Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Это обстоятельство явилось стимулом к разработке еароацооиаа-раэпостимх методов, соединяюпких в себе преимущества метода Ритца и копечно-разностных методов. р„'(х) РЯх) Рис. 0.10.1 Зцаадимся тачками О = те < ккк « ° хкк = Х и будем шыскивать приближенное решение (Ц в виде функции, линейной на каждом из от- 431 3 10. Построение чначыпанх меюдов где Г( а ( (р(«) — — — — х ) гбг. Ч=-1, Л, О, 1<Ч<бг — 1, ,1 1, -Л1 — 1 «л — «х — хл' — г й(х) хл-«л-1 ти — «и-г (*и-«л-и)'1 4.
Вариационно-разностный вариант метода Бубнова-Галерки гх Л(9, ф) = / (й(')у'ЧУ+рйф — И)г(х:=О а (13) Будем искать решенно ул в виде (9): потребуем, пабы (13) обращалось в нуль для всех функдий ф[х) вида ф(.) = ) Чьб ~(з:), фр--произвольные числа. Поскольку выражение Л(у, ф) линейно по сй то получаем сисзньгу уравнений Л(ди,бч)=О, 9=1,...,)Ч вЂ” 1. Б данном случае зта система уравнений совпадает е (3).
(14) Можно было не провзвсдпть н (12) ию егрироваиия по чагтям, а непосредствен- но потребовать удонлепюреппя (12) для любой функпии вила (9). Однако те ш функций вида (9) выражение (12) салержпт слштемые типа б-функпни, по- этому пгаасрелстненнае выписыынию уравнений системы (14) предстнвля.зо бы дополнительные технические трудности Описанный выше мепэг ролепия задачи, называемый праехзаанна-раэнагпь нъьн, применим и к задачам банее общего нида.
Рассмотрим краег ую задачу (/г(х)9)' + ау' т (бу) ' -1 гу = у т Г', (Рб) уже не ннляющуюсн задачей на экстремум некатарога функнпоиала. Умножим (15) скалЯРно иа г5 бйух [О, Л) и пРоин шгРиРУем нгкотаРые из слагаемых по частям; получим гх л,(р,ф) = ( (йр'зу' — ау'Р+(тзл — УФ1 УФ йЧ«)3 =9. е на. Если умножилг (1) аа произвгшьпую фупкциго ф(.с) б)Р~' (10. х[) и проивчизрирусл~ парнас глаиюмог н выражгнии Г (ь[9) — 1(«)) Ч (т) г(з' (12) е по частям.
то получим интегральное тождество 483 й Ю. Пострсевне численных методов Меж нг «в кэждсш нз гпчшгкггв (чч г, хч) взять гл — 1 дополгштеш и гггчку и принять за нв»ьзвестяыс знюнгния ргг(х) в этих точках. Вариационно-разноогныо методы в опредапенном смыг.ге чтехнологнчнео» разностных. В случае построение вариш1иопно-рвзностных мь"годов путем минимизации кнадратичнаго функцпонвла возникаег сиошма уравнений с положительно определенной ыатрицей, что обегзючинавг определенную «физичность» получаемых приближений и одиоврелгепно облегчает решение системы. Нерешенность папа ингвгрировання чвкже не оказывает существенного влияния на сложность програмлг вариационнорвзностных методов.
Эти преимущжтва наиболге эффективно проявляются при решении многомерных задач в областях со »ложной геомвгрией. При одном и том же порядке »очности использование мцгиалионпоразностных гхем часто трсбуг.г меньшежг объелаг щюграммвровапия. Все это послужило причвной того, что опи н:шты за основу, например, при гсздапии пакетов численных мвгодоп решения задач перин упругости. В го же прелы при решении очень сложных задач, в которых щгя получения нужной то игошгэ 11хбуштп чнг;го узлов сетки, пвходшцееся ва пределе возможностей ЭВМ, час»и бьгвшгг целесообразно обр виться к сепгчныы методам.
Заметим, что вариаггиопио-разностпые н оргюкциоино-разнопцпш мш тзды назывшот твкжо мепгодгьмгг коне агмв элемсгпгкм. б. Построение разностных схем путем аппроксимации функциовала. При непосредственном пог"гроепии рэзноствых агшроксимаций в облэсшх сложного вида иногда окэзымиптя, что получаеттл сиг-тема уравнений со знэконеопредглонвой лпггрицой, в то время как игходпвл зв,лача была знвкоопредвпена. Чтобы преодолеть этот дефект, не прибегая к ипю пшованиго вариациоияо-разностных методов, строят коне шорэзностные схемы, используя дискретную влпроксимацинг минимизируемого функционала, соогветствугощшо задаче. Приблизим исходный функционал дискрппюй аппрокгимациейг и 1(11) =гь(гlл) = ~' к(тч-г/2) (, —, ) (тч Яч-1) ' ч=г Лч — ггч-1 Уг((гч)»Дг» Уг(хзг-г Ьч-1 ч=-1 — ) (У(сч)у»+а(зч — 1)рч-1)(вч тч — 1)' ццесь з гуз = (чг + в 1)/2.
Первая сумма получилась на основе кээдратурной формулы прямоугольников, вторал и грвтья — форыулы трапеций. Прирэлнивая нулю Глава 9. Чиелеевые методы ревюии» краевых зе,члч 484 производные д/1,/дрч, получаем систему уравнений Уч Уч — 1 Рде1 Рч) 2 ([й[дд-1/1),л.. 8(хче1/з)с ~ — ~ " р(хд)рд1лчлд 1+ р(хд)улддлхд— хЛх хч — /(хд)(/ххд 1+ ьхд) = О.
4 = 1,.... м — 1; /лхч —— хч 1 — т1. Подели» пРелылУЩее ссотношениг на — 2бч, где 81 = (Ьхд 8 дЛхд 1)/2, получим конечно-рвзностную схему р(гч)р„— /[хд) =. О, (18) ~тд ' '"Хд — 1 2 совпадающую со схолдай [8.3) в случае равнолдерпой сетки. Выражение /1,[уь) в (18) являетгл ывогочленом нюрой степени 1аг переменных рб оно звписывдангы1 в видо Н-1 1ь(йд) =.,) ооРУ,+ ~ 8,11,+11 вылив Учтено то, что Ре = о. Уч = 6. Из (18) виДно, *гго псРвые ходе суммь1 в /1,(рд,) неотрицазтльны. Исогому /н /ь(81,) > — поп(/( ~ ) [Рд[бч ч .а При таком поведении многочлеив второй степени в окрестности беско- Ф-! вечности его главная часть ) пну,у неотРицательиа, т.
е. А = [вб) > О. ,1=1 Поскольку о,. = 1дх/1,(81,)/др,д)д, ди матрица А ввтсаютпческв оказывается свмметрнчной Задача 1. Доказать, что при 1 > О. р > О матрица А положительно определена. Чтобы проведенные рассуждения о неогрицательности матрицы А были спрввепливы, целесообразно оцюнть аппроксимацви функционала, приближая выражения, стоящие под знаком квадрата, не раскрывая скобок. Пупов например, исходная задача яввяетсв задачей на вкстремум фуикцнонелз ох /[р) = / (й[х)[р'+ Л(х)р)з ч р[х)рх) дх,.
р > О о 111. Улу'рпреняе схслнмостя еаряавноппых ретолов в пгрмуляреои срр ею 485 Иптегрюр от первого слагаемого приближаем ныражением ь ~,й(ит И ) (" '" '+Л(л,.„з)У'+УР ') Ь,„ Ьзрр р=-р от второго так же, как в (18). Йс проведенные выше расгуждения гктвются в гиле, и поэтому ахртврпствующарр матрица А вготрицательва. ясли раскрыть скобки в (и' -~- Л(х)у)з, а потом аппрокснлрировать вите- грал. то люжет случиться, что условие А > О прв крупных шагах будет нарушгво. 11з после1рних рассуждений следует заключение, кото1хх особхр сущеспюионво в многомерволр случае.
111 и рлх.троюпор холе ррро-розиот~ррррр: лрснродогр пурпе.п рргрррургжсрррроции минимизируемого рлурркциорршра цсресрюбупзрро зависеть 111уррпцрррвррпр е оидс сумми интегзплое от хеафптсе рмяоторлрх еиухрзкеррррй и,риррсгоеой земли и епп1рррясимррурооагррр зти еьррихгершл, ие раскрывал гьобох. б. Случай невариацноиной задачи. Дерр неварнацнопных задач разногтпые схемы ьюжно получать, аппроксвмируя интегральное тождество, из которого определяется решение.
Применим этот способ к рассматриваемой нами вариационной задаче. Будем аппроксими1ювать интегральное тождество гл л(У, ф) = 1 (1р~р'ч-дрф — (ф)дх=б с дпЯ лРобой фУнкцин ф бцгз (О, Х). Имеем У вЂ” У-р ф — Ф-р Л(у,ф) жЛь(уь, Фь) ='ЕК(х,,) ур ур' ' 'р уй рьхр р+ 11хр., Лхр р Ф + ~-,((р( )у — Л ))фр 1- (р( р — )у,- — У(х,— ))Фр-р)Лтр — = О р=л 11олапш 4е = уп = О н собирая кож)рфициенты при одних и тех же йр, получим и-р Ль(ую фь) =- ~,Л,Лррз, Ф, = О, р=р рде лрур опредрлено формулой (18). Выражение Ль(уш рдь) равно нулро лля пробой сеточной функции р)р, жли асс арус —— О.
1!олученная система уравнений совпадает с системой уравнений (19). Глава 9. Численные мегсды решения краевых зада ~ 48б В 11. Ъ'лучшение сходимости вариационных методов в нерегулярном случае Погрешность итерационных методов существенно зависит от точности, с которой можно приблизить решение функциями из пространства, в котором ищется решение. Рассмотрим некоторые задачи, в «ошрлях при испалмзавании варнационных лннапов нмснг смысл несколько усложнить построение системы базисных функций. 1. В случае разрывного коэс)лфнцпенга й(х) производная и' лнкже рмрывна, понтону решенно плохо приближается кусочно-линейлиылллл функциями.
В то же время выраженно йа' является двффероллцпруелив функцией. Поэтому для достижения балеа высокой шчности цшятообраз. но искать приближение в видо функции, когарая па каждом из отрезков (х н хе) является решением уравнения йр' =- савве или, лттл тп жо самое, (~/] = О. В этом случае палучаелся вариацианно-разно<"гная схема, ! имшащан в сеточной норме Й/э„порядок схсдимости 0(йз) даже пра 1 измерпллых функциях й(х), р(х), у(х). Под нарыой Йгль пониммм выражоние ))лллй)- ~ = ~ул( ' ), не = лги =О, б являлшцсеся сеточным аналогам нормы пространства Йгт. 2.
Иногда оказывапгслл, что ренлешле иллан особенность в конечном чилше тачек, а вдали от иих является гладким. Например, относительно решения иногда можно уопшовнть, чтт~ оно иманг вид р(з:) = ~ Сгр (х) -~- а(х), лле уул(х] нзвосплые функцни, а н(г) — неизвестная гладкая фупкглия. Если нскочорлле иа коэффицненчин С, например Сгч л,..., Сн известны, то индует перейти к новой нонзвесгпай функции р" = р — ~ Слф (х).
г=в-«1 Далее рксматриваем случай — все С неизвестны. Приближение дшл гладкой части ищем в виде И и(х) = 2 счяе (х), с=о 11!. Улгчшонне гхолямости яаряапионяьж методов где рч (х) те же, что и в (10.9), т.о. решение ищется в виде у(х) = 2 С ф (х) -1-2 гчш~~(х) в.о с неизвестными козффнциеншми С, с;, и при допапвительном условии на вти козффициенты, имеющем вид у(0) = е, р(Х) = 6. (Здось для определенаосги мы пРинали, что г(ч,.... улн 1ое,..., сгл линейно ишависимы.) Функции Фг(х] в отличие от функций Фь обычно имеют носиттль, размеры которого по сгремятгл к нулю при умецыпении шага сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
