Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Численные методы решения задачи Коши Примеры. При Ь =- 2 обпйп решение системы уравнений Е'„= . с 4 Ее=О имеет видав=.с,а г=О,аз= — гзбе=Ьг=-,Ьг=пг. 3 3" Из условна (8) получаом с = 1/2; расчетная схема нмгег внд ", "=-('чУ„+ту.,+чу.,) =О. Заметим, что выше ага схема была получена нз форьгулгз Симпсона.
Ес чи потребовать выполнения равенств Ье = Ее =. Е1 =- Ез = Ез = О, то получиьг схему ре+4р„г — Ьрэ з г2 1 6)г 61 (.ЗУн ' + ГУ ) О' (.3 "- з~ ) (9) Очыетггьг гсчедуюпгее гбстоязельсгио. Гслн равенства -.р(ян-,) Ь, *=е (10) ~(а Р(зе» =У-( ;~(зй , Р(.'„ г» .-е выполнянпся с то шонтык до членов порядка 0(Ьэ'), то вели пша г„, равная разности ггогрегпностесг этих соотнопшний, пыопг порядок О(Ь ) н, следовательно, согласно (3) Ее = . - = Ем = О. ()днако для выполнения условия гз = 0(1г ) пе обязазнеьно требовать, чтобы погрешности приближенных соотношений (10), (11) имели порядок О(1г™).
Например, дла послеДней схемы гэ = О(1гз), в то в1хгма как погРешностн соотношений (10) порядка 0(Ь). Кроме построенных выше меэжов тнла Рувш--Кугпг и конг чно-ршностных ммпдов следует отметгггь группу мшодов, где прн нахозкденээ кахгдого ново- пз значения р„нспопьзуепя несколько эредшеггвугощях зна'гений р„„как е конечно-разнсслных методах, но в чо жс время на каждом гвже пронзвсдння негнслько вычислений правой чгхтгг, как е мегспах Ругпч — Кутга. Пример метода этой группы: Ь р„,д =- р„з + — (ОЕ,, + зу„.
з), 8 1 Ь р„' =- — (28р, — 23р„з) е — (327„ггз — 60~ ~ — 28~„-з), 1 Ь р„=- — (32р„г — р„з) -~- — (641 ~д + 151„' -~- 121 -г — У„-з), 31 " " 93 погрешность на шахе порядка О(Ь~); здесь у„", = ~(з„е гз~ ). Езь г = 0 и выбирая решение с ~Ь вЂ”, .= 1, получаелг схему (26 — 1)нп порядка аппроксимадии. ззз г 7. Исслеповакие свойств конечна-разнаствых методов З 7. Исследование свойств конечно-разностных методов на модельных задачах );а,1ы,— й,') б,((яа „ул <) =-б =а при начальных данных ра,..., рь, с<ютвстгтвенеа. На основании фор- мулы Лагранжа иыеем г) здесь 1 = Ях, Вм), Зм лежит к<ежду р„', п рг, с Вьгггем из соотношения (1) при э = 2 га же соотношение при э =.
1. Получим уравнение относительно разности с, < ) (а, — б6,1я <)с„, = О. =э (2) Оказывается, что довольно существенную информацию о поведении погрешности можно получить, рассматривая простейшее дифференциаль- После кап«."руировэния новою метода решения задачи, например метода решения дифференциальных уравнений, целесообразно, прежде чем писать программу, посмотреть, как будет работать зтю метод на простейших модельных задачах, где точное и приближенное решения эх<- числя<озся в явном виде.
Если для такой зю<ачи ь<нгод даат неудовл<. творительный результат, ю аг применение этою метода, скорее вата. стоит отказаться. Часта первоначально конагруируегтя нс агап< метод, а некоторое семейство методов, завися<них ш одною нля нескольких параметров. Изучение модельного примера ьюжет позволить сравнить эти методы и выбрать оптимальные значения параметрос. На примере решаемой в явном виде зада<и можно понять рсальпу<о <итуацию, возникающую при реализации метода.
Такой вша<од чаем< более прещючтиж<лен, чем подробное теоретическое исследование, поскольку дзег б<лп,шой вьпшрыш по времеви. Из формулы (6.4) можно находить зна <ение уя, если известны знши пия ря х, ...,у„<; поэтому, чтобы па<ать вычнслении, нужно знать р в к начальных точках ре,р<,..., рь <. Они могут быть найдены каким- либо образом заранее, например с помощью формулы Тейлора или методом Руяге — Кутта. Рассмотрим вопрос о тт, насколько влияют погрепшасчи э начальных данных разностной зада<и ра,у<,..., уг < на ее решевие. Пусзь у'„(з =- 1, 2) решения ревностной задан< 11шэа 8.
Численные методы решения задачи Коши 384 ное уравнение р' = О. В этом случае (2) превращается в уравнение с постоянными коэффициентами ь )' е — ге — с=О. (2) =а Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид в Рэ(д) = ~ л О ь-г = О. — е (4) Пусть д~ — л~аксил~альный по модугпо из корней это~о уравнения. По. скольку Ьэ = Ре(1), то условие Ье = О равносияьно тому, что д = 1 является корнем (4).
Псэтоыу )д~) > 1. Сеточная функция е„= сон»1 гг", »в»»ется решением уравнения (4). Пусть р~ вещественно. Рассмотрим ситуацию, когда с„= рз — уг = 6р~ +, (рл( > 1. Разность мсжэу зиачепияыи решений йэ и рэз в иа. чальных точках не превосходит 6, в то врем» как «), ~х/~-ьщ а<х экспонгнциально распт с росшлг числа шагов Ф = Х/а. Таким образом, в случае дг = шах )р,~ > 1 малые впгмущезшя на»аж ных данных могут приводить к кюастрофическоьгу возмущению реп~ения у>хе при не очень боньвюм числе шагов. Пусть 1О невеществегпю; сеточныо функции г„,~ = Не (6д" ,~~) и е„,з = 1ш (6д" ,+г) будут репзениями уран»сии» (3). Поскольку шах((х), )р)) > ):с -~-!11(/э/2, то 6 .( 4( .
(~.д) ~ > — (д (хса "" Таким образом, и в случае рг невещественного, (рг) > 1, решение уравнени» (1) можс.г сильно исказиться при малом возмущении начальных данных. Рассмотрим случай, когда все корни уравнении (4) не превосходит по модулю 1, но среди корней, по модулю равных 1, ыть р-кратный корень рн )д~) = 1, р > 1. Для простоты провсделг постросни» дл» случая рг г-1 вещественного. Сеточная функци» е„= 6д" ,— / соотаегпгву° -ьм / ~й-1) ет возмущению начальных данных рэ,..., рь г не более *гем на 6, в то время как в конце отрезка возмущение имеет порядок 6(Х/б)г г.
Такой пшпенной (по отнопгению к чнглу узлов) рост влияния возмущепи» начальных далиых иногда является допустимым. Однако на примере модельного уравнения р' = Мр можно показать, гго в случае р. кратного корня на границе един» пюго круга возмущение исходных данных сказывается более существенным образом. При /(х, и) = Мр всн Зйб О 7. Исследование свойст» конечно-разностных методов = М и уравнение (3) относительно с являеття линейным разпастныы уравнеияи!! г ) ( „— Мбу л) с.
! = О. *=о Саачготсгаующее характористичесгпо уравнение имеет вид ( -., — Мбб,) р» * = о. (О) Наложим ограничение ~ Ь гр,'-'~О. =о В щюгввном глучае ревностнее уравнение (1) запнсываепя е аиде ( ----. г-! ! — 1 ~с гу. ! — УЯО,Йхн ну. !))— ыо ыо /г-! ! †— В, ~~ с !ун !, — 1!) д Н(х„, г, у — г-!)) =О. * —.о =о Рассмотренне таких уравнений не прсастнляет интереса, носк!жаку решение боксе простого уравнения г-! Ес-у -* — Ь2т,'д-*г(х -*, у —.) =О также оказывается решением уравнения (5). Предположим также, что ао ф О.
Справедявва Теорема [без доказательства). 1. Если р > 2, пю среди корней уравнения (5) есть коренев удовлетворяющий неравенству )рг(МН)( > ехр(с)мй)ув~, с > О. 2. Если р = 2, то или при М > О, или прп М < О среди корней уравнении (б) ешпь жреигь удовлетворлющип не!оеенству )р (Мб)( > ехр(с)МА( )г~. Таким образом, при р > 2 или уравнению у' = +(М)у, или уравнению У = -)М(у саатветсчнует рост возмущели» репюния в ж ехр(с(ЛЩНЯ вЂ” ) = гхр(с(м(~гЯХ/! !' ! ~ раз. Ь Глава 8. '1ислениые меголы решения задачи Коши 388 Возмущение решения растет быстрее любой степени числа шагов; чикой рост возмущения уже при небольшом числе псагов также является недопусппеым.
В связи со сказанным практически пригоцныьссс люгут оказываться лишь схемьс, уцовлечворяюссще сгсевусоссегму условию ас все казню хаупк. спсристичеекого уравнения (4) яехсат в единичном кррге и нв границе едв. пичного круга нет кротныт корней. Можно было бы пслумаглч чсо всг дело только в округлениях и ногрешноспсх исходных дассных: ышв бы их не было, то, может быть, ре. шенис конечно-разностной задави сходилось бы к репсенвсо дифференциальнойу На самоы деле для лсобой разностиой схемы, не удовлетворяющей условию а, можно погтроить пример двфференциального уравнения с бесконечно дис(лференцвруелсой правой чагсъю, для которого и при слтутствии округлений и погрешностей е исходных данных решешсе конечно-разностной задюси нг стремится к решевшо диффереяциальной при измслшении шшв.
На первый взгляд может показатьси целесообразным строить схемы с возлкокно большим порядком аппроксимации тл (Ес = . = Е,„= 0). Однако оказывается, что всг схемы с большим т не уловле*ворюат усло. вию а. Теорема (без доказательппса). В свучвяхс а) схема (6.4) явная, сл > Л; б) схема (б.д) неявная, Л нечетно, т > 8+ 1; в) скема (6.4) нсхвнав, й четко, т > йд-2, среди корней хорвкслеристичсхкого руавнения (4) имеется корень, по модулю бсмыаий 1. Далее будет показано, что прн некоторых допалнительпых условиях на пснрешнооги на сальных Ланвых расссоогной задачи и вычислиыльную погрешность при выполнении условия сг решение разнсх."агой задачи (1) сходите» к решеписо дифференцвалысой задачи. Будет приведено выражение главного члена погрешности, из которого пидна, что главный член ведет себя примерно одинаково дли всех разнсктпых схем одного и того же порядка точности, удовлетворяющих условисо а.
Однако взо не означает, чш па практике они являютгя примерно эквивалентными. Рассмотрим поведение решений двух разнскчных схем вто1юсо порццссл апщюксимациис р — р. с ((х, ро)+((х„„р„,) (6) 2Л () на примере модельного уравнения р' = Мр, М = гопвг. Разностные схемьс (6), (7) пораждагот конечно-разноствые уравнения рн(1 — МЛ(2) — р.,(14- МЦ2) = а, р„— 2МЛр„с — р„г = О. 387 1 у. Исследование свойств конечио-ревностных методов В первом случае решение уравнения для погрешности имеет вид /1+ Мй/2 1 — ее Зто решение растет при М > О. Это естественно, поскольку для дифференциальной залачи разность двух решений е(х) с различными начальными условиями записывается в виде е(х ) = ехр (М(хя — зо))с(ха) н также растет при М > О.
При М < О как с, так и с(хя) убывают. Решение второго уравнения имеет вид с~д, + свдс, где р~ и дз— корни характеристического уравнсни» дв — 2МАд — 1 = О, т.с. р~ з М6 х ьуГ+ (М6)з. Имееь~ д! = М6+ ~/Г+(М6)з = 1+ М6 й (М6)з 2 0((М6)з) = ехр(М6(! + О(М6))).
Здесь и далее мы пользуемся фор- Е мулой Тейлора и'1+ с = 1+ — + 0(гз). Отшода следует равенство р, 2 ехр(Мп6(1+0(М6) )). Таким обрезом, слшвсмое сгр! союгвсгствуст решению раэностного уравнения, ведущему себя юшествеино твк же, как решение дифференциального уравнения. Аналогичныы образом получаем Мз! 2 дт — М6 ьУ1+ Мг!П вЂ” 1+ Мй + 0((МА)з) 2 = — ехр( — М6(1+ 0(М6))).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
