удовлетворяющую при любой д б Н соотношению РпьРРО йу= / Урйтйр. =/' о, /а, (34) Функция пь полностью определяется гзюими значениями в узлах сетки. Поэтому есин в «ачестве эз брать базисные функции пространства и (равные едииипе и дй не вычисляются в явном виде, их можно вычислгггь приближенно, используя квццратурные формулы.
Ншгример, 5 6. Разносгная аппроксимация эллиптических уравнений ббб в одном узле и нулю в остальных узлах и кусочно-линейные нэд треупшьниками Пь), то (34) ЯвлЯетсл системой линейных алгвбпанчеакгш УРавнений относительно значений и" в узлах. Даказательс гво устойчивости проводитсэ точно так зке, кэк и выше.
При исследовании же сходимости следует дополнитетьно оЦеннть ноРмУ Решоииа в Игз1 в пРигРаничной полосе П'ГП». С Учетом этих оценок можно получить следующы аютиошение: )(о — е"()втщ„~ < сд, где псспшнная с зависит от нормы решени» в Иге~(й). При построении проекцнонно-разностной схемы можно нспаэьаоэать более сложные конечные элементы, за счет чего может быль достигнута болылая точность. Например, кроме узлов сетки, можно также в качестве узлов рассматривать сиредины огоГюн треугольников.
Пусть Н вЂ” псшпространство непрерывных в Пь функция, равных нулю на дйы и являющихся полнномом второй степени в каждом элементарном треугольни«е Пь. Пусть дйь = дй. В кшесгве базисных функций в Н можно растмогреть функции, которые равны единице в одном узле, а в других узлах равны нулю и принадлежат Н (под уэламн здесь понимаются как вершины, так и середины сторон треугольников). Тогда можно получить оценку „л(), < Аз Аналогично могут быть пшпроены прсекционно-разнссгные схемы с более высоким порядком скорости сходнмосгн. При этом используэши спипбы интерполяции, рассмотрешные в з 5.5.
Заметим, что структура матрицы системы линейных алгебраических уравнений ухудшытся; а именно, возрастает кол»- честно ненулепых элементов в строке матрицы и ширина ленты. Заметим, 'по в случае бигармонического уравнения и области с криволинейной границей такой гщцхцц нуждается в уточнении, так как получаемые приближения могут, вообще говоря, не схцлихься к ~очному решению задачи при Ь -+ О. Кратко осветим историю вопроса. Вариационные и проекционные метццы при небольшом числе базисных функций применялись издавна, еще до появления ЭВМ. Применение ЭВМ пспволило увеличить число базисных функций; при этом часто возрастало суммарное влияние вычислительной погрешности и погрешности, всшникающей прн аппроксимации ишегравов квадратурными суммами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
