Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Литература 1. Крылов В. И., Бабков В. В., Монастырный П. И. Начала теории еычвслитсльных методов. Интерполирование и интегрированна. — Минск: Наука и техника, 1983. 2. Крылов Б. И., Шульгина А. Т. Справочная кявга по численному интегрирав»- нню. — Мс Науш, 1966. 3. Крылов В.
И., Войков В. В., Мовастырный П. И. Вычвслнтге~ьные мстслы. 751.— Мс Наука, 1976. 4. Мы~инских И.П. Интерпсляцнонвыс кубатуриые формулы.— Мс Наука, 1981. 5. Никифоров А. Ф., Суслов С. К., Углров В. Б. Класкичсские ортогональные поли- номы двскретной переменной. — Мс Наука, 1985. 6. Нг1кифороа А. Ф., Унаров В. В. С1гециачьвые функции. — Мс Наугл, 1979. 7. Николы кнй С. Ы. Квадратурные формулы. — Мс Наука, 1979.
8. В!гас|6 А.Н. апй Вгтпьт Б. Савве!ап Чпадгагпге Рогшп1ав..-Епй!еисаб С!ВЬ, Х. Ус РгепйсхьНай, 1966. Глава 4 Приближение функций и смежные вопросы 'Ф' Непрерывная функция не всегда может быть хор!ало приближена интерполяционным многочленом Лагранжа. В частности, последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа по равноотстоя!цил! узлам нс обязнге!пно сходится к функции даже в том случае, если функция бесконечно дифференцируема.
В тех случаях, когда шюдимсхггь имеео ыссто, часто получение достаточно хорошеге прнближеиия требует использования полиномов высокой степени. В то жс врелгя, если для приближасмой функции удаигся подобр1жь подходящие узлы интерполяции, то !тглень иитерполяциониого многочлена, приближающего функцию с заданной точностью, может бьггь значительно снижена. В ряде конкретных случаев целм1сюбразно приближал, функщпо не путем интерполяции, а путем по!троепия !вк называемого иенлуилсге прнблпэюсния. Прзблемы, связанныо с построением пеплу ппе!и приближения, и будут рассмотрены в нжтаягцей главе.
В 1. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве сформулируем задачу построения наилучп!его приближелия на абстрактном языке. Пусть имеет!я элемент» линейного нормированного про!транства В. Требуе!ся найги его наилучшее приближение яинейной ком- бинацией ) с.д данных линейно независимых злемен!ов д1,..., дч е В. 1=1 Эта означает: найти злемент 1 с д.
такой, чю т с 1=1 — стп = сг = пК ~» — ~с!!д ~. 1=1 1=1 По-другоыу зто можно обозначить слелующнм образом! сз.ду = агй 1и» )!» — ~ сгд!!~. 1=1 1=! 166 д 1. Наилучшие приближение Если такой элемент сущегтвуег, то он ивзыввнгся злемснншлг нанлучпгего прпблоясеннл. Теорема. Элачеяш наеду пеево нрпблшгсення существует. 2(оиагашсвьсгпво. Вследствие ыютношений (следствие из неравенства треугоньника) ) !)~-~:сгд ~Н~~-~11" (() ~ )~-(сг-сг) ~)( <):lс- с!)~0(! 1=1 1:=1 л=! функция Ру(сг,..., с ) = )1 — ~с,д )) п=1 является непрерывной функцией аргумевгов с цри люГюм ) б В. Пусть ~с) — евклидова норьг» вектора с = (с1,..., с„).
Функция Ро(с1,..., ся) = ))сгд1+ -~-сидя(( непРеРывна на еДнннчной сфвРе (с( = 1 и, слсДовательно, в пскотогюй гш точке (с1,..., с„) достигает своей нижней грани Р по сфере, причем Р р О, так как равенство Р = ((сгд1 й- ° -1- с д,Д = 0 прогнворечит линейной ншавнслмости элементов дг,..., дя. Двя любого с = (сг,..., с ) р' (О,..., 0) справедлина оценив ))сгдг+ + г„у )) = Ро(с1,..., с„) .=)с~Ро —,..., — > !)с~)Р. ~)с(' ' (с(/ Пусть у > 2(ГГ"((Г'Р.
Функция Ру(сг,..., с„) непрерывна в шаре )с( < у; следовательно, в некоторой точке шара (сг,..., с„) она досыпает своей нижней грани Р" по пгару. Имеем Ре < Ру(0,..., 0) = ()))(. Нне этого пгара вьшслняготся соотношения Ру(с1,...,с ) >()с1д1+ рс„д (! — (Л > >()ИИЛ)))Р))-Ы=Ы> '. Таким образом, вне этого шара Ру(сг,..., с ] > Ро = Ру (с„..., г ) при всех возможных с1,..., с„. Теорома доказана. Элемснгов наилучшего приближения, вообще говоря, может быть несколько.
Пространство В называется сн рого нормнровонянм, если нз условия ]]у+д))=)я+()д(), )(д,)(д)(йо следует у = ад, о > О. Задача 1. Доказать, что в случае строго нормированного пространства В элемент наилучшего приближения единствон. Глава 4. Приближение функций и смежные вопросы 166 Задача 2. Доказать, что пространство лт((0, 1), д(х)), д(т) > О почти всюду, с нормой (У((,= ~/ И.П д(.)' строго нормнровагшое при 1 С р С оо. 1'асгмотреть отдельно про«тейший случай гильбертова пространства р = 2. Е 2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы, воаникающие при его практическом построении Для гильбертова пространства алемент авилу ппего приближения единсгвсн (см.
задачу 1.2) и проблема его нахождения формально сводится к ранению системы линейных уравнений. Наиболее простой способ получения этой системы елеглующий. По определению коэффипиенты о, элемента наилучшего приближения реализуют минимум выраженвя 2 Эг = )(( — ) а дг(( = (1 — х~о д., ( — ) суд.).
2=1 2- ! Приравнивая нулю производные оо Веа, и 1шао получаем ягколлую систему уравнений для оглредгленяя оь Вглелсгвие существования и едкилжвенносгн элемента наилучшего приближения, этв сисмма имеет единственное решение. Построим эту систему я исгледуелл вопрос о единственнсс."ги ее репк, вия несколько другим способом. Дяя ллрасюты изложения огралшчимся случаем вещественных ! и д .
Пусть аг — — ог + л!!з и,, Д вЂ” вещественные *лисва; имеем ~ — ) агдг ( ") 2=-1 1 — ) о.д.) — (ЯЯд . Положим ф(о„..., о„) = ((У вЂ” )"о,д,)) . 2=! Если (л и 22 вещоствевны, тп ((Л +лЬ((2 = Ул + 122, Л +лЬ) = (Л, Хл) + !Уг Л) — лУ1, 22) -!- У2 22) ((Л() + )(22)( поэлолг!' (~ 1 — я аг д ~Ц =- )( у — ) сг у (( + (( ) /))у д . (( . 167 12.
Наилучшееприближение вы!льбертовом пространстве Оогласно (1) имеем равелство з Ф(о! о ) Ф( и о ) Ф !)ЕЕ!61!))! 1.=! Отсюда следует, что 1пг Ф(о1,..., о„) > 1п( Ф(о1,..., о„). В то же время !ПУ Ф(О1,..., Он) > !ПГ Ф(О1,, О ), !... 1,.— (3) 1ог Ф(О1,..., ан). В точке минимума должны выпслнвться условия дФ/даь = О. Имеем — =- ( — д1„., ~ — ~ е!1у;) -!- ()' — ') 11!ум -да) = -2(Х вЂ” ) оздг, дг) = О. ВФ доь 1=1 1'= ! у -1 Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно коэффици- ентов 11, = а, соответствующих элементу наилучшего приближения ;,"г о (у дь)=((.уь), 1=1"-,- 1=1 (4) Задача 1. Доказать, что коэффициенты о, соответствукицие элементу павлу*плато приближения, являются решением (4) и в том случае, когда У и д.
не обязательно веще!тесины. матРица с = О(д1,, дн) = [(У, дь)) называетсЯ машРицеб 1)лоно системы элементов д1,..., д„. Поскольку (дз, уь) = (уы уз), го матрица Грама являем:я зрь!итовой. Лемма. Если зланенты у1,..., д„линейно независимы, и!о машрица Ов полооюишельно опумделено.
Досазашеаызлео. Пусть с = (с1,..., сн) — произвольный вектор с веще- ствениыыи компонентами. Имеем равенство ~~~с!у!)))! = ~Д с дз, ~ сьдь) = ) с сь(дз, дс). 1-1 1=! Ь=1 1,1=! (б) поскольку в правой части берется нижня» грань по более широкому мно- жеству всевозможных паралштров о1,..., аи, а в левой- по множеству веще;твенных параметров. из (2) и (3) слнлусг, что гкходная задача сводится к пахожцевгпо Глава 4. Приближение функща и смежные вопросы »68 Последнее выражение совпцданг с (С„с, с), поэтому 2 (С„с,с) = „Деьд,~~ >О. <=! 2 Если влеыенты д. линейно независиыы, то ~~~с»д!! .= О только в пщ »=! случае, когда все с! = О. Таким образом, (С,„с, с) > О, ехаи с Ф О, н согласно определению матрица С„ яваяет<я положи<ельно определенной.
По<кольку матрица С пеножнтельно опредш<ена, то ее определитель отличен от нуля н, следовательно, система (4) имып единственное решсане. Задача дь Доказать неравен<шво С(д„..., д„,,) < С(д,,..., да)(д„„,, д„„). При практическом приближении функций нужно проявлять осторожность при выборе системы функций д,. Сказывается, что при неудачном выборе пекой системы вычн<шитгльная погрешность козффи<шгнзов а может достиг<та кап<строфиих;ких размеров, и с добавлением попых функций д„получаемое»наилучшее» приближение будет все хуже приближать заданную функци<о. Дело заключается в сяоду<ощем. Матрица С„прв неудачном выборе си<ггемы функций д имеет большой разброс <юбственных значений, т.е.
отношение максимального (по модул<о] собственного значения к иаимен! шему [по модул<о) велико; вь<чнсвительная погрешность при решении систем г, анкой матрицой возрастает по крайней мере пропорционшппо етому рвзбросу. Например, в случое отр<нка [ — 1, 1], веса р(х) = 1 дня <ясчвмы функций д. = х» ' рьщброс ссб<твевных значений матрицы С„прево<ходит а(х<2-~- 1)х"/и», где о, Ь -некоторые положительные постоянные. Более детальнь<й анализ задачи показывает, что в качество систем функций д. цепесообрвзяо брать системы ортонорл<ированных по <пношению к нгкогорому, возможно другому, скаларному пронзвгдсни<О, функций или в каком-то гыыш<с близких к пим. Если влементы д< образуют ортонормированную си<тому (ды д ) = 4<<, тъ система (4] приобротает вид а .=.
(1, д ). (б) Тогда ннилучшее приближение залисывщпх<я в форме д = '„ГУ, д!)д, <=1 и имеются следующее удобное щждогавленис,пня величины (]( — д)( ! в )У вЂ” д]('=-(Х вЂ” ~ »д», У вЂ” ~,д,) = У, У] — ~(,)'= У, У) — ~НУ д»])' »=!»=! »=! З 2. Наилучшее приближение в гильбертовом вростраиогве 169 Поскольку ))У вЂ” д))2 > О, то из равенства ))у — д)) = (У, 1) — ) )(у, д )) 2;Л следует, в частности, изыхтное неупееншлео Бесселя ( ~ ~ ) ) ~ ) ( ~ д ) ( 2 зы1 Если походные элел2снты не образуют ортонормированной системы, то, вообще говоря, их можно ортогонализавать при помощи рассматривавшегося В Гл.
8 алю1>итлеа Ортогонелизацан. Однако применение этого в 3- горитма Ш>вольно часто приводит к неудовлегворительныы ршультатам. Например, при построении на ат1хп«е ( — 1, Ц ортоиормированнай с весам р(х) > О системы функций из указанной выше сисчвмы функций хз будут получены некогорые орзаюнальпые многочлены Р (:е), сумма модулей коэффициентов у каюрых растет не медленнее чам («22 ж 1) п", где а опрсделяеп:я черен р(х). Если в дальпейпюм значения л2ноючлс нов вычисляются по явной формуле Р (х) — — ) аь х, ю из-за большой л=о величины 2уммы модулей коэффицие2пов будет большая погрешяость в значениях самих многочленов.
Для усюйчивого вы лишюния значений машачлапов нужно применить какой-то иной алгоритм, паирилгер вычислять их по рекуррентным формулам или по явным формулам типа Т (х) = гов(пагетоех) в случае многочленав Чебышева. Некаюрьлс более детальяые сведения по этолеу вопросу будут приведены в з 8. Пусть нам требуется приблизить функцию двух переменных Дх,д) в некоторой области С на плоскости (х, у). Явный вид арюгоиальных функций известен только для прогтсйших областей. Можно применить следующий прием. Впзьмем некаюрую область П б С, для которой известна ортогональная система функций, и продолжим У в области И)С. Далее будем приближать 1" в области С с помощью атой системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
