Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Поясним, почему дополнительная информация при второьг способе является сш!е!метельной. Для определения решения Лиффсрсвщшлыюго уравнении второго порядка с чичногтью 0(е) тргбусзтя звдаяие с такой же по порцлку точностью значения решения и его производной в некоторой точке. /В!я Разиоснюго УРавнениЯ Роль этих величи» игРают рв и (ря — У„!)/Л. При первом способе задание значений ув и рв ! с ! двоичными знаками позволяет определить (й — рм г)/5 с погрешностью порядка 0(2 '6 '!). Таким образом, здесь по извеснюй иэм информации мы располагаем возможиосъмо найти дальнейшие значения решения сеточной задачи с погрепшостью порядка 0(2 !6 !) (если есе послеэуюшие вычисления будут производиться абгалюпго точно). В случае второго способа мы имеем значениа р„и (йв — Р !)/6 с ! Деон шыми знаками, поэгимУ обпвлаеы возможностью найти решение гжточной задачи с погрешностью поряД- ка 0(2 г).
Таким образом, эта дополнительная информация действитель- 493 ! 12. Влияние вычислительной погрепш«ктн но оказывается с«шержат«льиой. Па каждо««шаго реального численног«« интегрирования погрешности округления вно«мт !«слоник«ел«ную неопреДеленпость в компоненты вектоРа [Ун, (Уи — Р„!)/!«): во вто1юм свэч:ю порлдка О(2 «), в первом .
порядка О(2 «!'Ь). Зтю и приводит к тоь«у. чл«суьвшрнля вычислительная погреппнкть решения во втором случае ьюя«ет оказаться величиной порядка О(2 «Ь «], а в первом порядке О[2 'Ь ). Ржсмотрим метод про«онкп резпсп««я сеточной краевой ведаю (1.3), с«ю«вочсчпун«п!сй уравнснн«о втором«порядка уе[т) — р(л)у(г) = дт) при Р(х) — = !« .= гана!. Коэффицпе«ггы О„вычисляк«тся по след«ю«цил«рекуррнлтныы «)юрмулаы Сн«« = (2+РЬх — С„); в «жучке р(л) ы р целе««юбрвзпо заравсо вычислить О = 2+РЬт и вести вычисле««ни по фоРмУле Сн,.« = ((г — Гл) При вычислении сул«мы 2-1-РЬ! ««!юи«ойдет округление. т.е.
получится величина !с* = 2 -!- ф«з -~- 6, «де б можне оказитъсн ешшчнной порядка 2 '. Эчо равносильно тому, чтз б«с« округлений решается уранненно рл(с) — р*у(к) = ((«г], где р' = 1~4-б!« '!. Рагсуждая, как и выше, п«жучиы, .по шкое возмущение коэффицненш р можш привести к вашущению решовня па величину порядка 2 Ь Гсэн коэффишюнт С„сюцссты нас больше 1, то при вычислении выражения рйз -!- 2 — Се оог!х«««ю««хл«, округления может оказаться величиной порядка 2 Ч т(Се(.
Погкольку вклад от по«зтш«ннтв е одной точка в сумаарвую погрешил«гь улпюжэегся па коэффнцж'нт порядка Ь, то влияние мого округлеппл нэ ок««нчатгльный Резглюат поРЯдка 2 нй ')С;,). Яглн )Сн)» Ь ', то это ныраже««не б«двг сушественно болыне чел~ 2 'Ь э. Завета««не. Возмущенна, вногимые лругими округлеяилмн орн вмчи«лопиях С„и «йы также рнвногкю ны пекоторыи возмушовннм коэффициентов р н !".
«1юбь«погрешность рыпения сне«сны (1.Ц была с««цестн~ нно м«ньше, необходн«ю по крайной л«ере задавать ее е форпо, тле окрунэевня ь«вффн««нм««ов слстемы рави«ю««лъ««ы сужж;твенно меныпин вознущепнян коэффициенто««и«- холкой дяффоренциальной эвлв |и. С этой целью можно, например, перейтн к с««стопе (й) !« Ь Со«на~потны««ю прп ранения ягой сн«темы вместо рокуррентных сы«тношапнй (3.11) относительно коэффнцвептов С;„Р следует пе!юйтн к рекуррентнын (иотноше««ням (4.9), (4.10) относит«льно о„, !1„. Вы«пе рассматривался саучай, когда лри всех и погрешность округления оказывалась одной и той же. Если коэффициент р(т) Р сопя!, то при вычислении величины 2-~-ро!«прн различных п округления могут оказатьсн различных знаков, и понтону суммарная погрешность может оказаться по порндку меньшей чем 2 'Ь, з.
В случае залы«««Коши двя Глава 9. Численные в~входы решения краевых задач 494 уравнения у' = /(х, 9) при условиях А = 2 ~, 2 'Ь т << 1 вычиш1ительнан погрешность часто накапливается меднеынее — как /5 Обратим внимание на прием практичо:кай оценки вычислительной погрешности путем изменения масштабен, применяемый иногда для зксаериментзльно~а игследошшгш чув<тнишльнш ти маада к вычиглитачьнай поггюзпногпс Пусть нека юрым методом решается задача Коши 49 а9.
— =- Д.г, у), у(0) = а. Замена переменных з = ру, у = Лл гводпт зту задачу к зада и. д р а — = — Д81, Л:), л(0) =- —. ай Л ' ' Л' Предполозкиы, по первая задача интегрировалась г гншаыи Ьб осуп1ествим чишеннае интегрирование вто1юй задачи тем же методом, ио г ш нами )г', = А,/р Прн а'и:у'и"гвин округлений будет иметь место ршюнства у, = Л»6 если Л и р оба не являются целыми штпгнями лвойки, то ршноггь межлу рашьио получаемыми знанниями величин у, и Лз, обычно шит опрадолгнноа представление о ведичиве вычислительной гюгрешнос»и. Например, можно шять д=ъб, Л=т/2.
Литература 1. Бахвалов Н.С. Числеинью методы Мл Наука, 1975. 2. Бахвалов Н.С. 1< оптимизации методов 1юшанвя краевых звлач при наличии ногранична~а (жоя // ЖВМиМФ. 1969. 9, Н 4. С. 841 .859. 3. Крылов В. И., Бабков В. В., Монасзчырный П.!4. Начала теории вычислнтазьных лгешлов. Дифференциальные урышения — Минск: Наука и техника, 1982.
4. Крылов В. И., Вабиов В. В., Моижтырвый П. И. Вычислительные методы, Т. 2— Мл Наука, 1977. 5. Сенарский А.А,, Тихонов А.Н. Об олнородных разнос ппзх схемах // )КВМиМФ. — 1961. — 1, Н 1. С. 5 .63. 6. Сабшвв С.Л. Некатарыг замечяния а численном решении инзггрвльных уравнений // Изв. АН СССР, снр. мазеп. — 1956. 20, Х 4. С. 413-436.
7. Федорова О. А. Вариационно-разностная схема для одномерного уравнения диффузии // Матель заметки — 1975. — 17, Н 6. С. 893 898. Глава 10— Методы решения уравнений в частных производных М В случае решения обыкновенных дпф<фгренпиазпных уравнений мы видели слсду<ошую карсяну. Имеется ряд уравнений, интегрируемых в квадратурах. Решение бовыпинсгва уравнений к<огнив получиттв вспользуя лишь чиглеиные методы. Принципиально различных постановок задач довольно вел<ного< в основноы зто задача Коши, краевая выло<а для линейных уравнений, краевая задача двя и<линейных уравнений. Имеет<я небольшое количество шоретичегки исследованных и практически огреб<паин<их алгоритмов, позв<ашющих зффективпо решал, существеппу<о часть задач. связанных г численным решением обыкновенных дифференциальных уравнопнй.
В <зстногти, рид численных неводов решения задачи Коши был рвзрзботзн еще в прошлом веке. В настоящее время разработка <<сводов п алгоритмов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциельных уравнений продвину<в нвспаько, что зачао<у<о исследователь, имг<ощий дело г втой зщ<ачей, не ванимвется выбо<юм ыешда ее решения, а просто обращения к стандартнон программе. В случае уравнений с частными производныыи число принципиально различных пост<попок задач существенно больше.
В курте уравнений с частными производными обычно рас<ь<атривает<я незначительная часть таких посшновок, главным обрсщом связанных с линейными уравнениями с поо<оянпыми коэффициентами. Прн ятом существует очень малое количе<гво за!шч, решаемых в явном виде. Многообразие пос<вновок в теории ураннений с ча<тиыыи производными связы<о с мног<юбрвзием явлений окружа<ощего нас мира.
Вольшое количе<тпо различных постановок зады, связанных с решением уравнений в чспгных щю<гзводных, привело к тому, что теория численных методов в этом направлении дробится на болыпое число направлений. Использование численных методов с применением ЭВМ сильно расширило возможности в нсследовыши подобных зздю<. Например, разработанные за последние пятьдесят лег алгоритмы дают возможи<ють решать с приемлемой затратой машинного времени подавлн<ощее 6<иыпинство краевых задач, си<манных с решениел< одно- и многоморных уравнь 496 Глава !О. 1йетоюв реп~ения уравнений в частных проьчволшэх ний параболического типа с переменными коэффициентами, в частности с коэффициентами, нелинейно зависящими от решения.
Конечно, здесь иначе, чем в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, обстоит дело с обгкнованигм гходимости числевных мегодов и оценкой погрешности. Для широких классов типовых задач такие шследования проведены. Однако для многих важных классов прикладных задач, предъявляемых математикам для ропшина, пе только не доказан, но часто остаетгз~ неясным гам факт гущсствовапия решгг~ия. Например, ужг дая прщзой на вид системы е~ -1- и =.
О, ((в1ачгу)вз) = О, описывающей одноморног адиэбатнчегкъе течение гааа е лаграпжееых ко. ордянатах, не доказан при (7) > 1 факт сущоствования решения в шлом (т. г. на неограниченном промежутке вромсвя). Прн тесом состюгппги вопроса о суп1егтвованви решения в настоящее время трудно ожидать получения строгих оценок погрепшопгп и теорем гходимостп сеточных методон прн достаточно общих предположениях. Тем ие менее, часто пользуясь пглзуэьгппричсскиьги соображениями, анвлогинми по гравневню го случаем лвлейных уравнений и чноаенлыми экспг1жмсншми па задачах с взвптным шчным рыпшшем, л~атсматики гоздпот численные л~елды ргнвшгя и дл» таких задач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
