Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Для вычисления значения /(х) при помощи дакой таблицы берутся УЗЛЫ Хд И Хддд СПРана И Слеза От ТОЧКИ Х1 Хд < Х < Хды (ОНИ бУДУт ближайшими к х); затем /(х) заменяется интерполяциопным мпогочленом псРвой степени по этим Узлам (ДлЯ УДобства обозна гаем х = хд-1-1Б)1 Глава 2. Ик юраоляпна н численное дифференцкроаааие Т2 Погрешность этой формулы /сс(0) Ьг ~(' 1) 2 где .;,<С«хе, . Эса величина нс превосходит е. если [1(1 — Ц спэх [/ (ь)[ Ь сссэх ) ( < е; (аз) ~ 2 снах -(- — ~ дсх."гигается при С = 1/2 и равен 1/8. Таким абрасоьс, достаточно выполнения условия нжх [/э(0) [ Ьг/8 «с. (1) Пусть мы хотим составить или ввести в машину таблицу мп х на [О, я/2) шк, чтобы погроппюсгь линейной интерполяции не превосходила 0,8 10 ".
Поскольку пъсх[(эш:с]э[ < 1, та из (1) вытекает требование на спаг шблицы 1сг/8 < 0,8 10 э вли Ь < 0,002. Часто требование допуспимснти линейной исперпаляцин является слишком жестким н вместо иггю требуют допустимой кеадрспш аюо аншсрполяцеи (т.е. интерполяции миогочлепам второй степени). Прастайпсим случаем квадратичной интерполяции будет исггерполяцня многачленом Лагранжа по трем узлам. Пусть х„-. увел, ближайший к х, чсе.
[х — хе[ < Ь/2. Иьсегм г 1(2 - 1 ) /(х) =Ьз(х) =/,т/,'„,,зт/г (2) Остаточный член этой формулы У(х) — Ьз(х) = /1з)(6)Ь з 1(г'- 1) Чтобьс таблица допускала квадратичную интерполяцию (2), достагссчссо выполнения усгчовия свах~/1~1(0)(Ьз псах ) — '' ( < с. (1(йг (с)йсгг ~ 6 [1(1 — Ц ( 1 Так как снах ~ ~ = —, то это требование на шаг псрепишесся (6<г/з ~ 6 ~ 16' в виде гпах[/11(0)~Ь /16 < с.
(3) В конкретном случае при /(х) =- эшх, е = 0,6 - 10 э получаем Ь < 0,02. 1 12. Составление таблиц 1 васс~отри»с друго»1 сссасаб зас'сены с()ункюсн миогачленом второй пени. Пусть х б (хд, хд.»л), х = хд+ «л«; наложим л г «(! 1) /(х) = Бг(х) = Р/дш«г+/д«л«г(«1/2) + Р/д+л«г 2 (4) т.е. заменим /(х) лсиогочлеиаьс Бесселя второй степени (П.б), выписанным по узлам хд л, хд, хд«н хд-»с Согласно (11.7) остаточный шен (4) с сть «)~ з с(« — 1)(« — 1/2) (4> 4 «(« — 1)(« — 2) Так как //«с«г — — 6~/П>((), то двя допустимости интерполяпии по фор- муле (4) достаточно выполнения соотношения («(«г — ц(« — 2) + плах (/1 >(с)(!л шах — ) ( с. о<с<с ! 24 Поскольку )«(« — 1)(« — 1/2)! 1 )С(«г — 1)(С вЂ” 2)( 3 о<с<с ) 6 ( 724/3' а<с<с ( 24 ( 128' то иншрполя~ия цо фоРмуле (4) допустима, если шах )/«з>(«)( «лз 3 лцах )/(4>(«) ( 72»/3 128 (б) При малых 6 главной частью является первое слшвемое; ано меньше, чем левая часть (3), в 9ъ«3/2 = 7,794...
Раз. Следовательно, при малых 6 для выполнимости (5) можно взять шаг в м ~)/9~Л/2 ш 1,98 раз больше, чем для выполнимости (3). В рассматриваемом примере условна (б) имеет вид «сз/72Л+ 364/128 < 05 10 — е Решаа зто неРавенство, полУчим 6 < «ло = 0,038... Заметим, что пРи Ручном счете шаг 6 = 0,038 неудобен вследствие «некруглосги» етого числа.
Поэтому при составлении таблиц его заменили бы заведома на меньшее, но «более круглое» числа 0,03. В многомерном случае иногда целесхюбрвзно дальнейшее увеличение степени используемого ингерпсляциониого многочлена. Глава 2. Интерпсляпия и численное дифференпнроееиие 2 13. О погрешности округления при интерполяции Предположим, чта выбран некоторый способ интерполяции. Выше мы получили некоторое представление а погрешности, явля1ощейси следствием замены функции многочленом. Однако существует ещг одна причина погрешности, в частности вснедствие округления этих значений.
Пусть требуетсе вычислить значение 1(х) по фармуне являющейся общим видам рассматриваемых наь1и интерполяшюнных формул. Поскольку реально заданы не 11, а приближенные значения 11' = 11 + 1]1, то в результате будет получено значение 11" (х) = ~ Д)Р1 (т) + ~ рэ Р1 (х). 1=1 1 =! Если эывестны границьг изменении значений 1]1, то маэкна оцешэть верхвюю грань погрешгюсти е = ~ 1] Р (х). 1=1 наприлюр, при условии (1]1) < й имеем оценку И < йЛ(х), Л(х) = Е(Р1(хП Величина Л ьиоэкет оказаться очень большой.
2 — 1 Задача 1. Пусть 1(х) интарпалируется па узлам х =. — 1-]-2- и — 1 2е 1,..., и. Показать, что п1ах Л(з1) > сопзс. —. ] — 1, 1] «]П1 Задача 2. Доказать, что если узлы интерполяции совпадают с нулями многочлена «1ебып1ева, то шах (Л(х)( < сапе] - ]по. ] — 1,)] Если мы вычисляем значение у(х) при хе ( х < х1 интерполяцией по узлам хе, х1, та х1 — х х — хе Ре(х) =, Р1(х) = Х« — ХЕ Х1 — ХЕ Н()Р]1(х)]+)Р1(х))) = 1]. С 14. Применения аппарата интерполирования. Обратна» интерполяция уб таким образом, при линейной интерполяции погрешность, являющаяся следствием округления значений функции, не превосходит погрешности этих зпюьений. Наличие большого чвсла формул инпрполироеания, применявшихся ео времена ручного счета, огчестьь объясняется именно понскамн ктгоритььое, порождающих мнннмэ.тьяуьо вычвслппмьвь ю погрешность.
В 14. Применения аппарата интерполирования. Обратная интерполяция упот1хблсние интерполнционных ыногочленов оказывается полезным при реьнении такой задачи. Пусть требуется найти экстремум функции и точку экстремума. Составим твблипу значений функции с крупныьи шагом. Из рассмотрения этой таблицы можно увидеть место расположения экстремума. В предполагаемой области расположения эксгремуьга приблизвьи функцию интерполяционныьг многочленом и найдем его гочку экстремума Р,. В окрм:тности точки Р, составим таблицу значений функции с более мелким шагом. Из рассмотрения этой таблицы можно уто шить расположение экстреыума и г.д. Степень интерполяциовного многочлена берется такой, чтобы точка экстремума определялась в явном виде. В одномерном случае берется ивтерполяциогшый многочлен Лагранжа илн Бесселя второй степени или интерпозяциовный многочлен третьей степени.
В многомерном случае, как правило, функция приближаетгя многочленоы второй степени. На практике, на.ьиная с окрестности приближения Р, или слгпующепз приближения Рз, уже не строят подробной таблицы значений функции, а ограничиваются минимальным числом точек в окрестности иьсеющегося прибвижения Р„, достаточным для построения внтерполяционвого многочлена. Списанный споссб являет(я одниьь из наиболее употребительных лри отыскании экстреьгума функции многих переменных.
В одномерном сзучае иногда после вычисления значения ((Р„'1 не вычисляют дополнительно никаких новых значений функции, а пршюдят интерполинию, используя это звьсьение и ранее вычисленные зв пения. Другой типичной задачей, где может быть применен аппарат интерполирования, является нахождение корня Х уравнения 1(х) = а Путь решения этой задачи тот же самый.
Составляем таблицу значений функции; определяем по ней грубо, где нахплится корень уравнения, затем составляем таблицу с более ыелким шагом и т.д. Если вычисление функции относительно нетрудоемко, неразумно применять в процессе вычислений интерполяцию степени вылив второй; в противном случае возникает задача нахождения корней ьииогочленов, сама требующая досгвточно большо~о чигла арифметических операций.
Глава 2. Интерполяция в числеввсе Лифферевцировавие Бслгг вычисление функции трудоеыко, можит оказаться более выгодным пойти по пути увеличеяяя степени ивторлоляционпого миогочлеяа. В случае, когда в окрестности р =- г1 фулкция д(р), обратная к 1'(х]. является достаточно гладкой, более эффективным может оказаться применение обратной интерполяции. Об1мшшей ивтерпеллцосй нэзывается следующий алвзритм. Пусть известны значения функции д, = 1(х,) при г = 1,..., и. Этв информация эквивалентна тому, что известны значения х„=- д(д,) обратной функции. При условии допустнмостн интерполяции по переменной д можно заменить обратную функцию д(у) интерлоляционныы многочлевом Ь„(р), удовлетворяющим уыювиям Ьв(д,) =- х„г =.
1,.... в, и положить Х = д(г1) = рв(о). Такой способ особенно удобен, если нас ииторесугот значения решений уршшений при достаточно бопьпюм числе значений й илв желательно пшгученш, явною выражевия корня уравнеяия 1(х) = й в зависимости от параыетра г1 Если интерп~вгяция ио уэлаы дм..., дв не обеспечивает нужной точности, иолагаом хегг = лв(г)) р ш = 1(хвег). Далее, в зависимости от обстановки, целесообразно заменить д(г1) значением интерпояяциониого многочлена по всем узлам дг,..., у ы или по некоторым из этих узлов, ближайшим к И,.
В 15. т1исленное дифФеренцирование Простейшие формулы ~ислеиг~ше егкз4ереи~звзюеавив получаялгя в результате дифференцирования инзвршшлционных формул. Пусть известны значения функции в точках хг,..., т,„и требуется вычислить производную ~дб(хс). Построим иитерполяпиовный многочлен Ьв(х) и положиь1 )з )[хе) = Угв (хо).
Точно так же мы можем заменять ь, ("ь) значения врокзводиых фувклий зваченияьии лроизводных других много- членов интерполяционного типа, например Бесселя. Другой способ построения формул числеяного дифференцирования, приводящей к зем же формулам, — это метод неопределенных коэффиниентов. Наиболее употребителен он в ыногол~ерном случае, когда не вгтгда вросто выписывается интерполяциониый многочлен.
Коэффивневты с; формулы численного дифференцирования 11~)(х) = 2 с,у(хг) .=1 выбираются гш условия, чтобы формула была точна для мнагочленов я.' максимально высокой степени. Возьмелз 1(х) = ~а хг и потребуем, чтой=.с 77 1 15. Численное лнфференцироэание бы для такого многочлгна соотгюшеиие (1) сбратнлссь в равенство о (ку)(! =~ г„~ ах! э=о *=г а Чтобы равенство выполнялось для лгобого многочлена степени ш, необ- ходимо н достаточно, чтобы коэффициенты прп гб в правой и левой чвс гял были равны. Поскольку то получаем линейную систему уравнений у(у 1)- ° (у к+!)хэ( = Ес х", у = О» щ =1 (2) В приведенных виже задача: дкя простоты «эязо хе =- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
