Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Строится квв,вратурная формула 1 1" (х) г)х Я(1") = сг (( — 1) -~- сг)'(О) + сзз (1), — 1 точная двя многочленов наиболее высокой степени. Погрешность квцлратуры гг ВУ) = / У(х)йт — Я(Х) -1 Глава 3. Числе!и!сг вггшгрироваиие 88 ивляетгя линейным функционш!ом, и при /=) азх" имеем з=-с В(/) =2 а В(.") Таким образом, нужно добитьгл выполнения равенстн Н(1) = О,, 11(х') = О при возможнО большем значении 1. Получаем уравнепия Д(1) = 2 — (с! Р сз 4 сз) = О, Я(х) = Π— ( — с! + с!) = О, Л(хз) = — — (с! + сз) =.
О, 3 Л( л) = О - (с, +.:,) = О, Поскольку нужно определить 3 свобсднык параметра, то, вообще говоря, можно решить лишь первые три уравнения, из которых получаем с! = сз = 1/3, сз = 4/3. В даннаы конкретном случае чепгертсе уравнение выполнено автоматически и л!ы получаем квадратуру, точную для миогочленов третьей степени, называемую формулой Спз!ш!а!еь В!об!лг говоря, треб!ется вычисляп* интегралы ве па атрп!ку ( — 1, 1), а ло произвольным отрезкам (а, Ь). Переход к а!резку [-1, 1] удабев тси, чю для пего арифмети !вские выкладки, выполняемые при построении квадратуры, окшываются короче. Иногда оказывается, что псдынтегральная функция каргино приближается не многочленами, а так называемыми обобщенными лгнагочленами, т.е. линейными комбинациями вида ~1!!яр!(х), где ру(х) — какие-то кон,г — -е кретные линейно независимые функции.
Тогда ыегодом неопределенных козффициептпв строится квадратура, точная для функций такого вида. Наиболее часто такие квадратуры использукптя в случае, когда /(х) королю приближается функциями, предсгавленпыми в виде произведения некоторой фиксиронанной фу!псции р(х) на ! погочлен, т.е. функциями вида 2 агр(х)х!. з=о ай Э 2. Оценки погрешности квадратуры В этом случае функцию р(х) пазывакгг весом или овсовой фуикйпся, по латают Р(х) = Х(т)Хр(т) и исходный шггеграл записывают в виде 'Р(к)р(л), т. (2) Ввлача пострсепня квадратуры Х(я)фг=~ стХ(ху), Г в э=1 точной для всех функций вида р(х)Рк,(т:), где Р,„(г)-.
мнагочлен ещиенп ,и, заменяется задачей построения квадратуры Р(я)р(х) бх = ) С Р(х.), ~:.. 3 тошой длв всех многочленов степени ш. В с гучае, когда вса р(хэ) отличны от нуля и бесконечности, этн задачи эквивалентны. В дальнейшем подьштегральвуто функциго в таких интегралах бутшл~ обозначать а. Х(а)р(х).
Перейдем к оценке оогрешносп1 квадрагурных формул. 2 2. Оценки погрешности квадратуры Пусть вьгчгиляепэ1 игггеграл (П2). Вски квадратура точна эшя много- членов Р (х) сшпени пг, то В(Рэ) = Х(Рм) — ЯР„,) =- О, поэтому р )+В(Р,) =В(,Х Х) ) при любом многочленс хк,(х) степени ги. Оценивая в л(2) кахогое слагаемое, получим оценку )В(р)(< ) (2(ь)(( (х)) ф +2,Кэ((2(ту)(< Рв р Ь(.)(, э р=~ )р( )~ Йх+ЯЫ. э=3 Пгвтому )22(Х)) < )В(Х вЂ” Р„,)! < г))Х вЂ” Р, ))с при любом Р— многочлеве степени га; здесь ))Х вЂ” Р ))с = япр)Х(х) — Р,(с)).
й,ь1 Глава 3. Численное интегрирование 90 Взяв в правой части нижнюю грань по всем многочленам степени нц получим оценку (11У)) < 1'Е (Х) Ев,(1) = )пу((1' — Ри ((с'. 1(Ц = / р(.)бв=б(1) =~Се. т=г При р(т) > О и С > О имеем гг (С„(=-~ С:= / р(х)гГт, т=! г=1 (2) поэтому )г = 2/ р(х) гЬь Обрэхцаясь к (1), получим оценки (В(~)( < 2 ~Д р(х) гГт) В„Я < 2 (/ р(х) г1х) ((У вЂ” Р„,)(с, где Рв, —.любой лшогочлеп степени нс Если в качыпве Г;„взят интерпо- ляциоиный многочлен по пулем многочлепа Чебышева, то на основании (2.9.3) имеем В конкретгюм случае для вега р(т) = 1 и формул прямоугольников, трапеций, Симпсона, где все С > О, имееы )г = 2(б — и) и (Л(ун ('- )""' ((У1- (( 2зы(т + 1)! В частных случаях, например для формул прямоугольников и трапеций, где ш = 1, отсюда имеем п)з (В(,Г)) < — )).( ()сь для формулы Симпсона, где ш = 3, имеем 1339 Построенные выше прогтейшие квалратурные формулы и рвд болев сложных квадратур удовлетворшот условию С.
> О, если р(х) > О; в рассмотренных нами примерах р(х) = 1. Усповие, .гго квадратура точна для многочлена нулевой степени, т.с. для функции ( = 1, имеет вид РТ ) у Оценки погрешности квадратуры Эти оценки одинаковы длв всех квадратур, точных;эвя мпогочвенов „дивой-то определеэгээой степени, паприлшр для формул тршгеций и прямоугольников.
Можно получить и более точные оценки погреппюпги этих квадратур. Опэппем универсальный способ полз"эспня наиболее то шых оцшюк. В «ачесчве Р„, (э;) ваэьмеч сумму первых ш + 1 чванов разложения функции у (х) по формуле Теалара в какай либо точке хе отрезка (а, 6]. Дээя определенности вгиьмем хс = а и рассыатриаг глучаб, когда во:г, Е (а, 6(. Пусть Рп,(х) — такаи сумма, г„.(э) — ее остаточный член: Х(э') = Р (х) тгж(э') 11меем равенство Л(1) = й(г,„(х)) = 1(э„,(:с)) — ) С г,„(х ). Остаточный член форлгулы Тейлора возьмем в игпегрэльной форме: г„,(э) = / — (~"'т 1(г) Нс.
1' (эс — 1)'" и! В двукратном интеграле г" у г*(х —. г)- 1(г„,(х)) =- ) р(т) ( / Э"(м~')(Г)г)Г) фг эи! сделаем интегрирование по с внешним, а оо х — внутренним. Получим 1(эм,(э)) = / К (Г)У( э'э(Г) Й, К (1) = ) р(эс) грхс (;г — г)"' уэ эээ( Таким образоы, получим гэ В(у) = ( К„,(1)(1 +г~(1)бу — ~ С,/ ( ' ) уг""г~(1)а.
т! э=э Положим х — Г ээрио<С<ээч (г, — 1)+ = 0 при остальных Г. Используя это обозначение, предсвэвим погрешность К(Я в виде К(У) = / О(Г)У<"ЫЫ)(1)а, д(С)=-К,„(Г) — )'О, '"', +. э=.э Глаяа 3. Чигленног интегри|юванне Отсюла следует оценка ~юг1нпалсстн )ДЛ ~ (~ ~Е И и) (~Х'м""~) Еглн 6)(1) ве лаеаяет знака нв от1хзке (а, 6), то па тео1нла' о среднел~ нэ (3) полу*жги (5) Далее для п1юслоты положим р(л) = 1.
Задача 1. Предположим, по в качегтве 1' (и) бератся сумлла (пл-~-1)-го члена разложения функции Дл) в ряд Тейлора относительно произвольной точки;са и а. Доквзатгв ччо представление погрешности (3) при этом пе изменится. Задача 2. Пусть точка а фиксирована, 1(глчо)(я:) непрерывна в чичко и.
Доказать, что при Ь -+ а, С:, = 0(6 — а) Е л ()(1) 31 = О ((6- а)аы'), г гл Д(у ) = ~ / л)(1) г(11' 1("ы 1(а) + а ((Ь вЂ” а) ы~ ), где Ьл(1) определено в (3). Рассмотрим для примера формулу трваеиня. Тогда (я — 1) ас = (6 - 1)т 2 (Ь вЂ” 1)л (Ь вЂ” а) ()(1) =-. — — (ь — 1) =- ( — 1Нь — ) к о; 2 2 пытствгпыя 6г(1) в (5), получим 6)(1) ай =— (6 — а)з !2 л.с.
(6 — а) ЛИ = — — — 1л(Д). 12 В случае формулы прямоугольников (ь — 1)л (а+ь 1 (1 — (а+6)/2) псдславляя 11(1) в (5), получим В(Х) = У" (Ьл). Ь2 Оценки по<решвости квадратуры Часто ва практике интересуются не оценкой погрешности (б), которая не поддашс» улучшени<о, а ве главным [при (б — о) — э 0] членом ,/~ 1(о) ~ б)[с) <гй г< Вози для некоторого ш оказалось, что соответствующий интеграл ь Я(1) пй равен нулю, то зто значит, что квадрвгура тоша дви многое членов степени ш+ 1.
В шом сзучас надо увеличить <и па 1 и провести аналогичные рассуждения для этого нового значения т. Для вычисления главного члена погрешво<"ги можно поступить <ледующим образом. Прсдспивим /'(х) в аиде суммы переых (и<-Р2)-х членов разложения Тейлора относительно некоторой точки ге Е [а,й) и осщточного члена; при этом, объедшив первые ш+ 1 гчагаемых в многочлгн сшпепи т, иолу <им /(х) = Т„'"(х) -~- — — [б"~ 1(хе) й гжчйх), (<и -~- 1)< гд< Ты(х) = ) /21(ае), г .<(з) = о [(х — хе) ь<) . (д — <со)' <ыо Вследствие линейности функционала погрешности имеем равенство /(*" '1( ) «(/) = г<(Т„' (х<)) -Р В((х — хэ)шч') -~- В[г,«(л)]. — — 'о Первое слагаемое обращается в нуль, твк как квадратура точна дли мпогочленов степени т.
Поскольку [П[г.„<(т))[ < Р[[г,.~~[[с =- о [(э — о)'"") (при условии, что р ~ оо), то «(ш '1(хе) В[[к „)" ') (т -~- 1)! является главным членом в<крепо<ости В(/). Для прост<усы выкладок при конкретном вычи<шении В [(х — хэ) ам) часто удобно произнжти замену переме<шых з; = (о й б)/2+ М, 6 = [6.- а)/2, я рассматривать реиложение в ряд Тейлора относитевьно точки С = О. Задача 3. Проверить, что (<а-ь 1)< В [[и — хо) « ) = / б/[С) йг.
Плана 3. Численное ивтегрнровюше Задача 4. Доказать, что Л ((х — хе)"'"') не зависит от выбора хо. В частном сяучае для фармулы трапеций имеем Л(х — а) = — — (Ь вЂ” а) = — ч(Ь вЂ” а)', з (Ь о) 1 з 1 з 3 2 б позтому погрешность л(1) с точностью до членов высшего порядка гзлзеет вид Л(1) — — (Ь вЂ” а) 1 (а). 12 5 3. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса Рассмотренные далее квадратуры относится к большой группе квадратурвык бюрмул, полученных с помощью интегрирования внтсрпсляциоипого лшогочлена и обьединеннык под одним названием — квадратурные формулы Ньютона — Котеса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
