Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 29
Текст из файла (страница 29)
е Г! При й > 2 интеграл / (дв(Ц(сй конечен, поэтому погрешность формулы е трапеций имеет порядок 0(ЛХ»). С увеличением 1» растет порядок про(! извсдньж д1в1(1), длн которых интеграл / )д1в1(1))г(1 огранинш, поэтому .е можно применять квадратуры все более высокого порядка точности. Если й очень больцюе, то произв!!Ш!ые функции д(1) хоти и конечны, но очень большие, ш!едоватавьно, должна соблгодатьгл опредевенгп»я пропорция мшкду ыигичиной й и числом узлов 1У.
Необходимость соблюдения осторолсности при употреблении очень больших й вилна хотя бы нз следующего. Постоягшый шаг се — 1 ! = 1/Л! в интеграле (б) соответствует узлаы интегрирования ое — — у!(д/ЛХ) = (д/Л!)ь в исходном 166 З 16. Вычисление иатегралоа в норегулярном случае интеграле, поэтому. при болыпих й используется мало значений подын- тегральвой функции в правой части справка [О, Ц (рнс.
3.16.1). я[о х[ь тге з>[7 »>з я[з 0 1 д>(1) = !ь, М = 20 Рис. 3.16.1 6. Как мы уже видели в ! 11, скорость сходиыссти при вычисл~ь нни инигралов от функций с особенностями повышылся закж[ за счет распрещеления узлов интегрирования. 7. В некоторых случаях приходимя идти по пути сочетания некоторых из описанных способов. Пусть вычисляется интеграл 1 д (з:) т" ехр (!шт) [Ь., е где ь> -большое число, д(з:) — глим[кая функция, д(0) Р О.
[с>[ < 1. Наличие лшожитгля ехр(йля) гребу[:г выделения его как весового. Наличие ь>ножи[то>я >Д требует принятия специальных мер для интегрирования в окрестности нуля. Зава>не поремеопых а: = С>(1) а даннол> случаи яаляе>тл неприемлемой.
поскольку,зли соответствующей вы:оной функции ехр(!ь>з) невозможно вычвглепне в явном виде ковффициеитов каадратурных формул. Здыж цслегосб!извес разбвть отрцзок иптегрировашш на неравные части, с>ыгвештвувхцие оптиыальиолгу распроделели[о узлов при вычи[з>енин ин>пг[яша от функции т, и примопить иа каждой чыгги и>мерполяциошлие квадрнгурные ф<>рмулы (1 3), смнветствующие Г' весовой функции ехр(1ыл). В гл!"шо интегралов типа / д(х)я евшызфс о при г» 1, д(т) — гладкой функции, д(0) Р О, такой способ будет неприемлемым, поскольку в окрестности п>чки з = 0 неинтегрируемая функция:с " нс аппроксимируетсв миои>членами. Здес>. целесообразно раз- Г! бить исходный интеграл на части / и /, где с — 1/ь>. Для вычисления второго интеграла разумно применить йроцедуру, юмор>ш описала выше. В первом инте>рале функция вшыя не играет роли ссциллирующего множителя, поскольку ири такал> выборе с опа имеет на [О, с[ конечноо чигло колебаний.
Поэтому зтог интеграл можно вычислять, вы[ример, Распределив узлы интегрирования соответственно оптимальному распределению для функции д(0)ыя[ ", аппроксимирующей пщш>ктегральнун> при малых и>г. 8. Упомянем метод Ромберп>. Погрешног:ть формулы трапеций с по- Г' стояниым шан>м при вычислении интеграла / д(х)>с" из для гл;Шкой о Гнева 3. *Оголенное иятегрирование фУнкЦии д(х), д(0) тс О, — 1 < о < 1., пРеДставлЯетсЯ в виДе Лз1У 1Зтй1 З "+, И ИМЕЮтСЛ ОСНОНВПИЯ ДЛЯ ПРИМЕНЕНИЯ ПРИЕМОВ, ПОЛОжвпных в основу могола 1'омбергв.
О. Решение ряла задач сводится к вычислению сингулярных интегралов типа /л д[з) 1з х — о где о б (А, В), д[и) Ф О. Интеграл понимается в сыысле главного значе- ния, т.е. как предел Интеграл может быть записан как суыма интеграла по отрезку, силь метричному относительно точки ах и интеграла от гладкой функции по огчавшейси части. Для простоты предполагаем, что первый интеграл пре- 1 д(х) образован к виду 1 г(х. если функция д(х) удовлетворяет условию — 6 Гевьдера в точке х =- О, т.е.
[д(с) — д(0)[ < А[в['", о > О, чо последний увд(л:) — д[ — ') „ интеграл равен песипгулнрному ивтсгралу 11 фт. В частно. е х сти, если д(х) — гладкая функция, то новая подыншгральная функция д[х) — д(-х) также является гладкой О ряде случаев, например при рещение иншгральнмх уравнений с сиигулврвыми вдрвми, возникает свегзуюн~ ш ситуация. Значения фуикцив д[г) задаюшя на векозорой фнксироеввлой сотке. Исходи из яиформацив об зтих заачениях. т1куусссз еы'пилять значения инптрава 1(а) прн различпьзх а. Еюш дбс) досшточно гладкаи функция, чо здесь люжло поступить следующим обрезом. Разбиваем отрозок [А, В[ иа часги [А„, А~),..., [Алг .
о Ал~), Ае -— - А, А и = В. На «вждой из частей [Аг и Аг[ приближаем функюно д(т) ивтерпслиционньш мвогочленолз бг(х). При етом требуем, чтобы при всех О было выпачншю условие Ьв(Аг) = бзы(Аз] = д(Аг). Исходвый шпеграл заменяем сулшой иипчралов 1'з' Ев(*) , А Интегралы зг вычисляем в явном виде. Если а б [Аз з, Аг). ю ссотвстспзующий инютрал г„следует рассматривать как сингулярный. Есин а = Ар, то 157 117.
Принципы построения сшвлартиых программ следует обьединить интегралы гт и зма (рэсхоюациесв) э одни сингулярный ингеграэ ул+' Лг(х) г уг ) ьг(х) при х < А, ( Ьгю(х) при х>Аг. Палучивпшеся интегралы вычисэип е явном видо. Вадача б. Пусть отрезок интегрирования разбит на равные части длины Н в на каждой части фунхция д(х) аппроксимируатся при помощи линейной интерполяции. Таким обрмаы, исходный интеграл впщюксвмнруетсп суммой иптегравав д (дН) — д ( (д — 1) Н) и А .л ((, 1)Н)+(. (, 1)Н) Н ю=.~ зл+(е ')л х — а где Н = (Н вЂ” А)ЛХ '. В предположении ограниченности (дэ(х)( получить оценку погрешности О(Л4 э!ззЛУ).
Полезно указать на следувзщуга првктвческн важную деталь. Если репгепие задачи содержит какие-то неисследованные гх:абенна<ти, ухулзгшв> щие схсдпыость методов, то лупин сразу выделить простейшую модельную задачу, содержащую эти особенности, и провести выбор метода и проверку примепилюсти различных асимпэатических кришриев на этой мсделыюй задаче. Этот путь обычно приводит к более быстрому пониманию существа вопроса и избавляет от наабходиьюсти проведения многочисленных экспериментов нв самой задаче.
В частности, достигается экономия труда математика при программировании задачи, машинного врс мани и упрощается исследование за счет вазможности построения более содержательных графиков пои~щения погрешности; здось имеем вазможность получить болыпе точек (14.8) или (14.12], поскольку для простой задачи их получение менее трудоемко. В 17. Принципы построения стандартных программ с автоматическим выбором шага Как отмечалось в д 12, интегралы от функпий с особенностями типа х хорошо вычисляются ыпгодвми интегрирования с паременныы ша- .Ь гом, если узлы интегрирования распредалепы о|ггимальным образом.
Повидимоыу, столь же хорошо будут интегрироваться функции с особеннастнми других типов. Пгнтому представляется зэьгввчивыьг строить стандартные программы чисяеннгво интегрирования так, чтобы для любой Глава 3. Численное иитегрировавие функции распределение узлов «шлялось оптимю«ьным или близким к нему. В Ь П указана вазможность распределения узлов, близкого к оптимальному, гкюгге исследования поведения подынтхкра>иной функции на рввкой сетке. ()днако в случае резко меняющихся функций, например функций типа:ьь, реализация этой возможности приводит к недостаточно удовлетворительным результатам. Позтому при разработке стандартных программ интегрирования приняты нескояько другие процелуры распределени» узлов интегрирования, обеспечивающио лучшее приближение к оптимальному распределению узлов для функций с особгиностлми.
Рассмотрим некоторые из них. Длн вычисления интегралов по злеьюнтарпым отрезкам разбиения )е«н а«) аыбнраготся: квадратурная формула з=! и мера погрешности Пусть вычигжясттв ХЬт)дх. А =- пе. Г' л Первая процедура, которую еспхтвенно назвать горизонтальной, определяется заданием параметров В, т < 1, Ье, н ге. Полагаем г« = се(й Предпыожпьл что каким-то обрезом уже вычислено приближенное значение интеграла 1 у(в) «!я.
Программа располагает в каждый момент з«« времени некогорым значенисы Ьнл с которым надо начинать гчнтать чсшшшуюгл часть внгегралз. Вычг«елисея величину рч((). соответствуюнбчо отрозку )а«, о« -~- Ь, ), Рлви окюалосгч что ре(() < се, то вычиг««к шяел«приближенное значение / !(к) ел по формуле (1) н полапюл«ичт~ = ае .1- Ьч. Мы получилн приближенноо значение величины ' «ч ((в)пх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
