Главная » Просмотр файлов » Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu)

Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 89

Файл №1160088 Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы) 89 страницаН.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088) страница 892019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 89)

Это обстоятельство явилось стимулом к разработке еароацооиаа-раэпостимх методов, соединяюпких в себе преимущества метода Ритца и копечно-разностных методов. р„'(х) РЯх) Рис. 0.10.1 Зцаадимся тачками О = те < ккк « ° хкк = Х и будем шыскивать приближенное решение (Ц в виде функции, линейной на каждом из от- 431 3 10. Построение чначыпанх меюдов где Г( а ( (р(«) — — — — х ) гбг. Ч=-1, Л, О, 1<Ч<бг — 1, ,1 1, -Л1 — 1 «л — «х — хл' — г й(х) хл-«л-1 ти — «и-г (*и-«л-и)'1 4.

Вариационно-разностный вариант метода Бубнова-Галерки гх Л(9, ф) = / (й(')у'ЧУ+рйф — И)г(х:=О а (13) Будем искать решенно ул в виде (9): потребуем, пабы (13) обращалось в нуль для всех функдий ф[х) вида ф(.) = ) Чьб ~(з:), фр--произвольные числа. Поскольку выражение Л(у, ф) линейно по сй то получаем сисзньгу уравнений Л(ди,бч)=О, 9=1,...,)Ч вЂ” 1. Б данном случае зта система уравнений совпадает е (3).

(14) Можно было не провзвсдпть н (12) ию егрироваиия по чагтям, а непосредствен- но потребовать удонлепюреппя (12) для любой функпии вила (9). Однако те ш функций вида (9) выражение (12) салержпт слштемые типа б-функпни, по- этому пгаасрелстненнае выписыынию уравнений системы (14) предстнвля.зо бы дополнительные технические трудности Описанный выше мепэг ролепия задачи, называемый праехзаанна-раэнагпь нъьн, применим и к задачам банее общего нида.

Рассмотрим краег ую задачу (/г(х)9)' + ау' т (бу) ' -1 гу = у т Г', (Рб) уже не ннляющуюсн задачей на экстремум некатарога функнпоиала. Умножим (15) скалЯРно иа г5 бйух [О, Л) и пРоин шгРиРУем нгкотаРые из слагаемых по частям; получим гх л,(р,ф) = ( (йр'зу' — ау'Р+(тзл — УФ1 УФ йЧ«)3 =9. е на. Если умножилг (1) аа произвгшьпую фупкциго ф(.с) б)Р~' (10. х[) и проивчизрирусл~ парнас глаиюмог н выражгнии Г (ь[9) — 1(«)) Ч (т) г(з' (12) е по частям.

то получим интегральное тождество 483 й Ю. Пострсевне численных методов Меж нг «в кэждсш нз гпчшгкггв (чч г, хч) взять гл — 1 дополгштеш и гггчку и принять за нв»ьзвестяыс знюнгния ргг(х) в этих точках. Вариационно-разноогныо методы в опредапенном смыг.ге чтехнологнчнео» разностных. В случае построение вариш1иопно-рвзностных мь"годов путем минимизации кнадратичнаго функцпонвла возникаег сиошма уравнений с положительно определенной ыатрицей, что обегзючинавг определенную «физичность» получаемых приближений и одиоврелгепно облегчает решение системы. Нерешенность папа ингвгрировання чвкже не оказывает существенного влияния на сложность програмлг вариационнорвзностных методов.

Эти преимущжтва наиболге эффективно проявляются при решении многомерных задач в областях со »ложной геомвгрией. При одном и том же порядке »очности использование мцгиалионпоразностных гхем часто трсбуг.г меньшежг объелаг щюграммвровапия. Все это послужило причвной того, что опи н:шты за основу, например, при гсздапии пакетов численных мвгодоп решения задач перин упругости. В го же прелы при решении очень сложных задач, в которых щгя получения нужной то игошгэ 11хбуштп чнг;го узлов сетки, пвходшцееся ва пределе возможностей ЭВМ, час»и бьгвшгг целесообразно обр виться к сепгчныы методам.

Заметим, что вариаггиопио-разностпые н оргюкциоино-разнопцпш мш тзды назывшот твкжо мепгодгьмгг коне агмв элемсгпгкм. б. Построение разностных схем путем аппроксимации функциовала. При непосредственном пог"гроепии рэзноствых агшроксимаций в облэсшх сложного вида иногда окэзымиптя, что получаеттл сиг-тема уравнений со знэконеопредглонвой лпггрицой, в то время как игходпвл зв,лача была знвкоопредвпена. Чтобы преодолеть этот дефект, не прибегая к ипю пшованиго вариациоияо-разностных методов, строят коне шорэзностные схемы, используя дискретную влпроксимацинг минимизируемого функционала, соогветствугощшо задаче. Приблизим исходный функционал дискрппюй аппрокгимациейг и 1(11) =гь(гlл) = ~' к(тч-г/2) (, —, ) (тч Яч-1) ' ч=г Лч — ггч-1 Уг((гч)»Дг» Уг(хзг-г Ьч-1 ч=-1 — ) (У(сч)у»+а(зч — 1)рч-1)(вч тч — 1)' ццесь з гуз = (чг + в 1)/2.

Первая сумма получилась на основе кээдратурной формулы прямоугольников, вторал и грвтья — форыулы трапеций. Прирэлнивая нулю Глава 9. Чиелеевые методы ревюии» краевых зе,члч 484 производные д/1,/дрч, получаем систему уравнений Уч Уч — 1 Рде1 Рч) 2 ([й[дд-1/1),л.. 8(хче1/з)с ~ — ~ " р(хд)рд1лчлд 1+ р(хд)улддлхд— хЛх хч — /(хд)(/ххд 1+ ьхд) = О.

4 = 1,.... м — 1; /лхч —— хч 1 — т1. Подели» пРелылУЩее ссотношениг на — 2бч, где 81 = (Ьхд 8 дЛхд 1)/2, получим конечно-рвзностную схему р(гч)р„— /[хд) =. О, (18) ~тд ' '"Хд — 1 2 совпадающую со схолдай [8.3) в случае равнолдерпой сетки. Выражение /1,[уь) в (18) являетгл ывогочленом нюрой степени 1аг переменных рб оно звписывдангы1 в видо Н-1 1ь(йд) =.,) ооРУ,+ ~ 8,11,+11 вылив Учтено то, что Ре = о. Уч = 6. Из (18) виДно, *гго псРвые ходе суммь1 в /1,(рд,) неотрицазтльны. Исогому /н /ь(81,) > — поп(/( ~ ) [Рд[бч ч .а При таком поведении многочлеив второй степени в окрестности беско- Ф-! вечности его главная часть ) пну,у неотРицательиа, т.

е. А = [вб) > О. ,1=1 Поскольку о,. = 1дх/1,(81,)/др,д)д, ди матрица А ввтсаютпческв оказывается свмметрнчной Задача 1. Доказать, что при 1 > О. р > О матрица А положительно определена. Чтобы проведенные рассуждения о неогрицательности матрицы А были спрввепливы, целесообразно оцюнть аппроксимацви функционала, приближая выражения, стоящие под знаком квадрата, не раскрывая скобок. Пупов например, исходная задача яввяетсв задачей на вкстремум фуикцнонелз ох /[р) = / (й[х)[р'+ Л(х)р)з ч р[х)рх) дх,.

р > О о 111. Улу'рпреняе схслнмостя еаряавноппых ретолов в пгрмуляреои срр ею 485 Иптегрюр от первого слагаемого приближаем ныражением ь ~,й(ит И ) (" '" '+Л(л,.„з)У'+УР ') Ь,„ Ьзрр р=-р от второго так же, как в (18). Йс проведенные выше расгуждения гктвются в гиле, и поэтому ахртврпствующарр матрица А вготрицательва. ясли раскрыть скобки в (и' -~- Л(х)у)з, а потом аппрокснлрировать вите- грал. то люжет случиться, что условие А > О прв крупных шагах будет нарушгво. 11з после1рних рассуждений следует заключение, кото1хх особхр сущеспюионво в многомерволр случае.

111 и рлх.троюпор холе ррро-розиот~ррррр: лрснродогр пурпе.п рргрррургжсрррроции минимизируемого рлурркциорршра цсресрюбупзрро зависеть 111уррпцрррвррпр е оидс сумми интегзплое от хеафптсе рмяоторлрх еиухрзкеррррй и,риррсгоеой земли и епп1рррясимррурооагррр зти еьррихгершл, ие раскрывал гьобох. б. Случай невариацноиной задачи. Дерр неварнацнопных задач разногтпые схемы ьюжно получать, аппроксвмируя интегральное тождество, из которого определяется решение.

Применим этот способ к рассматриваемой нами вариационной задаче. Будем аппроксими1ювать интегральное тождество гл л(У, ф) = 1 (1р~р'ч-дрф — (ф)дх=б с дпЯ лРобой фУнкцин ф бцгз (О, Х). Имеем У вЂ” У-р ф — Ф-р Л(у,ф) жЛь(уь, Фь) ='ЕК(х,,) ур ур' ' 'р уй рьхр р+ 11хр., Лхр р Ф + ~-,((р( )у — Л ))фр 1- (р( р — )у,- — У(х,— ))Фр-р)Лтр — = О р=л 11олапш 4е = уп = О н собирая кож)рфициенты при одних и тех же йр, получим и-р Ль(ую фь) =- ~,Л,Лррз, Ф, = О, р=р рде лрур опредрлено формулой (18). Выражение Ль(уш рдь) равно нулро лля пробой сеточной функции р)р, жли асс арус —— О.

1!олученная система уравнений совпадает с системой уравнений (19). Глава 9. Численные мегсды решения краевых зада ~ 48б В 11. Ъ'лучшение сходимости вариационных методов в нерегулярном случае Погрешность итерационных методов существенно зависит от точности, с которой можно приблизить решение функциями из пространства, в котором ищется решение. Рассмотрим некоторые задачи, в «ошрлях при испалмзавании варнационных лннапов нмснг смысл несколько усложнить построение системы базисных функций. 1. В случае разрывного коэс)лфнцпенга й(х) производная и' лнкже рмрывна, понтону решенно плохо приближается кусочно-линейлиылллл функциями.

В то же время выраженно йа' является двффероллцпруелив функцией. Поэтому для достижения балеа высокой шчности цшятообраз. но искать приближение в видо функции, когарая па каждом из отрезков (х н хе) является решением уравнения йр' =- савве или, лттл тп жо самое, (~/] = О. В этом случае палучаелся вариацианно-разно<"гная схема, ! имшащан в сеточной норме Й/э„порядок схсдимости 0(йз) даже пра 1 измерпллых функциях й(х), р(х), у(х). Под нарыой Йгль пониммм выражоние ))лллй)- ~ = ~ул( ' ), не = лги =О, б являлшцсеся сеточным аналогам нормы пространства Йгт. 2.

Иногда оказывапгслл, что ренлешле иллан особенность в конечном чилше тачек, а вдали от иих является гладким. Например, относительно решения иногда можно уопшовнть, чтт~ оно иманг вид р(з:) = ~ Сгр (х) -~- а(х), лле уул(х] нзвосплые функцни, а н(г) — неизвестная гладкая фупкглия. Если нскочорлле иа коэффицненчин С, например Сгч л,..., Сн известны, то индует перейти к новой нонзвесгпай функции р" = р — ~ Слф (х).

г=в-«1 Далее рксматриваем случай — все С неизвестны. Приближение дшл гладкой части ищем в виде И и(х) = 2 счяе (х), с=о 11!. Улгчшонне гхолямости яаряапионяьж методов где рч (х) те же, что и в (10.9), т.о. решение ищется в виде у(х) = 2 С ф (х) -1-2 гчш~~(х) в.о с неизвестными козффнциеншми С, с;, и при допапвительном условии на вти козффициенты, имеющем вид у(0) = е, р(Х) = 6. (Здось для определенаосги мы пРинали, что г(ч,.... улн 1ое,..., сгл линейно ишависимы.) Функции Фг(х] в отличие от функций Фь обычно имеют носиттль, размеры которого по сгремятгл к нулю при умецыпении шага сетки.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее