Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Численное интегрирование В 14. Правило Рунге практической оценки погрешности Мы получили, что главный член погрешности формулы трапеций с по. оюянпым шагом интегрирования рыюн — — Нч(1'(В) — уз(А)). 12 ( з ) В ( з ) Н з ( з ( В ) з ( А ) ) ( Н з ) «() — Вьй(1) = — —,' (У'(В) — 1'(А)) + (Н,,'). Мы стремимся построить алгоритм вычисления главного члена погрешности, не использующий его конкретного выражения. Для зюго запишем (Ц в вине совокупности приближенных равенств «Х) — Язз,(1) = СН,", «1) — Вз,(() ш СН,'.
(2) Величины Ямз(1) и Ямз(1) определены в результате расчетов, позтому мы имеем два приближенных равенства относичельно двух неизвестных «)) н С. Вычитая второе равенство жз первого, получим ВЫ,(1') — Вмз(() = СНз — СНч = ЗСНз. В случае формул более высокого порядка точности можно получить представление главного члена погрешности ква,чратуры через производные высших порядков. Непосредственное использование этих выражений для оценки величины главного члена погрепшости иногда неудобно, поскольку требует выполнения операции диффереици1юванвя. В,пругвх задачах выражение главного члена погрешности может оказаться настолько сложным, что его вычисление требует дополнительного чнсвезшого интегрирования. Поэчолзу в вычисзитольной практике приьзеняегсв способ практической оценки погрешности, не использующий фактичегкого выражения шзавного члена погрешности, а опиразощийся лишь на факт существования такого главного *тлена. Двя простейших задач типа численного ннтегрироызния ззог способ свячывасчся с имевеы Рунге, в более сложных случаях — с имспалзи Ричардсона и звилиипова.
Зтот способ основал на выделении главного члена погрешвости по рсзульштам расчетов с двумя различными шшнми. Рагсмигрньз простейший вариант применения этого правила. Осуще;в етним приближенное вычисление интеграла 1Я = / 1(х)азз с помо- А щыа формулы трапеций с поспжвным шагом Н, = ( — А) ззМз и Нч = ( — А)ззМз, 'Мз = 2Мз, т.е. Нч = Нз/2. Согласно (13.1) имеем равенство 145 4 14.
Правила Рунге практической оценки всгрешигкти Таким образом, СНзт —— 1 (Б .„()) — Б,(1)). 3 г (3) Полсшвляя приближенное выражение СНг тв (2), получаем приближен- ное равенство 1(у) Баба) (Бм Я Бм Ш) 1 (4) 1 г Таким образом, величина — ~Бьп(~) — Бгб(1)) ивлястся главным членом 3 погрешности приближенного значения интеграла Бьп(у). Перенося в (4) значение Бм (у) в правую чжтгч получим формулу для более юшого по порядку, чем Бмг(у), приближешш к 1(1); уа-Б.Н(Т)- -(БНВ-Б,(Л). 1 (5) Таким образом, описанный способ построения главного члена погрешности порождает некоторую кввдратурнуго формулу боиге высокого порядка точности. Задача 1.
Доказать, гго правая часть в (5) совпадает с сосшвной ква- дратурной формулой Симпсона. Информация о величине главного члена погрешности часто используется для приблюкенного опродсления лшнимального количества узлов, досгвточного для достижения заданной точности. Ич (3) находим, что с= — 3„',(~ .(л-Б.,(л), а затем выбираем шаг интегрирования из условия (СН ) ~( е нли СН ~ ч е Бвб(()(, (6) Задача 2. Имеется некоторый метод решения задачи с погрешностью Х(У) — БмУ) — С/М . где с — заливная абсолютная или относительная погропшосп, результата. Выписанные вылив соотношения (2) — (5) носят асимптотический характер, поэтому значение С, найденное из (3), будет доепюсрным (т.
с. близким к истинному) лишь при достаточно малом Нз. В ответственных случаях после решения задачи с шагом Н, удовлетворяющим условиям (6), лля контроля над точностью решают задачу с гпагом 2Н и опять определяют главный член погреппюсти, соответствующий шагу Н. Описанный метод уточнения результата по итогам двух расчетов применим к методам любого порядка точности, причем ие обязательно брать Мт = 2Мг. Глава 3. Чиюижнсе игпегрированнс 146 Произведено вычисление зштеграла с М~ и Мз = ЛМ~ озрезквьш разбнен~ш. Показать, что ~зб У) — бы, (Х) 1(Г) — бзб(й - -=' —;— Л'" — 1 здесь имеется н виду предельный переход при Мз — ь со, Л =- сопке. Задача 3.
Пусть С / 1 1(1) — УУмЦ) =- — '„, + С ~ „„,) . Показшь, что 1У) — БвйЯ- '"'- ' (М,ЛМг)~. — 1 при условии, что Мп Мз — М~ — ь ос. Задача 4. Пусть У 1 Показать, что 3жз (() — Баб (( ) (Мз(М,) ° — 1 прн условии, что М~ — ь оо. Мз > Л1ь В случаях, когда нычнеляетгл больгеое количества интнгрвлон г. осебеигнжтями определониого вида, Ьгз серьезного зворшичесж~го анализа нельзя определить порядок схо~щмосчи метода на интегралах етого рода (вз-за неограниченности пргвшводных мы не имеем прана пользоваться результатом о существовании главного члена погрешности).
В других же глучанх порядок погрешности может быть «ьзжстен, лг неясно, какилз он оказьпшется при реально испш!ьзуелвнх значениях Л1. Рассмотрим вопрос о способах проверки выполнимости соотношения В(1) СМ при реально допустимых значениях М. Можно постараться подобрать мо1негьную задачу с известным ответом, близкую к рассматриваемой. Тогда после проведения расчеш мы будем иметь в распоряжении приближенное значение Я,„и погпепшость Вм = 1 — Я,„.
Может случиться, тго имеются какие-то предположения о характере поведения эгон величины, наприьзср по (7) В, солв1 М '". В таком случае можно подсчитать для некоторой последовательноспг Мв значения М„'"Вм„и посмотреть, егабилизируются лн зги величины с ростом М. Если нет предположения о характере поведении погреппюсти в данной задаче, то можно применить сведующую методику. 147 1 14. Правила Рунге практической оцелкв вогрошвоств Возьмем координатную плоскость !пМ /11 )и ( — ) (рис. 3.14.1), нанесем на нес точ- ~)Е)) ( ) 1 !вМь, ! — ).
(3) ~Вм,)) ' Если эти точки расположены хаопучески, то вта озгючаст, что числа Мг ве настолько велики, чюбы в погреппюсти выделился главный член. Предпавожиьь что асимптотическое неравенство (7) в данной области излюнения параметра М выновпяетси с балыпой точностью. Из (7) слс дуег, что 1л Мв ~ 1 !и — ~ гп !л М," ~ Ве, Рис. 3.14.1 после дифференцирования имеем ейп ! — ) сПн М Зювтви, па операция дифференцирования вснлштотическвх равенств, ваоб- шв говора, нювканна. Согласно (9) н случае, когда (7) выполняется достаточно точно, точки (!пМь, 1п(1/)Вмь()), получаемые в результате эксперимента на ЭВМ, должны лежать на кривой, тангенс угла наклояа като!юй сгремиттл к пь Если «тол наклона кривой меняется резко, та еп«е нет оснований применять пранило Руши.
Проверку справедливости предположения о характере поведения пагреипнюги можно осуществлять и таким путем. Если справедливо ра- венство Лм с/М'", бмл — бм с(1 — Л "')/М"'. (10) С другой стороны, если (!1) выполняется при М > Мс, то будах выполняться и (10).
Поэтому вместо проверки практической выпав~пумасти (10) можно произвол«пь проверку практической выполнимости (П), в частности, при помощи изучения графиков функций р(М) = (8мл — о»)М нли раснавсження точек (ЬгМь, !и — ) . (12) Глава 3. Чигтеюв» интырированне 148 Заметим, что возможноств определения значения ш и вообще провертти условия (10) путем численного эксперимента довольно ограничт. 1п ЛГ 1 ны. Например, случаи Лж сопят . М " М и Л„совет — практически неразличимы при таком рассмотрении, потому что в обоих случаях т))тт — ~ ту!пЛà — т 1 при М вЂ” т оо. ~Л„, / 2 15. Ъуточнение результата интерполяцией более высокого порядка точности Получим соотношение у(Г)=~отбыт(Г)+) Пь(Г) ~) суМ т )1+т,, Нг(мт). т=-е Ь=т ттт=е / т=-.е Предположим, гго выполняются равенства Е с М.'*" = О при Л = 1,..., 1, т т.==е (2) Егли подыитегральная функцвя достаточно гладкая, то, квк правила, погрешность квадратурвой формулы может быть предсшвлена в виде 1(Л) — лм(У) =лтт(У) =') Лэт(Г)м-* + (м), (1) ь=-1 где тт « ...
тт, т(ЛГ) = о(ЛХ ч). Обычно при гладкой подынтегральной функция имеем тз — П = ° - = и — тт =- в, где э = 1 тщи э = 2. Например, в предположении ограниченности Гт '"г 1(я) погрешность формулы травепий, согласно (13.2), прсдсжвляется в виде Лм(У) = В Аттт Гтл — А' т"' "т ' = — 2 тзь ( — ) (т'( 1(В) — т ( '1(А)) + Г) т.=т Предположим, что произведено вычитлсвне бат(Г) при значетпшх М =— Луе,..., Мт.
Мы нмееы равенства т 1(Г) =лат,(Г)+'У иь(Г)м,'" э.(м), 1 =о,...,1. т:=т Образуем линейную комбинапюо этих тхютношеиий с некоторыми коэффипиентами ст, потребовав, чтобы ~от = 1. (2) 149 З 15. Уточнение рюультата интерполяцией 1(л) х' с Яы (л) + )лслт(М5)' (4) О.е л=-е Если величиной ) стг(Мл) можно пренебречь, то л=.лл 1а = Е;~.б И. л=с (б) ал(М ') =балт-г(Л1), гдг Му) =1(У) -') Рллуь. л-л Из соотиллшсиия (6) видно, что задача нахождения 10') может форму- лироваться следующим образом. Заданы значения ьпюгочлепа Сл(лу) при у = Ме ',..., Мл '; трсбуепя определить значение Ял(О) = 1(л").
Согласно интерполяционной формуле Лаграннпз (гл. 2 з 2) имеем С(у) =ЕС(у,)П„":"„', л=о йл ул понтону ()л(0) = ) слл)л(ул), где с. =- П ' ', уул =- М. л, (2) л=с ул ул и, следовательно, 1(1) = л1л(0) = 2 сл(1л(ул) =- ) стелл,Я+ ~~ Эг(Мл). л=а л.=о л=е Мы получили соотношение (4) с выписаннымн явно значениями с . Применение описанного метода, иногда называемого метлхйхм Ромбср. га, может быть полезным в следующей ситуации. Пусть мм задались какой-то квадратурой, вычислили на ЭВЛ4 и выдали иа печать аначени» Ялл,зл(1), л = О,, 1, но оказалосчч что нУжной точности еще не достигли. Тогда можно пошглвчъся получить приближение к интегралу, применив правило Ромберга по некоторой совокупности значений ~мгз'+л(л ) ' ' ~ыахгл'(У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
