Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 100
Текст из файла (страница 100)
543 16. Разносгиая аппроксимация элляптяче«кнх уравнений Заметим, что шаблон, па котором (О,п+П Й, И-1) осуществляется аппроксимация, содержит а общем случае только четыре узла (О, и), (1, и), (О, и б 1), (1, л + 1) (см. рис. 10.5.4). Поэтому структура ь2атрицы линейных уравнений для НаХОжДЕНИЯ иэ+2 В НЕЯВНЫХ 2ХЕМаХ фактически не изменится: матрица (1, ) 1,в) будет иметь трехдиагональный вяд. Исслццоввние устойчивости разнгкт Рис. 10.5.4 ных схем, аппроксимирующих краевые условия третьего рода, проводится методом энергетических оцевок по схеме, описанной выше. По аналопги с построениями, проводившимися для краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравненвй, можно строить схемы повышенного порядка точноспг, напрвмер 0(62+с) вли же О(62 .~- 22).
(О,п) З 6. Раэностная аппроксимация эллиптических уравнений д2н дг„, -Ли = — ~ — -~- —,) = 2' — (,дх2 дд2) и принимает на границе заданное значение п)эп г"(и у) (х, у) е дй. В дальнейшем ншависимые переменные будем обозначать квк буквами (х, р) так и (хг, х2). Опишем построение сетки. Разобьем плоскость Вз прямоупэльной сеткой с шагами Ьг и 52, Ьь = 1/ДГь.
Для определенности будем считать, что дгг < дгз. точки вида (т, р„) = (тбм пбз) будем называть рзломп сеглко и обозначать нх (гл, и). Узлы, лежащие внутри Й, будем назынать екушуинип.мо узламо и множество таких узлов будем обгииачать По сравненшо с краевыми задачами для обыкновенных дифферевцвальпых уравнений при построение рашостных схем в многомерном случае возникшот дополнительные трудпоспг, связанные в основном с ышроксимацией граничных условвй. Рассмотрим простейшую краевую задачу — задачу Дирихле для уравненигг Пуассона.
Пусть область Й представляет единичный квадрат: Й .= ((х, у), О < х, р < Ц; дй - 2раиица Й. Трсбуетс» найти функцию и, дважды непрерывно дифференцируемую внутри Й н непрерывную в замкнугой области Й, которал внутри обласггн удовлегворлет уравненшо Глава 10. 64ега»гы решения уравнений е частных щюизводнмх 644 йь; узлы, которые лежат па дй, будем называть грапичними углами и множество таких узлов будем обозначить дйь (см. рис. 10.6.1). Пусть и(х„а рв) -значение рщпения в узле (гл, и).
Сеточную функцшо, принимаюгцуи» е узлах (глх и) значения аюа, будем оухнначать иа (т,л41) о-внутренние узлы х-граничные узлы 1,л) (т,п — 1) Рис. 10.6.2 Пигитачечный шаблон гкрк:т»; х -- тачки окрегиггюги узла (т, и) х — х — ~ 0 1 Рис. 10.6.1 Заменяя в (1) производные разностныьгн отношениями, получим систему уравнений -Ььи в =/„аа п»=1,...,А) — 1, п=1,..., 1Уг — 1; (3) здесь Ь" = 4(/6»~ т йг/Аг, где операторы 4~ н йт определены согпнагпс" ннямн агама — -- им+их — 2и» -~-гьх-цх, бгнаю = их, х+~ — 2паю + и,,х Граничные условия заменим на слодуклцие: (4) и а)еа„-— о(ггд»г, пйг); (гпйп пбз) б дйь.
Сгютношепия (3), (4) будем называть ревностной схемой, аппроксимирующей задачу (1), (2). Функция и" — решение (3), (4) --определена на сетке йь = йь н дйа. Совокупность узлов (т, и), (гп+1, и), (т — 1, »1), (т, п41), (»и, и — 1), соагветству1ощвх значениям иь, входящим в уравнение (3), образует шаблон разнастной схемы. Уравнение Пуассона (1), таким образом, аппроксимирустся на антитезе гном шаблоне крест». Если (пч и) — внутренний узел, то акресглнасглыа этога узла будем называть остальные тачки шаблона (рис.
10.6.2). Если в окрестности узла есть точки границы, ь то этот узел будем называть приграничны.и. Замети»6 чта значения и на границе дйь известны и поэтому могут быть исключены из системы уравнений (3), (4). А именно, подставляя в (3) злю~ения нз (4) и 1 б. Разнсствая авлровсимаввя еллввтнчссквх уравнений перенося известные члены в правую часть, получим систему линейных алгебраических уравнений Ььн„=уз, та =1,..., И1 — 1, о= 1,..., № — 1. (5) Нетрудно видеть, что уравнения (5) отличаются от (3) лшпь в пригра- ничных узлах. Так, вапример, в узлах вида (1, о) уравнения (5) будут выглядеть следующим образом: 2н!„— еьз 2щ„— н! «+! — н! „! о(0, пЛ!) Лз «3 ! Лз ! "3 ! н умножнм обе части (5) ва Лз.
Тогда матрица системы лвнЮных урав- нений будет нмшь блочно-трехдиагонвльную форму. Ап Азз 0 Аж Аз! Азз Ал!-з,лг-з Ал!-г,лз-з Ал,— з,л,-! 0 Ах,-! лз-з Ал!-з,лз-! где матрицы А;! Размера (И! — Ц(!У! — 1) имеют вид 4 -1 0 -1 4 — 1 -1 О 0 — 1 0 0 А!;а! = -1 0 4 -1 О 0 — 1 4 0 -1 Оценим погрешность аппроксимации схемы (3), (4). При и б Се(Й) имеют место соотношения Число уравнений в системе (5) соввадает с числом неизвестных.
Позтому матрицу сн<,"семы уравнений (5) можно трактовать как некоторый линейный оператор, отображающий щюстранство се!очных функций, определенных на Йь, в себя. Опишем подробно структуру матрицы системы уравнений (5) в случае Л! = Лз = Л. Упорядочим компоненты вектора невзвестньж т «естественвымз образом: т ч = (нп, нш,..., нл,-г,м нш, °, на~! — з,л! — !) Глава 10. Методм решения уравнений в частных нровзвсшных поэтому л 1 (бти бги') ( (Л21 бги( Л2 2бги) — 4 + 4 + о(Л1+ Лз) = О(Л1 + Лг). ~12 дх4)( ) 12 б 24)) )) При подстановке точного решения и в (4) обнаруживаем, что краевые условия (2) выполняются точно; гл является погрешностью аппроксимации разноспюй схемы.
Из проведенных рассмотрений следует, что ратностная схема (3), (4) имеет второй порццок аппроксимации. Исследуем разрешимость системы уравнений (3), (4). Лемма 1 (Сеточный принцип максимума). Пустое функцьл вл определена на 4)1, и е узлах 4)л емпопнпетгл условие йпьл > О. Тогда хошл бм е одной тпочке границы д))л фупкцил от' дпстпигоетп наибольишго значения.
Докагашепьсшпо. Допустим противное, т.е. 'по максимальное значение досппвется во внутреннем узле (вообще говори, таких узлов может быть несколько). Среди всех таких узлов выберем тот, у которого наибольшая абсцисса, т.е. узел (т, и), в котором ь ) ь,.т,„и в „= шах ьт'(Р). гейл Тогда, рассматривая слльл в точке (х , у„), получаем Л Ьш-т, — 2Ь и+о 4Ндп Ьм, +1 — 2В и йи Лт )2 1 2 (Ь -1 п ипь ) + (оп+1, Ьшп) ' + )2 + ' 2 ' <О, (Оьппп-1 тьп ) + (Ош, -1 тт ) 2 что пРотивоРечат Условию леммы; Дело заключаетсл в том, что е,~-т,п— ь„< О, а остальные выражевия, стоящее в круглых скобках, вестрицательны, посколысу (х„„у ) — точка максимума. Таким образом, исходная предпосылка является неверной.
Утверждение леммы доказано. Доказанный нринцип максимума справедлив и в случае облвсттй более общего вида. Аналогично 2шквзыввется Лемма 2. Пуспть ил определена на Йл и е углах Ил еьаюлнено уппоеие та~оп < О. Тогда наименьшее значение достпигаеотсл функцией вт' хштсп бм е одной точке млтнит)м дол. 16.
Разносгпея аппроксимация глпиптическех уравнении РЬ лемм 1 и 2 непосредственно следует Теорема 1. Пусть о" определена на й» и в узлах й» удовлепюорлею урав- Д»о =О' гп — 1 . ° г г 11 и — 1 .. ггз 1 Тогда о» достигаеп1 своего наибольшего по модулю значения на границе дй». ))и ))и» < сг(Ц ))и» + )(о )(ал). (7) Исследуем устойчивость схемы (3), (4) и оценим близость и к и». Пусть нормы в Уг', Р» и С» заданы следующим образом: ))и ))и» = свах)и „), ))1 ))г» =шах(( ), ))о ))оь =шах!е !.
й„ и» зог Вследствие (6) для любого многочлена („>(хг, хг) второй степени выполняется равенство Ютп = д С(1 г„) так как четвертые вроязводные, входящие в (6), обращаются в нуль. Возьмем В= ьГ2/2 = (61агпй)/2 и построим вспомогательную функцию Ю(хм з) = — ~Пг — ~хг — — ) — ~хг — — ) ~ )(("))г + )! "!)а» которую будем рассматривать в узлах сетки й». Из вьппескззанного следует, что в любом внутреннем угле Д"Я =До)1 „1 — — — ()у»))г,, =1,...,6»,— 1, =1,...,%,-1. Теорема 1 является разностным аналогом принципа максимума для гармонических функций. Из нее следует, что система уравнений (3), (4) с 1 „ш О и о „ш О нмест только нулевое решение, поскольку наибольшее по мс,пулю згшгение и „равно нулю. Следовательно, определитель системы линейных уравнений (3), (4) (число уравнений равно числу неизвестных) отличен от нуля и при любых (» и о» система (3), (4) имеет единственное решение.
Заметим также, что отсюда следует с,пдозначная рззрешимосп системы уравневий (5) при любой правой части ух Конкретизируем общие построения 3 1 втой главы. Пусть ь'и, гп и С» — некоторые пространства функций, определенных на Й», й» и дй». Введем в ишг нормы, согласованные с нормамн соответствующих пространств в непрерывном случае. Согласно определению (см.
3' 1) рвзностная задача (3), (4) будет устойчивой, если существует посюинная сг, не зависящая от Ьг, бг, такая, тго для решенвя и» сисшмы уравнений (3), (4) справедлива оценка Глава 10. Методы решения ураввеивй в частвмх провзводвых Тогда разность ол = и — й в узлах Йл удовлетворяет неравенству еле ге+ )(уь(! По лемме 1 функция вл принимает наибольшее значение на границе дйл Но иа дйл справедливо отношение хг1 о =ел — м'=ел — ))о'))оь — — гс — х~ — — — хг — — !11 ))лл <О. Таким образом, вл < О, т.е.
о" < С в йл. Аналогично, рассматривая функп;:зю ол = ил + 13 в йл, устанавливаем, чзо йл в<О л! >О ~зол Тогда из леммы 2 следует оценка ел > О или же ол > -С. Таким обра- зом, всюду в Йл установлено неравенство )ол! < я и позгому )! ")! < ))Й))и < 4"г))у'))гл+ )! "))а' (3) Заменяя зто неравенство более сильным ))о ))и„< ))у ))Лл + ))оь))ал, ,л~ Ал(„! ! +Ал ци, ) здесь 㠄— погрепшость аппроксимации. В силу того, что граничные условии выполняются тОчно, имеем Лл~ =О. Так как радиус В области й равен т'2/2, то исповьзуя оценку (3), получаем 1 ))НЛ))О, < )! Л))гл = 0(бг+ Лг) Таким образом, решение сеточной задачи (3), (4) сходится к точному решению дифференциальной задачи в сеточной норме пространства С.
Напомним, что все рассуждения проводилвсь в предюложении, что решение задачи (1), (2) обладает достаточной гладкостью, а именно что о(х, и) имеет непрерывные четвертые производные в Й. получаем оценку (7). Таким образом, разностная схема (3), (4) устойчива в сеточном аналоге нормы пространства С.
Оценим сходимость разностной схемы (3), (4). Для етого запишем уравнение для погрешности Нл(шб, пЛ) = Н „= в(х„„уа) — о„ 549 18. Ревностная аппроксимация эллиптических уравненкй Из доказательства сходимосги вш494о, что основным моментом являлось получение оценки (8), характернзу4ощей устойчивость разностной схемы. Сходимость же схемы является следствием мшроксимации и устойчивости, причем порядэк скорости сходимости совладает с порядком аппроксимации. Проведенное выше доказательство схсднмостн схемы является частным случаем теоремы Ф44липпова. Описанный метод дает приближенное решеняе, сходзпцсюся к точному со скоростью Сз(Ь~). По аналогии с ош4ол4ерным случаем можно построить разпостиые схемы, обладающие более высоким порядком ысоднл4осг44.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
