Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Имеем Дь = (-1) ехР( — МпЦ1+О(М6))); слагаемое Дз ведет ссбЯ кшнь отвеяно иначе, чем решение дифференциального уравнения, и, что особенно существенно, оно еозрастомл по мофлю нрн М < О, е то время кок шочное реп~ение убиваем. Рассуждая так же, как выше, заключаем, что вычислительная погрешность может исказить репюние па величину порццка астр(-Мпб(1+ 0(М6))).
При М < О и большом значении )Мпб) зта величина может оклзатьс» недопустимо большой, особенно на фоне убывающего решения ем! Поскольку расматриваемый мшсд дает неудовлетворительный результат дли такой простейшей модельной задачи, его вряд ли можно рекомендовать зшя широкого употребления, тем более в стандартных программах чигленного интегрирования дифференциальных уравнений. Мы огбраковали второй метод на примере зцдачи, где М < О и величина дем~ ) недопустимо болыпая.
В последние сорок лет в приложениик часто стали встречаться задачи с резкими переходными процессами, где решение существенно меняется на маном промежутке времени. Типичной модельной задачей янляезся задача Каши для уравнения й = Мр, М < О, где величина )М)Х настолько велика, что число шагов порядка (М(Х является недопустныым. Если прн разумном числе Шагов по времени )М(6 » 1, то использование первой из рассматрива- Глава 8. Численные методы решевия звлачи Коши йвй емых разностных схем также может привести к неудовлетворительиьаг результа»ам. Для зтай схемы имсеы 1-8 МЬ/2 1 Е 2/(Мй) ( 4 )' 1 "' = 1 — М),)2 = — 1+ 2ДМЦ = 'ху'))М1 + ((МЦ») ~ ' Таким образом, реп»ение развостного уравнения имеет ввд Р = ( — 1)вгхР~( — +О ( г)) п~дс = = (-1)'схр((муз+о( г„з )) (»ы хс)~рю 2 8.
Оценка погрешности конечно-разностных методов Произведем оценку погрешности приближе»п»ых рспюиий, которые получаютси при использовании конечно-ревностных методов вцца (8.2), удг вльтворяющих условию и. Получаемые в процессе реальяых вычислений величилы р„, являющиеся приближениями к значениям у(х„), связаны на самом деле не соотношением (8.2), а соотношением ~ а,р,— ) 6,1(х„а у„,) = 6в, где 6„может быть отлична от нули (причины появления 6„уже были указаны в 8 4). С ДРУгой глаРоны, в 8 5, б Уа»вновлено, ч»а значениЯ У(хв) гочноп» решения дифференциальной задаю удовлспгоряют осот»сап»авива а в Яо гу(хв г) — б) 6,1'(хв „р(х„,)) =1»гл„ (2) и существенно отличаг.гся ат го"шаго решения дифференциальной задачи р(х„) = реем(в" *в), например, прв (М(бг гь 1 (решение разностнаго уравнения по ыодулю близко к 1, а решение дифференциал наго уравнения мало). В юшес»ве итош проводимого валле аналвша свойств первого магода можно заключить, ч»о агат метод применим для рсшешш довольно широкого круга зады».
В та же время сущее»вуют определенные типы задач, называемые хсесткимп (моделируемые случаем М < О, )М)Х очень вши»ко), в ко»орых к применению етого пагода нужно сонестясь с определенной осторожно»в»яо. Для решения»аких задач разработаны специальные мегоды (см. 8 9). 389 в 3. Оценка погрешности «онечно-ревностных методов при соответствуняцем подборе кснффициентов а, и Ь, оказьшалосгь что = 0(йм), где пл > О. Вычлпая (2) из (1), получим уравнения для погрешности Л„= р„— р(тя). На основании формулы Лагршока имеем равенство д (х„с, р„з) — ф(хя я, р(хя с)) = (,Л«п (2) где 1„-с = усс(х и р„з) и р„с лежит между р«, и р(з:,).
С у*югом (2) разность ссютношений (1) и (2) запишетте в виде ,Л„, — Ь~Ь..А«,Л, =.да, (4) =о =о где с1 = д„— Ьг Теорема (об сцепке погрешности). Лрспсь 1хыиосшная схема рдовлеспво- рясш рсловшо и и )Д) < Х при хо < х < хо + Х. Тоеда прп хо < з:ь < то -г К емпслклгслсв псуяегисгпао (Л„1< (То ) ~)Л,( )' Ы г1о<з<г (о) где с(Х, Х) < оо — иекоторал посглолгспал, заапсяпсая аш козффоцаепшов а и Ь, а от Б и Х. -а,-~-ЬЬ с(., д„ л ао — (лбо1 ' ее — Ьсбо( ' (б) Положим — а с+ ЬЬ,1„с с' — а,1 ао — ЬЬо( 1 ао ) Ь са(„—,ЬЬ (Ь, (+) — ЬЬ) (ао — вайо(в)ао ' (ас(з Введем в рассмотрение векторы Е„=. (Л,..., Л л<ы) Доказаглельсшео.
Для доказательства нам понадобится чапгный глуилй леммы из 2 3 гл. бс пусть нее собственные значения матрицы А лежат в круге ~Л~ < д н на границе крус« вст кратных корней; тогпв можно указать матрипу С закую, что )(Ц(, < 4, где В = С сАС. Для удобства оценки преобразуем уравнение (4) в одношаговое векторное уравнение. В дальнейшем длв определенности предполагвем 6 настолько мвлылс, что )ЬЬс1.( < (ао/2(, тогда козффициент ае — ЬЬе1ь при Л„ в (4) по модулю пе менее (ао/2).
Перопося в (4) все слагвемые, не содержллзде Л„, в пра«ую часть и деля на козффициент при Л, получим Равенство ййо Глава 8. '1нсяеннме методы решения задачи Коши Соотношение (6) равносилыю равенству Е„= АВ„з + бас„2„. 1 + тЪ', (7) где йн ао — 61й)„ О 0 ас-ь а ао О 0 0 0 0 1 О Дейссвительно, приравнивая первые компоненты векторов в правой и ле вой частях (7), мы получим равенство (6), а приравнивая остнльньш компаненты, получаем тсокдества )7я, = 77„н 1= 1,..., й — 1.
Вычистим характеристик.олий ьаюгочлен матрицы А: Р(Л) = Аео(А — ЛЮ) = 0 0 0 0 = с)ео 1 — Л 0 0 Длн этого умножим первый столбец на Л и прибавим ко второму, затем — второй на Л и прибавим к трезъему и т.д. В результате получим р,(л) р„(л) 1 0 0 1 „, ,(Л) рь(Л) О 0 Р(Л) = Лес 0 0 1 0 О 0 а-с — — Л ао а-т ао 0 аг- ь ао а ао 0 В 8. Оценка погрешноств конечно-разнастяых методов а, аз / аг де р~ (Л) = — — — Л, рв(Л) = — — + Л вЂ” — — Л), ..., рь(Л] ао ао )х ао — в -~- Л ( — 1 ь + Л ( — + ° + Л ( — — Л) ° ) ) .
Раскрывая ощ;сделнтель па послепдему столбцу, имеем Р(Л) = ( — 1)ьырв(Л) нли, что та же самос, ( — 1) Р(Л) = Л" + — 'Лв — 1 ж... + а — ь со 1 = — (ооЛь-~а,ЛЬ-г+... +,,) ао Характеристическое уравнение матрицы А оказалось пропорциональным характеристическому уравнсншо (74) разнасгной схемы. Согласно предположению а все корни характеристического уравнения мшрицы А нежат в круге (х( < 1 и на ерш~яде круга нет кратных. Паттону по отношению к матрице А углавне леммы выполнено со значением д = 1. Следователыю, существует матрица С такая, что С оАС = 11 н (~Ц(, < 1.
Произведем в уравнении (7) замену перемшпгых Ео = Сяо. После умно- женин слева на С ~ оно приведштя к виду (8) на=77 „, г41 „+ где С = С 'АС, а„=С 'К,С, и„= С 'Лцг„. В лгатрице )'„ненулевые элементы нвходятс» только в первой строке; понтону () (( (2~ 18, о(+ (,)н! ао ()шД, < ()С '(( )(Рд,Д =()С '() ( ( <2((С '(~ После оценки норм слагаемых в правой части (8) можно записать не- Золенспю (9) ((к„((, < 18)д„(+ (1+'718)((я -г((, где ((С '(( )7=2 ~, у=а((С '(( ((С(! (ао( для оценки )(в„(( через ()я,() н величины (д„( поступим следуоьцим образом.
Выпишем неравенства (9) при д = и,..., й. В правой Глана 8. Чпсленньк. методы решепкл задачи Коши 392 или, что то лсе самое. ((вь((,. <(У',У (19 Удй)л-1(дг(-У(1-У УМ) -""((в,,(( . (19) Упростим эту сцепку, одноврелгшшо несколько затрубив ее. При .ге < гг < х < ге -У Х имеем (и — 1)й < Х; понтону (1+'УЬК)а г < ехр(УЬУг(н — у)) < ехр(ТУХ). Теперь из (1О) получаем ((к„(( < схрфуАХ) )3) (д (+ ((кг г(( Справедливы псравенства (Ла( < ((Еа((„.
а ((С((, ((в ((,, ((кь г((~, <((С ~((ш((2а у((, =-((С ~((ш шах(й,(, 'е«л и позгому ((У (( < ((С(( . Р(УУХ) УУ'> (ду(+ ((С-'(( Р,,(( (19) Далее получаем оценку погрешности (Йп( < ехрИЕХ) Мг) (д,(+Ма гпах (Л,( е«.г где Мг =)У((С((,, Мг = ((С((, ((С У((, скщие только от коэффицнешов а Н частности, Мг и Мг зависят только ние теоремы доказано. и -у--некоторые постолгппле, зави- Ь г исконной разно<тной схемы. 1) ог коэффициентов а,. Утиержде- ПоДставлми в (12) значение д = о — Ьгг, полУчим искомУю оденку погрепгнссти части оценки ((к„((„., через ((к„1(( оценим ((в,(( через ((кь г((, ча тем в правой части получившегося неравенства оценим ((вч г((, через ((к — 3(( и г.д. В результате получим (('(( < Ф(д»( д (1 +УУК)(У)(д„.
(+ (1+ ли)(д(дя г(+... +(1+-~Уй)(д(дг(+(19уиг)Икь г(( )...)), з 6. Оценка погрешности коиечио-разиастиых маганов 1(з оценки (13) видно, что для схсдимости решения разностиого уравне- ния к решению дифференциального достаточно выполнения условий 2' ~ц -+ о, ь ~ ), ~ -+ о, гаах Щ -+ О. а«ь Оценка погрешности (13) ва многих шгучаях является существенно зазышенаой.
Например,,чля методов Адамса можно получить оценку погрешности, остающуюся ограниченной в случае,(» < -Ь < О при сколь ущцна оплывай длине промежутка, интегрировании в предположении, что погрешности округления Б и погрешности аппроксимации г разномерно ограничены: (б») < ф (»»( < г.
Замети»О что из оценки пирешпости для одношаговых методов (з 4) следует оценка погрешности меюда эйлера, являющегося частным случаем методов Адамса. В то же время нз (13) при таких предположениях нельзя получить равномерной ограниченности погрешности ивтегрирования. Для позучения более реального представления о величине погрел~»»ости полезно распшагзть иырзлсепием для глазного члена погрешности. Наметим путь получения атолла выражения.
При достата шо глалков функции 1(х, р) согласно (6.6) справедливо равенства гп = Е»амй'"р '"+ (хь) + а(Ь ). ь Поскольку Ь, Ь; = 1, то зто выражение можно переписать в более удаб=с пом для вас виде Ь- Епьмр" (»' ) 4 ~»(Ь ). ,=с Предположим, чта вычислительная погрешность мала по сравнению погрешностью шп»раксимации, точнее, п1ах ~4 ~ = б = а(Ь»ы'). При выполнении угловвй теоремы аб оценке погрешности решение Разностной задачи сходится к решению дифференциальной, поэтому справецливо равенство 1„= (з(хш ра) = Ях„, р(та)) + а(1). С учетом выписагшых аыше соотношений равенство (4) мальва переписать в ниде ша *=с — Е,„+ р(ш+г)(х„)) = а(П. Таким образом, сеточная функция за = Л„/Ь'" приближ<шна удовлетворяет сеточному уравнению Ьфг ) = О, которое получается при аппроксимации уравнения з' — (уз(х, р(х))» — Е шр1ш+'1(х)) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
