Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Прохождение этих этапов особенно замедляется в случае, когда решением задач на ЭВМ занимвзотся представители конкретных наук, паприыер филологи, медики, экономисты, географы и т.п., мало знакомые с числагшыми методами или программированием. Обучение их тонкостям теории чисцонных метсдоэ люжег прешзатиться в самоцель, атвлеюмощую от решения основных задач их науки, и в конечном счете обойтись обществу довольно дорога. Поэтому в настоящее врал~я важнейшей проблемой является создание систел1 решения з;ллач с лшксилгальво простым обращением, предполагающих мэлуга квалифишщию пользователя в отношении численных методов и програмлгирования. Например, естественно потребовать, чтобы к программе вычисления интеграла с заданной точностью мог обратиться исследователь, знающий, что такое интеграл, но не умеющий ни иптегрироватгь ни дифференцировать.
Конечно, в развитии многих областей знания и техники решающая Роль математики состоит в создании математической модели явления, а потом уже в применении ЭВМ для ее исследования. При разработке модели от специалиста втой отрасли знания требуется определенная математическая культура, и наше высказывание пе следует попил~ать как предложение полностью избавить его ог математики.
Глава 3. «1нсвеяясе интегрирование 114 и О = О. Тогда в качестве меры погрешности выступает величина р = 2~1(1) — 2у(О) 4 1"( — 1)(. Если 8з(1") = 21" (О) — формула прямоугольников, то соответствующее значение р = -)1(1)— 21'(О)-1- (( — 1]]. Таким образом, мы получили две различные змпири июкиг оценки погрешности одной и той же формулы Симпсона. Попьпвемся прояснить ситуацию. Выражение Я(() является некоторой квадратурной суммой ЯХ) = ~,1111( 'з) (1) 1=1 по совокупности узлов ам принадлежащпх объединению узлов, соответствующих квадратурам ог(1) и бй(1). В то же время р =- ]1(Х)(, 1(.()=", ~ В,П',) (2) Подоплекой проводимых здесь рассуждений является следующее известное рассуждение. Когда мы занимаемся решением каких-то задач, то нужно учитывать эффективность кашей работы пе только по совокупным затратам на решение этих задач, но и принимать во внимание убыток, повесенный обществом в результате того, что нами не решены некоторые другие, возможно более важные задачи.
При практическом анализе погрешности численного интегрирования часто пользуются рачличныьги полуэмпирическил~и приемами. Наиболее распространенным нз этих приемов является слевщощий. Производятся вычисления по двуы квадратурным формулам ь кг ®= / У(л] ' (~] 2 ~'-. 'Уй' далее векоторая линейная комбинация Я(з] =- бч(з)-ЬО(Б~(з) — Я~(з)) этих квадратур принимается за приближенное значение интеграла, а величина р = )о (1) — о (()( — за люру погрешности приблнзкенной формулы у(1") = Я(1). Довольно типичиьпч являстгя <мучай д = О.
Описанный выше подход нельзя считать полностьк~ оправданным вследствие его неоднозначности. Пусть, например, Я~ (1) — формула Сныпсона: ~'Лв) ~*ж Ь'(У) =— ' Лт) „х ж О т У( — 1) + 4ПО) ->.((1) — 1 3 яз(() — формула трапеций: б (Х) = Л вЂ” 1) + з" (1) Ьб. Практнческв» оценкапогрешноотв Возьмем произвольную линейнук1 комбинацию аида (2] и положим 3'и) = 3((], Ьз(.() = ВВ - О(В Тогда мы получилг приближенное значение интеграла У(у) = 8(г) с оценкой погрешности р = д(((,()(. Мы видим, что на таком пути можно получить неограниченное множество оценок по»рспп~ости одной и той же квадратуры (1). Рассматриваемую задачу можно формулировать ел»кующим образом. Приближенное значение интеграла вычисляется по формуле (3) Требуется построить выражение вида (2), дмощее представление о погрешности калдратуры (3).
Предположим, что погрешность квадратуры (3) представляется в виде ВУ) =Р(Ь-а)"шУ('*](б). Рассмотрим случай ш < Ж. Тогда в качестве ((() можно взять величину ((() .= Р(Ь вЂ” а) жюппе(хч;...; х,), где х;„..., х „— различные узлы квадратуры (3). Разделенная разность может быть выражена через прогмводную, поэтому имеем ](() = Р(Ь вЂ” а) м»1( ~(б), а < б < Ь. Следовательно, при а = сов»О г"(»О(а) и О, (Ь вЂ” а) ь О сира»валино соотношение й(() = ]()) и величину р = ]((~)~ можно принять за ъгеру погрешности.
Пусть, например, оценивается погрешность формулы трапеций / у(х)3х Я(1") = — (((а)-~-О.Х( — ) -~- ((Ь]) . Согласно оценкам из 3 3 имеем В(.() = — — ~"(О. а)з 12 Таким образом, мы можем принять за меру погрешности величину — ~~(Ь) — 21'( — ) + Г(а)~. Иначе обстоит дело, когда гл > йг. Тогда нельзя получить гмкакого приближении к РЬ»](С) через величины у(хг),..., 1"(хн), и проблема получения эмпирической оценки погрешности в рассматриваемой выше постановке не может быть решена. Глава 3. Численное интегрирование 116 1!апримор, мы не можем получить удонлигворительного представления об оценке погрешности г)н»рмульг Симпсона чергхз знаюпия 1(а), у(ат1), 1(Ь). Однако можно получить некоторуго завышенную оценку погрешности. Рассыотрнм один подход к разрешонию возникшей проблемы.
Предположим, что пам удалось получить оценку погрешности вида )П(~)) < (Ь вЂ” а) Ошах()з( 1(х]~ = т. (к») Положим (б) — ~ ((Ь) — 21 ( ) -1- 1(а)~ . (б) В случае многомерных нити»ранов вге практи вские способы оденки погрешности опнравпся нв нгходлую, раскритикованную нвмн процедуру. Дело в зом, что в многомерном случае погрешность оцевнвветгя черш значения несковыгнх производных псдыв»тгрвльвой функции. Получение »обоснованных» оценок, подобных (6), ллгг таких формул крайне зачрулннтельно. Па»тому обрашвзотся к игхопной процедуре с по«ледующей зшперимегпаль»гой проверкой результвччш «е прнлюнезгня. В 7. Интегрирование быстро осциллирующих функций Пусть требуется вычислить интеграл ь У(х) вхр(!шх) г1х, где ш(Ь вЂ” а) уи 1, у(х) — гладкав функция.
Функции Ве (((х) ехр(»шх)), 1»п(1(х) ехр(1ше)) имеют на рассматриваемом отрезке примерно ш(Ь вЂ” а)/я нулей. Поскольку многочлен степени и вмызг ве Гюлее и пулей, то такие функции При а = гопвс. 1(л г»(а] г О. (Ь вЂ” а) — » 0 имеем а р. Таким абра. зом, величину р можно принять за приближенную оценку погрешности формулы (3). Эта оценка будет вши*во завышенной, поскольку при предположении т > Ж имеем П(!) = 0((1» — а)~ы).
Однако лучник оценки погрешности формулы (1) по сравневию с оценкой черш о, по-вцлиьгоьгу, нельзя предложить. В случае формулы Симпсона верна оценка (5) при 1 Ю = — и, таким образом, за меру погрешности принимаем величину 81 117 Ь 7. Интегрирование быстро осииллируюших функций могут быть хорошо приближены многочленами степени в лишь при и р ы(6 — а)Ся. Поэтому дия яепосредствешгого вычисления интегралов от таких функций потребуется применение квадратур, точных дсся многочленов высокой степеви.
Волге выгодным может оказаться путь рассмотрения функции ехр(6 сх) как весовой. Как и в 6 1, зададимся узлами интерполирования ьйа 6 — а тч = + -й„у = 1,..., гс 2 2 гь и выясним исходный интеграл на / Ле(х)ехр (6лх) сьх, где й„[т) — интерполяциоиный ыногочлен с узлами;ьс.
Последний интегрсш ьюжет бьггь вычислен в яшюм ссцде 1„(х) ехр([сох) сьх = Яв(1) = ехрс(1ы- ( У Хсу [ьс —.~ 1[хс), 2 [ 2 ) (, 2 где г с Пу[р) = / ~П д 3 ~) р([рбмк(. ь ь„~с-~ь/ Получилась квадратурная формула ь с[х)ехр(1ьгл)с[х = 5„"'(с) с остаточнылс членом гь В [.с') =/ (с'(х) — 5 (а:)) р(' ) С . (2) В соответствии с [3.1) ь В„(С) < / (1(х] — В„(х)( сьх < П(с[с,..., с6,)[шах)100(х)~) ~ ) Вычисление интегралов такого рода является типичной задачей, встречающейся при разложении функций в ряды Фурье, при построении лиа грамм направленности антенн и т.д. В стандартных программах вычисления интегралов от быстро осциллирующих функций используются формулы (1), (2), соотвептвующие случаям: п = 3, ссг = — 1, сьз = О, сСз = 1 (вту формулу называют формулой Филова) или и = 5, сьс = — 1, с[с = — 0.5, Вз = О, г4 = 0.5, сьь = 1.
Если формулы (1), (2) использовать для вычисления интегралов от фувкций, не валяющихся быстро осциллирующими, то может возникнуть Глава 3. Численное интегрирование 113 слепующая неприятность, которую мы проиллюстрируем для и = 2, 4~ = — 1, гЬг = 1. В этом случае Г 1 — б . зшр Рг(р) = з/ — Й(1Ю 4б = — + / г 2 Р Гг 1+б . вшр Рг(Р) = / ехр(!Р() дб = —— 2 рсовр — в!пр . Р р гги р — вш р — 1. Р При р — г О имеем Г ь Ь вЂ” а Г. а+Ь) /(х) ехр(!ых) 4х = — ехр ~!и — ~ [Р~(р)Х(а) + Рг(Р)/(!г)), (4) 2 ( 2 где Ь вЂ” а р=ы —, 2 в|пр рсовр — вшр. г 1 Рг,г(р) = Р Р РНР!) при [р[ > рг„ при [р[ < рг.
В стандартных программах вычигления интегралов рассматриваемого типа арименлютсе квалратуры шша (4), (5). Вагниквег вопрос: зачем ушожнять Р совр ьп'р Р Г) ° з. 0 з" Р = — + ОГР ) -г О, — — ь 1. Таким образом, Р~(р), Рг(р) -+ 1 при Р -ь О.
Пусть р — малое число. Функции вшр и рсовр вычисляются в машине с погрешностями О(2 г) и 0(р2 г) соответственно. Вследствие этого коэффициенты Рг(Р), Рз(Р) приобретагот погрепшость О(2 '/р). При и > 2 оказывается, что погрешность коэффициеытов Р (р), вычисляемых по формулам (1), может оказаться величиной порядка 2 '/Р" '. Например, при ! = 30, и = 5, р = 0,0! така» погрешность уже недопустима, Поэтому стандартные программы вычиглевия интегралов от быгтро осциллирующнх функций должыы иметь специальный блок, предусматривающий измеыеыие расчетных формул при малых Р с тем, чтобы избежать существенного влияния вычислительной погрешности.
Если и не очень велико, например п =. 2, то можно пойти по следую. щему пути: при [р[ > р„, где некоторое р„подбираем экспериментально, вычисления производим по формулам (1), (2); есин [р[ < Р„, то вычисляем исходный интеграл по формуле трапеций (3.7), рассматривая всю функцию /(х) ехр(Ьлх) квк псдынтегрвльную. В рассматриваемом случае (п = 2, 4 = -1, 4г = 1) формула (3,7) приобретает вцц Ь вЂ” а Г(х) охр(!ых) Их — — [ехр(!ыо)Х(о) + ехр(!ыЬ)/(Ь)[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
