Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Система соотношений (2), (3) обрьюуег систему вз 1-~- 1 линейных алпбраичлюких ура»пений с 1-1- 1 нелглвестллылли, поэтому есть лхшовавия ожидать, что она имеет решение. Аналогия ллежду рассматриваемой задачей и задачей интерполяции позволяет найти с в явном влще. Пгрепишеьл (1) в виде Глава 3. Чисхеннсе интегрирование 150 Иногда применяют следующую процедуру численного интегрирования Задахпся некозорым числолз Ме и последовательно вычнсляют приближенные значения интеграла по формуле грапеций Г(>) = Б (Д прн Мь (з) отрезках разбиения: Мг = Ме 2з. Удобнее всего вести вычисления по Форлзуле и,, Мь х- ( + М вЂ” ( — А)) з=-е При каждом й после еьоогсления Язп () ) последовательно вычисляют (1> Ямь(Т), ..., Я, (у) по рекуррентной формуле (1) (ььг) Ем,У) =бзгаа(Х)+И >(Езб (Л вЂ” Еа, '1Я). Таким образом, последовательность вычислений определяется гхемой ер) б( > ф~) е(о зн и и ай (х> (2) (2) ом, оз(, оМз ~~з> ч((з> згз Еха Вычисления значений ом (() сбьшио продолжают до тех пор, пока () прн некотором й не окажется, что пп(п)лм (у) — Яхг (у)> < е.
Как правило, метод Ромбергз сущестненво уступает по зффектиености квадратуре Гаусса н методам интегрирования с автоматичоским выбо>юм шаш (см. з' 17>. Задача 1. Поююать, что 5 (1') ееп, результат применения правила Ромберга к значениям Яь. (>) ° .- ом (У) З 16.
Вычисление интегралов в нерегулярном случае (>ущественную часть реально всгречаюппзхся подынтегральных Функций составляют функции с особенностями, причем особенность можег сццержатьсл либо в функции, либо а ее произвсщной, или функции, производные которых очень велики. Если такая нерегулярность псщынтегральной 151 1 16. Вычисление интегралов в нерегулжгвам случае функции не вызвана колебательным характером <е поведения, то наплохой результат дают стандартные программы с автоматическим выбороы шага, которые будут обсужцпгьсв в з 17.
В случае расчепл лгахой серии интегралов с особенностями обращение к этны стандартным нрогрысмалс может оказаться паиболсс целесообрвзным сгюсобом репюиия зацюги. Для вычисления же бснгьгпой серии илнегралов с особеиноггялли необходимо привлечь исследователей более высокой квалификации. Укахшлс ряд приемов, которые могут оказагьсв панпнылси при расслюг ренин этих вопросов.
1. Выделение весовой функции. Пусть вычисчястсл интеграл У(х) гц где пределы сштегрироввння а н 6 лвхут быть и бесконечными. Представим иодынтегральнучо функцшо в вндг Л(х) = д(с)р(с), где р(х)-. доолатачпа просшя, а д(г:) — гладкая функции. Далее применяелс кывй-либо из рассмотренных ранее спосабюв еычи«ления иетегралов с весоы. Рассыотрим некоторые примеры. l' йг Пусть вычисляется нвтеграз / =. Представим г" (х) в ваде ' Х,Л:-:ж 1 1 1 где функция является гладкой. Функцию /1 Х г угу 1 можно рассматривать как весовую. Взад вшювой функции соат- усГ- хг ветствуст кяадрагура Мелера, часто иазываоыая квадратурой Эрлпнв. Пусть вычисляется / Л(х)с)х, причем Л(х) пожег быть предсгавлена в алцле д(х)х", где — 1 < о < 1, д(х] .
гладкая функция, д(0) Р О, при вычислении интеграла по формуле трапоций с паспхпшым шагом Н = Лу погрепшасть стремится к пугпо мгдлшпиж, чем Лу г. Огсип из возможных способов вычисления интеграла обращение к квадратурам Гаусса, соотвгтогвусощилс данной всхпвой функции. Уь Можно найти по "ути рвзбиенлш интеграла на чыти и вычисления шгнтраха по каждой части при полшщи построений из з 7.
Предсшвим интеграл в виде д(*) Л, Н = —. (г-Вн Лт Заменив функцию д(х) на интерпаляционный многачлен Р,дг(х) = дг((д — 1)Н) + (х — (д — 1)Н) . д(дн) — д((д — Пн) Глава 3. Чвслгнл<е интегрирование 152 получим г<л У = / Р( ~(~)~"4* =- . 1,— >1н Ньь< +з ' ( <д) ( <д) ( Н) (1) ( -. "' -- ° "') ) 1 — (1 - Мд)"<и 1 — 1/д - (1 — 1й)"+з'1 Сул<мируя и<> д правые шоти в (1), получим квадра<уру лля вычисления исходного интеграла. В ряде случаев будет удобнее положить д(,дН) = (дН) ДдН) и, таким обрв:юм, получить квадратуру, имеюшую вид л< У ж ~ Н(д, Н)1"(дН). (2) Задача 1. Для квадратуры (2) получить оценку погрешности сопз<-шах)дл(<))ЛХ (с,б Далее будут рассмотрены более простые па виду способы выч<кл<ь ния интегралов от функций г.
особенностями. Описанный выше способ аппроксимации интеграла по значен<шм функции на фиксированной, в чвспюсти, равномерной сетке обладает определенными преил<уществами в случае, когда задача вычисления интеграла представляет часть более сложной задачи, напримор при ршпснив интегральных уравпсний путем сведения к решению системы линейных ш<гебралческих уравнений.
Иногда необходимая точность уже достипзшся при замене функции д(я) па отрезках разбиения ца постоянную. В зтол< случае повагаел< — ,,Г р(х)р(<с) <)х ш д(Г<) 1 р(х) йх и квадратура для вычисления исходного интеграла приобретает вид > л ( р(х)р(к) Йс <е ) й(<<) / р(х) <1я. с < †> Задача 2. Пусть вычисляется интеграл у> д(.
)ь У = 11 — 0к, где Ь вЂ” мелос число. о " +х Показать, что при использовании форь<улы трапеций с постоянным шагол< а< — о > ы Н = М « го<ренн<ость оценивается че1ж< з 1б. Вычисление интегралов з нерегулпрнс>м случае Задача б. При ае — пе ! = Н квадратура (3) дпя этчпо интеграла име- ет вид м 1 = ~ д((у) (агссб ~ — ) — шсуб ( )), е=! где (у — ЦН < Су < ВН. Получить оценку погрешности )Нз!) < сю>ьч1, п>зх (у'(х)(М' !.
(е.>1 ' В рзссматрипаяшиксн зышо гчучанк «озффипие>пы «ваератур имею! еил С Р,(х)р(:г)дх, где !',(г) -зекоторЫс Многочлеаы, при юм зти нп>егралы еычясляштсл з иззом «иде. Длн ряда клаыон задач, глс зги интегралы не еычнщппсптл з зенон виде, может оказаться разумным аайтн зтз илтец>алы при помощи чиспеняого иптшрнроеания. Эта допапапельная работа опраедыеаетса, если пазу шешкстя >)юрнулы использу>отел многокршно, аапрнмер, при вычислении большой серяи пнтегралон, прн аычн>з>енин кратшек ш>тегралое как поеторныт (см.
гл. б), з также пря репкаин иптгграпьеь>х урзлнепий. 3. Пусть теперь нычнсляетсе г! 1 (1) = / ((>!.) екр((щз>) >(х, О Л! гул 1 = ~ 1е, Ез — — / ((х) ехр((щт) >1х, 1>- >)и для пычислеияя интеграла 1 применим квадратуру типа (7.2]. 4. В некоторых случаях подыитегральиу>о функцшо можно представить и виде 7(>с) = С(х)+д(х), причем ( С(х]дх берется и явном виде, >л а д(:с)- гладкая функция.
Пусть нычигляется интеграл !.! )их 1= / >"(х) 1т, >"( ) = (ог) Возьмем С(з!) =. 1пзс Тогда функпуш д(х) имеет вид х>1пх д(х) = — — —. 1 -1- хз где щ —.болыпое число, 7(х) .,постаточпо ш>едкая функция. Будем рассматрипать функцию ехр((их) как «е>т>зув. Пргдсшпим >пшограл з видо Глава 3. Численное интегрирование г! Величина / (дл(з)(гЬ будет конечна. и можно показать, но погреше (1 ность вычисления интеграла / д(я)г1» по формуле трапепий с постав янным шагом ач — а„! = ЛХ ! имеет порядок О(М»). '1тобы погрешность формулы Симпсона имела порядок 0(М ), !ледуот взять — 4 0(х) = (1 — х») 1пг..
— 1 В !!чучел /(и) =- (т. -!-б ) е', Ь вЂ” ьилое число, целесообразно взять 0(х) =- (Вь!чм/(г))(х — Ы) ' -! (Выч !„/(»))(т.у(а) Достигаемое здесь расширенне области аналитичности подывтстрщ!ьпой фупкцяи особенно эффективно при использовании формулы Гаусса. б. Другим способом устранения ос!гбонносги подынт!тральной функции является замела переменной интегрировшгия.
При замене перемене' ных з; =. р(1), у!(0) = О, 1»(1) = ! исходный шпеграл 1 = / /(з) <Рл е пргобрюуетси к виду ! / д(1)д1, е д(П = /(р(1)) р'(1). (б) где За счет множителя !д'(1) происхоаит устранение особенностей псдынте- гральной функции в отдельных точках. Произведя в интеграле (5) заме- ну поременной г. = 1, получим ! Лзсь — ! )н! 1 =- !(1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
