Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Конечно, ве нужно думать, что формула, имеккцая белы высокий порядок скор~лжи сходи- мости, при «оякретлом числе узлов всегда точнее форыулы более низкого порядка скорости сходиыо<тгь 'В 9. О постановках задач оптимизации Мы получили ряд формул чиглегпюго интегрирования и люгли бы получить еще большее ковичество таких фо|эмул. Возниканг вопрос: можно ли получить лучшие по порядку оценки погрешности при тех же предположениях о подывтегральпой функции или хотя бы улучшить константы в этих оценках? Изу н:ние этого вопроса прнводнт к задаче построения квадратур с аптимшп ной оценкой погрешности, или, как говорят, оптимальных кнадратур.
В связи с этим возникает <лелующао проблг ыа — чеы болыпе способов решевия задачи, тем труднег репп1ться выбрать какой-то из них, поскольку каждый способ ьюжст иметь гвюи положительные кю1ества: простота программирования, малое время работы ЭВМ, малая загрузка наыяти, простота оценки погреппюсти, применимость к пгирокому кругу задач. Такам образом, щгедует иметь в виду, что иногда излипшяя информация о способах решения задач прн большом их количестве может также и затормозить реальное решение задач.
Пазтому необходима какая-то систематкэация методов решения, их отбор. Встесгвенно пытаться решить эвдачя наилучпгим, оптиыальным спосабом. Мы уже рассматривали некоторые модельные форыулировки задач об оптимальных методах решения на примере нычигления значений функций; при .этом возникают определенные математические постановки задач, требующих решения.
При рассмотрении каждой зоной проблемы желательно получить ее наиболее подробное, наилучшее описание и затем репгвть возниюпую задачу наилучшим образом. Однако обычно зто не удаепм сделать и приходится довольствоваться меньшим: описать проблему наилучшим образом и решить ее удовзгетворителыго или описать проблему удовлетворительна и затем полностью регпить вознэгкшую задачу.
При рассмотрении Зй. О пост>нонках задач опти»огзвпви згб щюблеьпя оптимизации мет<щов можно ж>зорить о выборе между удовлетворительнь<м решением проблемы оптимизации метадон для классов задач, близких к реальным, или и<иным решением проблемы для зчвлонных математических классов, подобных рассматриваемому е следукпцем параграфе. Мажет вызвать недоуменно высказывание об «удовлетворительном решении проблемы аптимнзацие мотодов» для каких-то классов — ведь зз,вача оптимизации методов па классе сводится к вполне конкретной математической задаче.
которую, п<-видимому, можно решить окончательно, а не «удовлет>юрит<льяо». В принципе зто высказывание порно, однако обычно полностью решить зад",чу в приемлемое дчя практики вреьш не удастся, так как время, необх<щимое дая построения оптимального метода, обе< шо существенно превосходит врел<я, а течение которою возник«от новое. уточненное они<плие классов рассматриваемых задач.
Также пвдо иметь в виду, что не всегда удав>т»> формализокать такое мател<атическое описание квасов реальнь<х задач: имоегся какое-то качественное представленио о классе, име>от<я неплохие численные методы н икгуитив>ю ясно, что е практическом плане оптимшп ность методов достигнута; в то жо врона н<ш даже четко формолизовышоп> описания класса решаемых задач. Например, реально требуется еычисаип интегралы от кусо пю-гладких функций, однако в течение дп>пьп> еромепп так и не удалось пргдоожигь описание множества таких функоий, которое гоопкпттво>шло бы рмшьной практике вычигчений. Точно чвк же, например, при анализе физических ьюделей можно описать задачу с помощью сложной системы ,>иффероццищгьных уравнений н решить эту систему с малой точностью или описать задачу более грубо с помощью простой си<злым н решить эту сис>ему с большой точностью.
В разных случаях, в зависимости ат конкретной обспшоеки, бывает целесообразен тот или иной подход к решения> задачи. Представляется, что для прикладной науки часто более существенно пе окончательное решение вариацн<>нных задач, а првлильнав их постановка. Обычно больший аффект дает удовлетворительное решоние правильно поставленной в практическом с»<в<еле вариационной задачи, чем полное решенно упрощгзп>ой задачи, не охватывающей вге существенные характерные черты исконной проблемы.
<?то такое оптимальный погод решения задачи? Под оптимальным методом решения задачи можно понимать метод, требующий минимальной затраты машинного времени. Но зто будет н< пРавильная постановка, наскол>,ку, в принципе, всякую задачу можно решить без применения машин, затратив па это очень болыпое количество времени. Под огггимальным можно понимать метод, требующий' минимальных затрат времени (или соответственно материальных затрат).
При этом <ледует помнить, что время и затраты на поиск оптимального алгоритма уже входят в решение задачи. 126 Глава 3. Численное интегрирование Когда ьгы ставим вопрос о репгении задачи оптимвлывям образом, мы не учитываем разных возможностей исследователей, решающих задачу.
А ведь в зависимости от индивидуальных возможностей исследователя, наличия ЭВМ, библиотеки, лаборантов, сотрудников, обладающих опытом решения подобных задач, оптимальное решенно, вообще говоря, будет различным. Мы говорили об оптимвльнолг решении каждой конкретной задачи. Такая постановка вопроса не совсем правильна также по следующей причине. На самом деле коллектив исследователей сталкивается с гг(июй совокупностью задав Мы можем поставить перед собой цель решить первую, вторуго и т.д.
задачи за крагчайпгее время. Однако постановка вопроса в корне изменится, если мы ъ~дадиьгся целью решить с минил~альными затратами целую согекупиость задач. Мы ьгожем решать первую, вторую и т.д. задачи оптимальными методами, но за зго время наука уйдет вперед, и если мы не будем изучать новые методы, создавать новые алгоритмы и стандартные программы, рассчитанные на решение будущих задач, та в целом вбегя проиграем. При наличии большой серии задач, не требующей сверхсрочного решения, выгоднее заняться теоретическими исследованиями, созпать новые алгоритьгы, а затем уже репшть эти залазя.
Нет однозначного отвею также на вопрос о том, кто должен заниматься оптимальным решением задач. Вели мы имеем дгло с единственной конкретной задачей, заведомо не требующей нового алгоритма и больших затрат машинного времени, ее лучше поручить выполнить работнику низкой квалификации. Уветшчение числа задач и их сложности требует привлечения работников высокой квалификации, поскшп,ку здесь их отдача будет наиболее полвой.
Конечно, важно изучить опыт решения иак сложных, так и простых зада~ подобного типа. Для того чтобы задачу оптиь~изации методов можно было рассматривать как чисто математическую задачу, необходимо определить целевую функцию исследования, класс рассматриваемых задач в возможности исследователя. Качество какого-то алгоритма на классе задач ь~ы характеризуем его качеством на самой «плохой» для него задаче этого класса.
Поэтому чем уже класс рассматриваемых задач, тем лучше качество алгоритмов на этом классе. Казалось бы, следует построить оптимальные алгоритмы для регпения вгпможно большего числа классон задач. Однако при излишней дегализации слишком много усилий уйдет на отыскание оптимальных методов решения.
В этом случае может не хватить сил и времени на реальное решение самих задач, разработку и создание стыглартных программ. Конечно, эти замечания против детализации в меньшей мере относятся к случаю специализированных машин и устройств, где следует максимально сузить класс рассматриваемых задач. При первом взгляде на проблему кажется, что в практике вычислений всегда имеют дело с конкретными задачами и никогда не рассматривают Э 9.
О постановках задач оотпьягзании ?г? класс задач. По этому поводу можно сказать следующее: формально при выборе метода решения задачи исследоватпль не относит ее к какому- либо классу; однако мягод решения всегда выбирается в зависимости от некоторых типичных свойств задачи: тип дифференциального уравнения, наличие особенности у решения, число конечных производных и т.п. При выборе алгоритма исследователь учитывает тги свойства и тем самым вольно или невольно относит рассматриваемую задачу к класву задач, облалаюших этими свойствами.
При аналкзе задач и разбиении нх на классы часто возникает вощкьш какому классу зюыч уделить нервоочередпое внимание, в частности, на какой класс за,зач следует рассчитывать при составлении стандартной программы численно~о интегрирования? Пусть, например, прн помощи этой программы примерно с одинаковой частотой будут вычисляться интегралы как от гладких, так я от не очень гладких функций. На какие функции нужно ориентироваться при выборе алгоритма для этой программы? Ответ на згот вопрос можно получить из следугощих соображений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
