Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть узлы х, рэсно- ложеяы скммстрнчж~ относительно точки хе = О, т.е. х~ = —:г„, хэ = -х„ и т.д. Ешк п иечетво, я, = 2! Е 1, то то~да хмг = .гс — — О. Задача 1. Пусть А четно (в частншии, й люжиг бьгп, равно нулю и гогда речь идет сб интерполировании). Докззатгч чти тогда г.„=- сы г сз, и вообще с„ю ь =- сг: Докэзаттч что вснедсгвие гакого снайства симметрии формула (Ц автоматичеыги являетгл точной для любой нечетной функпии.
В частности, при и нечетном формула (1) будет точна для х", поэтому она точна и для любого многочлена степени и (поскольку для любого многочлена степени и — 1 она уже оказвлжь точной по построению). Вццачп 2. Пусть й нечетко. Доказать, что тогда с„= — сы с„-г сз, °, и вообще сэю л = — сю Если и нечетно, и = 21+ 1, то при й =1+1 имеем сьы = — сгю и, следовательно, с!ег = О. Доказать, что вследствие такого свойства силгметрии формула (1) автоматически является точной для любой четной функции. В частности, при п четном она будет точна для х и поэтому будет точна для любого многочлена степени и. относительно неизвестных г„.
Если т = и — 1, то число уравнений равно числу неизвестных. Определитель системы является определителем Вандермонда, поэгпму отличен от нуля. Таяны образом, всегда можно построить формулу численного дифференцирования с и узлами, точнуга для ьшогт~членов степенн л — 1. При гп =. и — 1 и определенном расположении узлов иногда оказывается, что равенство (2) выполнено и лля 1 =- и. как правила, это будет в случае, когда узлы расположены симметрично относительно ~очки хе.
тй Глава 2. Интерлоляцвя в число~нос двфферевцнрованве Таким образом, при симметричном относительно хе рм:положении узнов, Ь четном, и нечетном нлн Ь нечетном, и четном формула (1) оказываетсн точной для многочленов из единицу большей степени. Свойства симметрии формул численного дифференцирования используюпя для уменьшения числа уравнений, которые нужно ргхпить прн построении формулы Пусть требуется построить бюрьгулу численного дифференцирования Х (0) сг (( — Ь) + сзХ(0) + сзХ(Ь), точную для многочленов второй степени.
Система уравнений (2) в данном случае нлгсет вид 0 =- сг + сз + гз, 1 = сг(-Ь) + сз(Ь), 0 = с,( †»)в + сз(1 )', и, решая ее, получаем сг = -1Х(2Ь), гз = О, сз = 1Х(2»). Поспшноуеьггл свойством гммьгетрии и сразу возьмше формулу, для которой сз = -см сз = О. Тогда первое и третьо уравнения выполнены автоматически, а второе приобретает вид 1 = 2сз», се.
сз = 1/(26). Таким образом, Х'(О)— (Х(Ь) — Х(-Ь])Х(2»). Задача 3. П1тшь все точки х удалены от точки хе на расстояние О(»), Ь вЂ” малая величала. Поюгзать, что нри гладкой Х(х) приближенная формула численного днффореггцировапия (1) илгеет порядок погрешности О(»м), где ги = 1-~- 1 — Ь, 1- л~аксииальгьзя шопена многочленов, для которым точна зта формула.
Построим приближенную 4юрлгулу вычисления второй производной, использующую те же узлы: АХ( Ь) + огХ(0) -~- сзХ(Ь) /Р Из условий точности формулы для 1, х, хз получаем систему уравнений 0 = с! .1- сз -~- сз, с~( †) + цз(Ь) 1Р ь' ь* 2 2 сг — ', +оз— »2 Решая зту систему, получим с~ = сз = 1, гн = -2 и соответствующую прнбяикгшпг1 ю формулу Х(Ь) — 2Х(О) + Х( Ь) 1Р ) 15. Численное дифференцирование Мы можем ве сомневаться в тоая ччо пояучияи пржсшьную формулу.
Выражение в правой части еогь Д-,'/Ья = 212| с/Ья, и, согласно (10.4), оно равно значению У" (6). У мнагочяеиа второй степени вторая п!юизводная постоянна, понгомг Уо/Ь = Ун(6) = Ун(х) пин любом Я, в чвствости Уо/Ье = УЯ(О). Построенная формула оказываетсв точной для любого ьиногочлена третьой степени. Если подсгввим в леву!а и правую части (3] функцию у(х) = хз, то в обеих частях получим нуль. ()ценим погрсшпостс, построенной выше првближенной формулы У'(0) ж (У(Ь) — У(-Ь))/(2Ь).
В формуле Тейлора возымев! три члена разложения и остаточный член /В /3 У(Ь)=У(О)+ЬУ'(О)+'— 'УЯ(О)+ — "Уж~,), О<(,<Ь, 2 6 /гх /2 У( !') =У(0) — "У(0)+ — Ун(0) — — УЯ'(6 ), — / <б <О. 6 Введем обозначение йь(у) = у(!)(:св) — у сяу(х,). Имееьг г=! В (У) = У (о) - У(") '( "'- 2Ь = у'(о) — (у(о) ф ьу'(о) + — "уя(о) + — 'ум(б„)— 2 6 — (У(о) — /сУ'(0) + — "Ув(0) — -пУм(6 ))1 /(2Ь) 2 (,,в!„" /г я.! ° г'!с-!)) 6 с 2 Уы(бе) + УыЫ-) = — — о, 6 ' 2 Значевие о лежит мшкду Ув(/т) н УЯ(б ). Поатоыу по теореме Ролля найцотся б в пределах ((, Я такое, что о = ум(6). Такиьг образом, в Ичнсв ИМЕЕМ /2 В (У) = — Ун((), — 6 <4<".
6 Рассмотрим приближенную формулу (3). Предположим спасала, что нам неизвестно, точна ли она для любого многочлена третьей степени. Беря в разложении Тейлора три члена У(фЬ) = У(0) ф ЬУ'(О) -1- — У" (0) ф — УмЯ+) Глава 2. Интерполяция н численное дийи] «рекпирование ВО получим Л,(У) = Уь(О) — ~( ] ~( ] ~( ] = Ул(О)— 62 — ~((0] + Ц'(О) + — Уе(0] + — Тю(44) — 2Х(0) + Х(0) — 6~'(О)+ 2 О ,г з + — 1 (О) — — ( (4 )" 6 --(1 (б,]-У (б )). 6 Если 1(х) — ьпюгочлен третьей степени, то (л'(х) =- сола!, поэтому Лг(Г) =: О. Таким образом, из выражоння для погрешности мы увидени, что формула (3) точна для всех многочленов третьей степени.
По теореме Лагрангка ~т (4 (б 4 ) (14) (4] 1,г Л,щ =-0-'„'г100Я, о < О <1. Если в разложении Тейлора взять чепгре слагаемых .((46) = ДО) 4 6~'(О) + — !'л(0) ~ — ~м(О) !. — ! 1" (4+) 2 б 24 то получим ныражсние для погрепгносги ],г ( У]41(4 ) + У!4)(4 )~ 12! 2 Ршсуждая, как и при выводе оценки погрешности для первой производной, и!леем В,В = — — ~1 1И, -6 < б 62 4 12 Приведем рдд форьлув численного дифференцирования функций, заданных на сетке с постоянным шаши х = хе+ п6! ~'( )ш6-'~ — ''. Х,'„,Лт=—' ,, ],Х1"""а6 ! г=! ! 1 .('(.) =! '3 т~',„, Л И = — п„~1"е'а6" г=! (4) Это так называемые односторонние формулы численного дифферющирования. В первой формуле (4) все узлы удовлетворяют условию хь л хе, 4 б [4, 44]. В то же время б! б [О, 6[, 4 б [ — 6, 0), откуда следует 0 < 4+ — ( < 26.
Таким образом, бь — ф = д ° 26, где 0 < д < 1, и 81 115. Численное дифференцирование ч то. Среди таких фюрмул наиболее употребительяы сле- во второй хь дующие: (!12 .((' !) —.((хс) Л Л у, 1 1 1 2) 1(х2)+4.1(х1) 31(хс) 12 2 1 2Л п= 1 ~ — 1/2 Х(хе) Х(х — 1) У х. Л Л 1 1 1 2 1 ЗХ(хс) 41 (х — !) + 1 (х-2) 2Л п=1 г=з 1)1 ((2) (2) " (( 2)) 14иш)(т)Ли (21 + 1)! Наиболее употребнтельны следуюпн!е частные случаи: , ( 11 ) Луг У(х!) — Х(хо) 2,/ Л Л (уже рассмотренный нами аы1ле в других обснначениях); Л) 1( ! 1 ., '( -У(2Л)+21((Л)-221(б)+((-Л) 2/ Л 1, 1'2 24 !12! 24Л Формулы для «торой производной записыешотся в ниде ~а( ) Л-г ~ 2( 1) ((у 1)') 21 (21)' остаточный член Ф1ьг)(ьс)Ли (21 -!- 2)! Такие приближения производных чаше используют!я нрн 1юшезшн диф- ференциальных уравнений для ышроксимации граничных условий. При- ЯЕДЕМ ПРИМЕРЫ СИЫМЕ2РИ*!НЫХ ФОРМУЛ: Глава 2. Интерполяция и численное дифференцирование 82 Наиболее употребительны частные случаи: ,(о Пй) — 2У(0) + И вЂ” й) у (яо)= — а= 122 82 У(-е)- —,~У вЂ” — У~~= в 1 2 1 4 122 ( о 12 а) = — ((212) Ч- 15 У(й) — 50У(0) + 15 У( — 5) — У(-21 ) 1=2 1282 К.
= у " (и ) — — и. = (" ((5) — ) (б,ь .) =О(6). Наиболее употребительные часппос случаи: односторонние формулы численного дифференцирования (г Х(о)(0) 2з зо Ю2 йь =йо ""уо -ь 2 1)о)(0) '~ уа -Ю бь ),ь име2спцие погрешность порядка 0(й), и симметричные формулы числен- нага дифференцирования.
При й четном ()ь'(0) = (оь/)о, при й нечетном »ь 1 сь У" (О) — У У 2йо Зги формувы имеют погрешность О(82). При й = 1, 2 такими формулами как раз вввяются формулы, приведенные выше. При выяаде формул шслспнаго,чифферопцироввпия из орвбвижеиного равенства Уы'(во) = А'21(во) оценку погрешности закже можно получить, дифферешопрув остаточный член о (5.П: УМ'(*.) =5) 1(в.)+(У(*;*; в„) .(*))Ы'~ Двя получения конкретной оценки надо паспшп зоааться правилам Лейбница п доажать равенство (1(в; »;".; ))Рй = О12(л,"; '; ' б"; ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
