Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Такой прием иногда неаффективсн, паскешьку пе удаегся легко построить достаточно гладкое продалжевие функции у в области Й'уС, а при недостаточно гладк<1м продолжении приближение будет плохим, Слодствием как этого абечоятельства, так и того, что приближение лпцепя в большой области, часто является неоправданное увеличение значения и, нужного ,лля досп~жения заданной зг2чнасти. Другой возможный приелг сведения к известной ортогональной системе функций епстоит в следующем. Возьмем некоторую область й с изве2пнай оРтогоиалышй сисюмой Уел(б, Ц),..., Р (б, и).
ПУсть атабРажвние х = х(б, О), д = 22(б„о) переводит область П в С; б = б(х, д), а =21(х, д)— обратное отображение. Будел2 приближать функцию )(х(л, д), Р(л, ч)) области П линейными комбинациями ~~ г2221(л(х, д), 5(х, д)). 2=1 Глава 4. Пряближение функций и смежные вопршы 120 При приближении функций большого числа перемелиых не удается указать методов, пригодных ео всех случаях. В каждой конкретной ситуации надо у гитывать специфику задачи (вид функции, геометрию области и т.п.). Расгмогрим для иллюстрации зачачу другого рода прн решении которой используют1я проводимые выше построени». Пусть требуется построить интерполяционный многочлен степени зу — 1 с узлами интерпол»- ции х,,...,х . Пусть этн узлы являготся нулями б)ь(х) степени 11' 1ьз л л артонормнрованной сисчемы многочлепав Я„(х)), соогвегствующей весу р(х).
Например, можно строить яжгерполиционные многочлены по нулям многочленов Чебышева, о когорых шла речь в гл. 2. Будем отыскивать инперполяционный многочлен в виде линейной комбинации а:-! Рн 1(х) = ) оЛ1(х). ПРи гп, и < й1 многочлеп Я„,(х)()н(х) имеет пгепень пе вьппе 281 — 2. Поэтому квадратура Гаусса с Гг узлами точна для этого ь1ногочлгна1 ЕП,';аж(*„) )и(ха,') = ~ а (.) 2.(х)р(*) = и (У) е=1 Таким обрезом, векторы (2,„= (12 (х~1),..., ге' (хл)) прн еи < У образуют ортопормированную сне"тему относ1цтльно скалярного произведения л (у, и) ж ~ Р, "уехэ (8) и вектоР Е = Щх~~'),..., Е(хьл))т может быть Разложен по этой системе векторов: Н вЂ” 1 Е= ~ 01421, где с(1 — — (Е, ссз). Многочлен Ю-1 Рл 1(х) = ~ с(104(х) 1=в (9) будет искомым.
Таким образом, по1троелие интерполяционного многочлена с узлами интерполяции, соответствующими корням ортогонального многочлена, сводичсв к вычислению коэффициентов разложения функции 1(1 по системе ортогональных многочленов. После этого искомый интерполяционный многочлен вычисляется по формуле (9).
Этот алгорнгм будет более устойчив по отношению к погрыпностям округления по сравнению с непосредственным построением интерполяционно111 ьшогшглепа Лагранжа. !3. Тригонометрическая интерполяаия. Дискретное преобразование Фурье 171 З 3. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье Дискрвпюе преобразование Фурье примеляется при решении многих прикладных задач.
К ним относятся тригонометрическая интерполяция, вычисление свертки функций, рмшазнавание образов и многие другие. Дискретное ареобраэование Фурье стало особенно эффективным лгегодол1 решения прикладных задач нсхле создания быстрого преобразования Фурье (см. з 4). Пусть ((х) — периодическая функция с периодом ! — разложена в ряд Фурье !" (х) = Л ае схР(2Я(йх), причем )ао) С оо. о=в (2) Здесь г -мнимав единица.
Рассмотрим значения этой функции на сетке из точек х~ = !/!г', где (, и целые, !э' фиксировано, и обознагилг у(х!) = Я. Вг ш уз — Ф = йх, где 1 целое, то дзх! — бгх~ = й!Ух~ = Н, где, Ы целое. Слццовлтапьно, ехр(2я!дгх) =- ехр(2я!4хх) в птах сетки. Поэтому если функция у(х) рассматриваетсв лишь в уз- лах ~пеки хн то в соотношении (!) можно привести подобные члены Я = ~ А схр(2т(бх!), (4) „=о где (б) доказательшпео.
В самом деле, если а' = д -~- й!у, то А = А аллее л. Принимая 1+ т за новую перелгениую суммирования т', получим Лемма. Прп А, определяемых (б), соотношение (4) остается е сале, если пределы суммирования (О, й! — !) заменить иа [гп, И вЂ” !+ го], где т — любое целое. Глава 4. Приближение функций и снежные вопросы 172 Поскольку в узлах сетки ехр(2яй1'х~) = ехр(2я!дх~) согласно (2), то в совокупности имеем Ае ехр(2я1дхд) = Ас ехр(2яи/и,). Таким образом, при А, определяемом соотношением (5), функция Аеехр(2я!дя~) является периодической по д с периодом 1Ч и, следовательно, сумма л — гы Аа схр(2х)дх~ ) не зависит от т и говпадзет с (ь Лемма доказана.
Если с самого начала была задана функция, определенная только на сетке, то на ягой сетке ес можно шкжс представить а форме (Ц. Дсйсгвиттлыго, такую функцию можно продолжить иа всю прямую, доопрсдеаив ее между узлами сетки путем линейной интерполяции. Для непрерывной кусочно-дифферепцируемой функции выполняется (2), поэтому в точках сетки после приведения подобных членов получим (4). Определим скалярное щюизасденис дла функций на снгкс следующим сбрачэм: (Множитель 1/17 введен для еогласованности получаемых соотношений с нытрерывиым ~лучком: если Ди) и д(х) —.
непрерывные функции на отрезке [О, 1), то всхгдствие интегрирусмости Дх)д(х) по Риману г! (1, д) †> / Дт)д(х)с(х э при И вЂ” ь оо.) Функции дг(тч) = ехр(2я(дх~) при О < д < г1 образуют ортонорл~ированную систему относительно введенного таким образом скалярного произведения. Дей[твитеэпно, (дю д.) = — у ехрх 2т1 — 1ь. йс При д И' у, суммируя гелметричсскую прогрессию, имеем 1 ехр(2я1(г1 — ))) — 1 (д,д)= — .
=О ехр ) 2я1 ~ — 1 (при О <ч д, д < йг, д ф 1 знаменатель отличен от О). Поскольку (д„, дг) = 1, то в итоге имеем (6) (диду) =б', ри О<а у <йГ. туз г 3. Тригономегрическа» интерполяция хьплолкая (4) скелярно на д, получим равенство У-1 Ал = (л, дл) = — ~ ллехр( — 2»!)хл). Ж 1=О (7) Выражение в правой части облратгет квцпратурпуло сумму для инте- грела 1 Их) ехр( — 2»лгх) фс, о г' Ал -+ ал = / ((х) ехР( — 2»лдх) дг; о при пл -л оо и фиксированном уб Покажем, что соотнолпение Я-1 Г" (х) — ~ А ехр(2»лфх) .71 2' Адех1: (2»Щхл).
— ллг<дйкдл (9) Если 1'(х) — достаточно гладкая функция, то величины )а ) с ростом 1 убывают быстро, поэтому Ад — ад при малых д. Кроме того, при гладкой Дх) величины Ад и ад малы прн больших д. Задача В Пусть 1'(х) непрерывно дифс)клренцируома. Доказать, что шах) Г"(х) — ) Алехр(2»лдх)~ -+ О [о,л) ( — иуг<дц луг при Ж -+ со. Напомним, что зто приближенное равенство абралцавтси в точное равенство в точках сетки. Споснбл аппроксимации функции ) (х) ) Лдехр(2тдх) -луг<дплуг носит название триеокомегаричелхоа интерполяции. Соотношение (9) на зывшот каиечимм или дискрелпимм рядам длррье, а коэффициенты Ад— дискретными коэффициеипш.ии лйррье.
в общем случае пе имеет места. Пусть 1'(х) = под-о лехр( — 2»Ь). Из (4) получаем Ао =- ао, Аа 1 = а 1, остальные А = О. Таким образом, правая часть (8) есть ао+ а лехр(2»1(лл1 — 1)лг). Она совпадает с 7(х) е точках лл, ио, как правило, далека от нее вне этих точек. Воспользовавшись утверждением лемллы, перепишем (4) в виде Глава 4. Приблил<ение функций и смежные вопросы Игг<орирование установленного нами факта о равен<шве функций ехр(2худ<х) и ехр(2я1дзх) в узлах сетки при д< — дз = йду часто является источником получения неверных с<ютношений. П ри решении о<щей инженерной задачи потребовалось определить первую собственную частоту колебаний коисгрукци». Было принято решение написать несшциоиарное уравнение, описываю<псе процесс колебаний, вывести иа пе.шть график и из расслшгреш<я графигш определить частоту.
СУ нгвогс п<уюп<ее уравнение, которое ыы условно будел< обозначать х" =- Р/х), рспшлось методом коночных разностей. <2<<я контроля иэд надежностью ршультата щюизводилш повторный расчет с вдвое меньшим <паюл<. Графики кривых, полученных в результате расчетов, совпали с то и<остью до 10 </ь Однако из сравнения с эксп< римеитом окк<алось, что полученная частота отлкчаегся ог ястпниой в десятка раь Причина недоразумения заключэлэсь в том, что гр<к)<ик решения строился с шшом 1/1У, «ущественио болыпим периола колебаний решения задачи. Решение было близко к функции гопэс.
ехр12т141), где д/Уд близко к четному числу 21. Поэтому как иа тетке г шагом 1/Ю, так и на вдвое более мелкой с шы ом 1/(2Ф) получался график одной и той же фупкцив сонэ< схр)2х1<д — 21 3<)с). В прутом <яу <ае несоотв«" стэне со здравым гмыслом возникло пр расчете диву грамл<ы направленности антенны. Прсдприниь<авшиеся попьпки найти ошибку в программе, методе решения или физичш оком описании зад чи не приводили к полож<нельиому результату. Объяснение оказалога шм же: график сильно к<л<сб<люи<ейся функции выдавал<» ва очень редкой сет- Ь.
ке. На рис. 4.3.1 сплошной кривой <счображеи реальный график течение Шн<граь<ь<ь< О направленности, пункти1юм — график, ко- <орьп< стронпсв пугал< ивтероолвцив полуРис. 4.3.1 чениых расчетных зпачеяий х и противоречил эксперимевту. Существует с<ютвегствие мелслу задачей приближения <рункций линейными комбинациями многочленов с!обышева и тригоноьютрическими многочленами. Пусть на отр<юке [ — 1, 1) функция //х) приближвецм ли- т — 1 нейными комбинациями ) п.Т 1х).
Замена переменных т = сох1 сводит э=о исходную задачу к задаче приближения функции /(сов 1) линейной коы- — 1 — 1 бинацней ~ а.Т 1соэт) = ~аусоэ111). ,=о э=с Справедливо равенство (/, р) = ~~~ = 1 // в)р/ в)ав. З 4. Быстрее преобразование Фурье Следовательно, задача наилучшего приближения 1" (х) в норме, соответствующей скалярному произведению (у, 0)„эквивалелтва задача приближения 1(соэ0) в норме, соответствующей скалярному произведению г (у, у)з = / у(сов 0)0(сое0) 00. Точно так же существует соответствие е в случае задач интерполяции в наилу ~пего приближения в равномерной ыетрике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
