Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Это обстоятельство ставило ограничение на точность, с которой могли быть получены решении с помощью вариационных методов. Были пронедены теоретические исследования, покалавпгие, ччо для устойчивости вариационных методов существенно выполнение некопзрого условия на систему базисных функций, называемого условием сильвой мпннзныьносгвп. Построение системы базисных функций, удовлетворяющей этому условию, в случае областей сложной формы иногда бываег непросто. Параллельно шло интенсивное развитие теории и практики применения конечно-разяостных методов.
Если при использовании классических Глава 10. Методы решения уравнений в частных нроизеодиых вариационньтх методов для решения линейных задач возникают линейные системы уравнений с полностью заполненной матрицей, то при использовании конечно-разностных уравнений возникают системы уравнений с матрицей, ссдержащей относительна малое чисно ненулевых элементов. Это абстгжтчльсзъо позволяет решать с теми же затратами процессарвога времени системы уравнений с сущестиенно большим числом неизвестных.
Однако в случае областей сложной формы применение конечнорвзиостньгх методов представляет определенныс неудобства вследствие неоднородности построения разнасгных уравнений в приграничных точках. Получивший в погледысе время интенсивное развитие метод конечных элементов свободен от ряда недостатков описанных методов: ои не требует специальных усилий по построению системы базисных функций, являющейся сильыо минимальной, прн его использовании упрощаени написание уравнений вблизи границы. Матрица линейной системы уравнений содержит относительно малое число ненулевых элементов. Валыпая «технологичность» метода позволила создать на его основе ряд щюммшленнмх спасаем снюндаршнмх прогуимм решения краевых задач, в частности задач теории упругости.
При использовании таких систем ве требуется знание теории численных методов и тонкостей программирования. Исследоватезь должен лишь здцать триюпуляцию области, а часто система и сама осуществляет такую триангуляцию. Эти методы сидятся при меныних требованиях гладкости, чем конечно-разностные мншды. В случае квазиравномерных триангуляций базисные функции метода автоматически удовлетворяют условию сильной минимальности.
В та же время увеличивается объем рабаты при вычислении матрицы системы уравнений. Поэтому при решении крупных задач зачастую все-таки применяют конечыо-рззностные методы или приходит к составлению систем уравнений с помощью аппроксимации минимизирующего функциоыала (или интегрального тождества) гсм. З 9.12). Традиционно для решения эллиптических задач применялись методы теории потенциале. С появлением ЭВМ они были практически вытеснены конечно-рвзностнымн методами. Однако в последнее время в вычислительыую практику стал интенсивыо проникать меоюд граничных эле.
ментное, имеющий некоторые общие черты с методом потенциала. $ Т. Решение параболических уравнений с несколькими пространственными переменными При решении параболических уравнений, как и в случае эллиптических уравнений, переход ат одномерного скучая к многомерному вызывает существенвые затруднении. Поскольку нее принципиальные трудности возникают линн при переходе от одной пространственной переменной к С 7.
Рсшевве параболических уравнении двум, то в дальнейшеы будем рассматривать случай двух пространственных переменных. Перейдем к построению и исследоваишо разноствых зхем. Пусть требуется найти функцию и, являющузося решением уравнения — = Ьп+ 1(х, С) дп ОС в области з)т = й х [О, Т), й = (х; О < хз < 1, з' = 1, 2) с начальными и граничными угловияыи п(х, 0) = по(х), п(х, С)[ ез. — — о(х, С); (2) здесь х = (хз,хг), Г = дй х [О, Т[. Попытаемся применить к репзению зщ~ачи (1), (2) методы, разработанные ранее. Введем в рассмстрызие квадратную сетку с шыом Сз = 1/М: йа =(х; х=(зй,гй), 0<1,у <М), а на отрезке [О, Т[ — сетку с шагом г = Т[1з'.
Будем искать приближенное решение задачи (1), (2) в дискретной системе точек (узлов) Яа = ((х, С); х б Йь, С = пт, и = О,..., йз). па+1 + и,. 1 + в," . 1 + о," . 1 — 4и' зз ьз получаем ревностные схемы: явную и+1 'г = Озьпу + ~,.", 1 < з, у < М вЂ” 1, т пзг — — о(зй, Ууз, йт), (зй, УСз) ОГа, 14 = ее(111, Уй) и неявную о+1 о г =С.'зао"+1+ ("+1 1<1 у <М вЂ” 1 т зг и пь = а(зй, уй, йт), (зй, Зй) б Гь, иву — — пе(зй, уй). (4) Множество Оь будем называть сеточной обласпзью, а множество точек Пз, — — ((х, С) б Яь х б йы С = пг) при фиксированном С = пг будем называть и-и слоем. По аналогии с здномерным случаем построим ввиую и неявную разностные схемы для задачи (1), (2) и попытаемся выяснить, в чем заключается принципиальное отличие от случая здной пространственной переЕз дп П[1 Пзг мевной.
Заменяя — в узле (з, З, и) разделенной разностью ОС т и" — и" 1 или *г *з, а Ьв — выражением (см. З 6) т 666 Глава 10. Методы решения уравнений в частных провзволвых При использовании схемы (3) счет ведется по явным формулам — по известным значениям и'. из (3) находятся значения и,"й . Поэтому проблем с реализацией алгоритма на ЭВМ не возникает. Осптзлгся лишь иссзедовать устойчивость втой схемы. По-другому обстоит дело в случае схемы (4).
Относительно и,".+1, и' 1 < и, 1 < М вЂ” 1, имеем систему линейных алгебраических уравнений, т. е. схема (4) неявна. Структура матрицы уравнений (4) совпадает со структурой матрицы оператора -ьхь (см. 3 6). Поэтому при решении этой системы возникают те же трудности, что и в случае эллиптических уравнений. Напомним, что в одномерном случае проблема численного репгения уравнений на верхнем слое ве возникзлв, так как можно было воспользоваться методом прогонки. Введем понятие вкономичной рэзностной схемы. Рвзиостную схему, аппроксимирующую задачу со временем, называют экономичной, если она безусловно устойчива и при переходе от слоя к слою требуется количество арифметических операций, пропорциональное числу узлов на слое.
(Иногда условие безусловной устойчнвгкти в определении экономичной схемы отсутствунс) Из определения следует, что чисто неявная схема для одномерного уравнения теплопроводносги являетс» экономичной. Перед тем как заниматься построением экономичных разиоегных схем, после,зуем устойчивость рвзностной схемы в общей посгвиовке. Введем щюстранство Н функций, определенньгх на Пь, и1 — значение функции и б Н в узле (г,у). Скалярное произведение и норму в Н определим как М-1 (, ю) = ) бзии 1м )(и((~ = (и, и).
Развостные схемы (3), (4), рассматринавппгегя выше, связывали згашения приближенного решения задачи на двух соседних слоях и-м и (я4-1)-м, поэтому их естественно называть двухслойными Далю будем рассматривать двухслойные разностные схемы вида и +1 В +Аи = зг", т где В и А — симметричные положительно определенные операторы, отобралгающие Н в себя. Как и в ццномерном случае, иногда будем различать устойчивость по начальным данаым и по правой части.
Ив+1 Г и Обозяачим ит = . Учитьгвая равенство и" = и"+1 — т~4,, прет образуем (5) к виду (6) ( — тА)и'+ Аи + = 1ли. 9 7. Решение параболических уравнений 599 Ип 22+ Ик т Положим Р =-  — тА. Так как и" 2 = + — и" ,н оператор Р 2 2 симметричен, то 22(Ри~+, 22"ь ) = т(Р2~~, и"ы -~- ие) + 22(Ри" и") .= — (Р '+', +') (Р ", )Е(Р ', ) (Р ', "+')+ 2- 22(Ри", и2 ) = (Рип "~, и"+') — (Рп, ик) -Е те(Ри,, и",).
Поэтому, уьшожая обе части (6) скалирно в ТЕ на 2тирь', поаучим (И, И )П вЂ” (И, И )и -~-т (Ип. 222)П+ + 22))22"ь''9'~ — — 22(97', и 2~). (7) Напомним, 2то по определению (е, зв)2, =. (Рсб 2е). ))22)(2Е = (Ае, о). Будем считать, что Р=Н вЂ” .А>О. (9) Тогда (7) можно переписать в виде Ф2" 1(и — Ь" (~й -~-т Ц~иф~(о+22)/22"ь ))~ = 22(22", июл). (9) Р < .А. ТЪк как Р = Р* > О, то существует опеЕатор (патриса) Р'Е~ симмш тричный и положительно определенный такой, чсо Р2ЕЕР'Еэ = Р.
Перез Р ~(~ обозначим оператор (Р~Е2) ~. В рассматриваемом случае (! 21)(2 > — 1)! .~-1((2 )( р и -~-1)! 2 )(Р— 172 в Р~Е2 ем )) < < 22()Р ' йп)~(~Р' 'ип '~) = 22)~22" ((и-2 Ь2п )~п < < етф22 ~ ()д Ч- — )(ик))р, Е и из (9) следует неравенство Е+ т 1 ~( ьс((2 < ~( ~(хп„т~( ~(2 — ) -" к / е Фиксируя е, например, полагая е =к ~, отсюда получаем соотно2пение (2 + -) ~(и"+')(й < (22 )(й 9- ЕЦ)ее~(22 и Н Мз Соотношение (9) является энергетическим тождеством. Так как пространство Н конечномерно, то существует посгояни:ш к такая, что (Ре, е) < к(Ао, о) для всех е б Н или, чти то жо самое, бУО Глава 10.
Методы решения уравнений в частных производных связывающее нормы функции вв на соседних слоях. Таким образам, ]]и" ']]П < ]]О" ]]П -~- тн]]1В" ]]йс О Имеем последовательноеть неравен<та ]]пв (]и <]]п"]]гз+кг]]ре]]~, <]]о " ]]и+ +л ') г](З']]и, «". ]]о']]й+ -~т]]р"]]~,. Предполагая, чзо к не зввисиг от гпагов сетки 6 и т, при пг < Т по- лучаем окончательное соотношение И вЂ” 1 ]]о"]]и < ]]п ]]о+с) г]]р ]], < ](и ]]и -~-с~ г])р']]й > < ь=с 1 — — с (12) < (]и" ]]р + <Г пшх ]]22" ]] С<в<И-2 которое означает устойчивость ревностной схемы (б) по начальным давным и по правой части. Тгакиьг образом, 1<повис В = Б — тА > О является достаточным для устойчивости равгостной схелгы по правой чжти и начальным условиям.
и — 1 Заметим, что выражение ~т]]1г~](й и стоящее в правой части (12), а=с является квадратурной формулой дл» интеграла / ]]р(1)]]п ~ Й, в, вы- 2 е ражение гпах ]]~Р(]зп, — сеточным аналогом нормы пшх ]]р(1)]]п,. айьйл-~ е<г<т Найдем необходимое и достаточное условие того, чтобы собсгвенныг числа опоратора перехода от слоя к слою не превосходили единицы. При выполнении етого условия схелга устойчива по начальным данным и норма погрешности не возрастает при переходе от слоя к слою.
Дпя етого положим р = О. Применим к обеим частям (5) оператор В 1 2; получим В~/звв 1 Вг/2 в т — г/2Аг ОбавиаЧИЫ ВГ/зав = ргт ТОГда ЕД = В 2/зр" И ПОГЛЕВЛЕЕ раВГНСГВО Прнмет вид В- / АВ- /зпв = (В гВ-'/2АВ-г/2)1/". Оператор Я = — Š— тВ '/2АВ '/2 симметричен, позтому собственные числа Я лежат иа отрезке (уг, зз], где (Яе, и) (Яе, о) 71 = пгш, 12 = пшх егг (о, о) ел (в, о) 1 7. Решение параболических уравнений 571 Преобразуя выражение (Ягд г)/(е, е) и обозначая е = ВО»», получаем (Яп, е) (о, е) — г(В У ЛВ Ве, о) (В», «) — т(.4», «) (,о) (,е) (В»,«) Позтоыу (13) имеет вид (В», «) — г(Л», «) (В», «) Правая часть неравенства выполнена всстда, поскольку А, В > 0; девая часть зквивалентна выполнению для любого» Е Н, «у- 'О, неравенства 2(В», «) — г(Л«, «] > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
