Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 19
Текст из файла (страница 19)
называют мнопсчлевы д.(гс) = ссссдс(т), в котормх величины а псдбиршат из каких-либо дополнительных соображений, например см условия [[с]г[[ =- ВУ(дг; дс) =. 1. Си«гену ортогональных алемыпов, удовлетворяюсцих такоыу условспо, вазываксг оршоноомнроеанноа. Мы ужо имели дело с системой миогочленов *1ебышева Глава 3. Численное интегрирование 1О2 При записи в машине эти слагаемые д„тэ;1 смогут ирисбрыэи ебгюлвюнуга нощешнссп порндка (гбихг(2 '. следствием этого может быть погрешность значевия Т„(х) порядка (У (х)2 ', где О„(т) = )'(4шт/(.
Оценим гн1пу О (т). Из равевсгва 7'„((т(1) = 2 гыэ ((т(1)», где 1 — мнимая единица. следует оценка (Т. ((*(1)( < ~'( (и '( = О.( .). В то хге время, согласно (2.8.4), при действи«ельном т имеем ~(э( + ,/Г4 ( ( ) + ((х( - ,/1 4 (и(1)" Тэ((х(1) = 1'* Так «ак ((т(+,/З+(т(з) ((з( — Ф+(х(з) = -1 то с гоюда получаем ((*( + ,71 +(в(1)" - ((.( + ,ГГ (я(1) " О (х) > (Т ((х(1)( > Таким обгжэом, прн больших и в х ~ О при непосредстеенаом использовании Формулы (8) вычислительная погрешаосп может достигать значений порядка ((т(+ 1/1+(х(т) 2 '. Задача 1.
Доквзать равенство г э(я) = (Тэ((х(1)(. Мы опять сп1лкнулись здесь с явлением пропадгцгия значащих цифр в вычиглепинх1 (Те(к)( < 1, но при вычислении значения Тв(х) из (8) оно получается как сумма больших по модулю слагаемых переменного знака и поэтому прнобретает болыпую погрепщость. В то же время мгэкно поюзать, что при вычисэении по рекурреатной грорму- 1 ле (7) погрешность Т (х) имеет порядок шш~п, — ю ° 0(п2 1). Из иэло- ' /1: .'1 желного «ндпа важность получения рекуррентных соотношений типа (7), связывающих значения ортогональных многочлелов, сеатаеттчвугощих и другим весовым функциям р(т). 1ОЗ 14.
Ортоганальаые многочлены СпРаведлива Геореыа (без докгзатгльстна). Ортогопальпые многочлены ф»(л) =х»+2 Ьзх' сел»апы соогпиошепилми 4»э»(х) = (х+»)ф»(г') — О».ф»-»(г:), (О) гдг )3» > О. При 9г(х) =- вместо (9) имеем ' (.) )1б»,.(хи Оа»б».+»(х) = (2л+О„)О„(х) — О„О.. »(х). Кгли атрюок (а, Ь) конечен, чо известно, что Ю„-г 1, ΄— г О при и — г оа. Приведем наиболее употребительные системы артагональнык многочленов, со- став»севу»ащие различным весовым функииям. 1. Мнагочлены Якоби. Для отрезка ( — 1, Ц и венной функции р(х) = П— х) П + х)г, а, Я > — 1, ортогонгльн» к~ сивому образу»от лспогочлгпм Якоби Р„о ' (х) = — П вЂ” )- П+:)-г —,(гП вЂ” )г+'*Пте)г ").
2пп! дх'* Идена место соотношения 2"+"г+»Г(а + п + 1)Г(б -~- и + 1) г 1,п1(а + )3 + 2п + 1)Г(а + )3+ и 3- 1) ) (а Х )3+ 2п)(а + )3.~- 2п + 1)(а + )3 3- 2п Ч- 2)хР1 г1(х) = = 2(п+ Ц(а+)3+и+ 1)(а-1-33+ 2п)Р1+л1(х) -~- 1 (33г а»иа + )3 -1. 2»г -1- 1)Р1 об(х) х -1. 2(а+а)(13+а)(а т)3+2п+ 2)Р1,"'г1(х); ПО) здесь à — - гамма-.функция Эйлера. Миан»члены Якоби удовлетворяют дифференциальному уравнению Гюг(Р1 г»(х)) =П- ф'г(х)) + + ((13 — а) — (а+ 33+ 2)х)(Рг," г1(х)) = — п(а+ 33+ и+ 1)Р1 г1(х). Иначе говоря, оии являютсн сабсмжнными функциями дифференциального оператора Ьюл.
!'лава 3. '1исленное ни югрнрование 104 2. Многочлены Лежандра. '!же аым случае«с многочленов Якоби при о = /) = О, т.е. при весовой функции р(з) = 1, являются мназочлснм Не:лсендро 1 з!" б„(х) = — „- — „(.' — !)Я 2аЫ г)зг' ((А ((.=. з/2/(2п + 1), с нормой удовлетворяющие рекурроатному азотиопюнию (и+ ЦЬ тз(з) — (2о+1)зу„,(х)+гзЬл о(х) =.О. 3. Многочлены гуебышена первого рода. При о = Д = — 1/2, р(з) = 1/Я вЂ” хз много славы Якоби после перенормировки превращаются в .мяозо- ыснм Чевъгшеюз пера то рода Тв(х). Н„(х) = (з!н((о+ 1) шссозх))/Я вЂ” зз =-Т„', (х)/(о-!-1), и = О, 1, с аормой (((г„(( = т/2. Рглуррсмтнос соотношение для лзногоччоноа чсбышева второго рода ~акое же, кзк для многочлепов «1сбьппева первого радо.
б. Млогочлены Эрынта. Прв (а, Ь) =. (-со, со) и р(х) = е ортогсзиальную систему образуют много оюнм Эрмнпш )(Н„)) = (,/2*' п(ггя, с норлюй удовлетворяющие рекуррентному соотношению Ньы(х) — 2хН„(х) «-2«зН„~(х) = О. Многочлены Эрмита удовлетворяил щзф«(зерезгзшальному уравнению Нл — 2хН„' = -2пНо. 6. Многочлены Лагерра. При (о, б) = (О, ос) и р(х) = з"е ", а > -1, ортогональную систему обрюуют ле ого шеям Лшгрги ь!"~(х) = ( — !) х '"е' — (т г е ') ом 4х« с нормой Ддя них справедливо реьурреитное соопюшение б! 1,(х) — (х — о - 2п — 1)Ь! !(з) Рп(о + п)бй ,(х) = О.
4. Многочлены «1ебьппева второго рода. При о = /! = — 1/2, р(х) = 41 — зр многочлены Якоби после переаорлшровки пргврыцаются в лзногочленм Чебьлиееа епюроза рода з 4. Орсагаивзьные мвогочлеиы Ыиогочлеиы Ласерра удовлетворяют дифференциазыюыу ураваению х (5[;1(х)) + (о+1- х] (Ь]Ю(х)) = -пЬ[Ю(х). 195 Рекуррентные ссютношении Лля конкретных ортагаиальаых ыногочлеиов, выписвсвазе в пп.
2 — 5, имглот иесшшька иной вид, челс (9), поскольку соотношение (9) выписано дзв артогоиальиых иногочлеиав, нормированных так, что их старший коэффициент ража 1. Отметим ряд свойств оргогоивльных мнссгочленов. Пусть Ра(х), Р„(х) — сиссема орчогональных мнагочленов на отрезке [а, Ь) вида в-с Р,с(х) =: "+ ~РЫлс. г=о Лемма. Каждый мнагочлен, Р„(х) пмееш ровно п розлпчных нулей на ош- крытом интервале (а, Ь). Доказатсльгтео. Предполспким, что Р„(х) имеет на (а, 6) юлька 1 < и нулей хс,..., хс нечетной кратнооги.
Тогда многочлен с ()П( л) 1=1 нг меняет знак на [а, Ь], псгтсиьсу н(х) П(х - з )р(х) " ~ 9 С другой стороны, втот интеграл равен нулю, поскольку Рн(х) ортоганален всем маогачленам меныпей степени. Получили противоречие. Задача 2. Пусть хсн1 « ° ° х1"1 — нули Рн(х). Тогда нули многочленов Р„с(х) и Р„(х) перемгжшотсл, т.е. . <4"'<з1н-О «..„'"-," <х(;1 <Ь Это свойство артогональных многочленон используется при составлении таблиц нулей ортогональных многочленов, являюгцихся узлами «вв.— дратур Гаусса.
Задача 3. Пусть вес являетсн четной функцией относительно середины отрезка [а, 6] и, для определенности, [а, 6] = [-1, 1], т.е. р(х) = р( — г). Доказать, что всг миогочлены Рз„(х) четные, многочлены Ет с(х) нечетные, т.е. Р1(х) = ( — 1)УР. [( — 1]гх) при всех и рекуррентное соотношение (9) имеет вид Руьг(х) — хУ1(х) + Рсесру-с(х) = 9. Глава 3. Численное иитогрировапие 1ОО При обработке результвюв наблюдений возникает задача приближеии» функций, мгланнгях иа 11ножестее точек х1,.... хм вещественной осв с помощьи7 л1иогочленав от переменной х.
Эта задача часъэ рев1ается с помощью ортстональных многочленов дискретной пере17енной. В теорви таких многочленов усганонлевы их свойства, аналогичные смзйствам оргогона7п,ных иногочлсвое непрермвной порел1енной; построены ююгретные аналоги для всех рассмотренных выше типов ортогоиальных мвогочленов непрерывной переменной. Отгяетим олно важное свойство распределения нулей артпгоиальных многочленов. Пусть [о, 6] = ( — 1, 1], «ес р(з) почти всюду положнтелен на ( — 1, 1].
Обозначим через в. (хг, х1) число нулей' многочлена Р„(х), принадлежащих отрезку ]г1, хх]. Тогда справедливо соотношение (т1 тз) С(21 Таким образом, нули ортогсшвльных миогочленов независимо от «есовой функции р(з) распределены асимптотически одинаково, с плотностью 1)(х,/Г: хт). 25. Квадратурные формулы Гаусса из оценки (2.Ц слелует, чю пагрепшость квадратуры оценивается через погрешность приближения функции многочлонами. О7ункция приближается многочленами более высокой степени ~очнее, чем многочленамн гньчнжй СГЕПЕНИ: Ее(~') > Е1 Ц) > " Поэтому сечь основания обратить внимание на квадратуры, тошые для мноючленов по возможности более высокой степени.
Рассмотрим еле,пуюпачо оптимизационную задачу. Прп заданном числе узлов и паогронтг кввдрмуру гь Г(7') = / .7"(*) ( ) ( = Е.(() = ) Пьс(*1), 2 7=1 точную дли многочленов наиболее высокой степени. Такие квадратуры называют квш2рашгррамп Га~усса. мы видели 8 2), что ква,лратура (1) гпчиа для многочленов сюпени ш, если она точна ДлЯ всех фУнкЦий х", д = О. а. гл. СлеДоиатвльно, должны выполняться соотношения и р(я) 7(з — ) Пгхт = О д = О иг (2) 7=1 1ОУ 15.
Кваэратурные формулы Гаусса Получили систему из (т + 1)-го уравнения относительно неизвестных хг,..., х„, Р„..., .Р, где хг,..., х„. -неизвестные узлы, а Рг,..., Є— неизвестные коэффициенты квалратурной формулы (1). При ш < 2п — 1 число уравнений не превосходит числа неизвестных, поэтому можно ожидать, что алгебраическая система (2) имеет решение. Можно попытаться построить квадратурные формулы, соответствующие значению т = 2п — 1, репгая эту сне~ему, однако неясно, будут ли узлы квадратур, получаемые из (2), принадлежать отршку [а, Ь). В противном случае может оказатьси, что функция 1(з!) не определена в узлах интегрирования и употребление квадратуры невозможно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
