Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Примеры оптимизации распределения узлов рассмотрим примеры решения уравнения (11.6) для конкретных задач. Пример 1. Пусть вычисляется серия интегралов 1 / 1(Ь, х) йх, .о где 6-- параметр серии, 1'(Ь, х) = — хьд(6, х), -1 < Ь < 2, д(6, х)— гладкая фуакцня, д(6, 0) ф О. Если Ь ф О, 1, то втораз производная (6, х) не ограничена в окрестности точки О, поэгоьгу при выборе модельной задачи следует учесть эту специфику поведения гюдынтегральной функции. В окрестности точки х = О мы имеем .6: (Ь, т) =- 6(Ь вЂ” 1)х" 9(6, 0) + 0(х ). Таким образоы, в окрестности пзчки з: = О вторая производная 1". приблизительно пропорциональна второй производной функции у =- ха, поэтому функцию р = х естественно рассматривать в кшгестве модельной. Примем за г (х) величину (6(Ь вЂ” 1)) тэ з; тогда уравнение (П.6) запишется в виде ;з )6(6-1)(р з(У"У'~~ =Сы 1 г11 отсюда с 3 фЬ(6 — 1)) ьы 6+1 д ° = С,С+ Сз.
Из условия т(0) = 0 получаем, что Сз =. О, а из угловия Е(1) = 1— ьы = 1. т абра „(1) =Ь,г. и для модельной задачи вычисления интеграла )с х гбх оптимальг ь ным в рассматриваемом нами смысле является распределение узлов з ае —— ( — ) Проведенные вьпле построения, вообще говоря, неприменимы к рассматриваемому случаю, поскольку при получении оценки (11.4) предполагалэсь ограниченность второй проиююдной функции Р(х), не именвцая места длз данной задачи. Однако можно обосновать применимость оценки (11.4) и в рассматриваемом случае.
Глава 3. Численное ишмрв1юваиис 136 Задача 1. Пусть для функции где — 1 < Ь < 1, по формуле трапеций с постоянным шагом а, — ех ~ = 1/1У вычисляется (2) Доказать, что суммарная погрешность удовлетворяет соотношению Лн(/) В;(Ь)/ !х'~Ь, где П~(6) у! О. Задача 2. Интеграл (2) вычисляется по формуле трапеций с распредеэ лением узлов ол .= !э(д/!д), 1с(1) =-ЬйЦ определяемым (1).
Доказамь что суммарная погрешность удовлетвориьт соопюпсениса Лх(/) Юз(6)/Жз. Задача й. Интеграл (2) вычисляется по формуле трапеций с распределением узлов ае —— р(д/Ж), !с(1) =! . Показать, что при е > 2(6-!-1) суммарная погреппнсть йм(/] П(о, 6]/!хх. Проверить, что Ю(а, 6) > Вз(6]. Сравнение резулыатов решения этих задки показывает, ч ю перераспределение умюв в сторону большей их концентрации вблизи особенности, в часпюсти оптимизация распределения узлов, приводит к увеличению порядка скороспэ сходимссти.
1 х" (1и х)д(Ь,:с) дх, о где д(6, х) — гладкая функция, д(6, О] р' О, 6 — параметр серии. По- сшьльку Ьэх имеет особенность в точке О, тр кажется естественным взять в качестве модельвой функции р = х" 1пт,. Ее вторая п!юиз- водная имеет вид дл = хь х(Ь(Ь вЂ” 1) !п т+ (2Ь вЂ” 1)). При г (х) = ](ть1пх)л] уравнение (1!.6) не рыпается в квздратурах, пснтому упростим задачу. При х — ь О функция !их растет чзедленнее, чем любая степенная функция у = т. ', е > О. Исходя из этого в уравнении (11.6) возьмем Е(х) = отпей.хь з О при /в(т) = х при Пример 2.
Вычисляется серия интегралов Пример 3. Вычислиется серия интегралов х= О, х Е (О, 1], 139 112. Пряиеры оптимизации распределения узлов где. д(6, к) — гладкая функция, д(6, 0) э» О, 6 — параметр серии, который может принимать очень малые значевия. При малых 6 подынтегральнал функция и се производнме резко меняются в окрести!жги точки х = 0 за счет ыножителя ехр( — к/6), поэтому имеет смысл произвести оптимизац»по распределения узлов интегрирования Г' яа мсцельной зады»е вычисления интеграла / ехр( — т/6)»(х. Поло.с жим г(я) = )(ехр(-х/6))"). Уравнение (11.0) приобретает вид Ото»олл 1 — екр)( — — / = С»1+ Ср !» ! 26) Из условии р(0] = О следует, что С» = О, а из условия»»(1) = 1 получаем 1 — ехр( — ) = (1 — ехр ~ — — ~) с,, »»(1) = 36 (п ~1 — (1 — ехр ~- — ~) 1~ сткуда Пример 4.
Вычисляетсл серии интегралов ! ехр( — х /6 )д(6, х) с(т, е отк1 да »Х:Ю7~'1 (- '!и! -/еле!я Этот интеграл не вычисляется в явном ваде, поэтому попытаемся па 1. При больших значениях р/6, когда погрешность такой замены где д(6, х) — г»»цвкая функция, д(6, 0) ф О, 6 — параметр серии, который может принимать очень малые значения. При малых 6 подынтегрвльная функция и ее производные ршко меняются в окрестности точки л = О за счет множителя ехр(-ят/6э). Поэтому в качестве модельной задачи возьмем задачу вычисления интеграла ! ехр( — ят/Ьз) ох. Положим г (х) = ((ехр(-яз/Ьз))Я(; тогда в качее стае уравнения (11.0) получим уравнение )1 2рг/6з(ехр( д!з/дэ)(д„,/»(!)з С,дз/2 Глава 3.
Численное интегрирование 140 большая, ее влияние не столь значительно из-за малого множителя ехр( — 6«з/(36«)). После такого упрощения функция 6«(1) будет выражаться через функцию, обратную функции ( ехр( — в ) с)е. «е Задачи, подобные рассмотренным в примерах 3, 4, возникиот довольно чзс«сь Например, при расчетах диырамм напраеленвосги антенн еы «исзяются се«' рии инге«рэлоь / ехр(«ЬЛ(6, х))Ь(Ь, «) 4«в широком диапазоне изменения Ь; е функпии Л(6, х), 6(Ь, з) являются довольно глвдкимн. При Ь ие очень больп«их эти иншгралы могут вычисляться с полющью простейших кеадратурнь«х формул. С ростом 6 производные подынтегральной функции растут, поэтому «ребуемое количество узлов интегрирования увеличиваетс««.
При очень болыпих Ь можно воспользоваться методом перева:«а илв иными асимптотичегкими методами. Однако для «промежуто*нп«х«значений Ь оба жи меюда будут плохи: первый — из-за трудоемкосги, второй - нз-«а малой точности. Поэ«ому иногда применяют следующий метод: контур интегрирования преобразуется «ак, чтобы он прохсдю«по линиям наискорейшего спуска функции ехр()Ьу(6, з)), как э«о делается при использовании метода перевала. Получаются иншгралы от резка меняющихся функций, аналогичные рассмотренным в примерах 3, 4.
Из приведенных примеров видно, ччо оптимизация распределения узлов интегрирования на основе уравнения (11.3) требует достаточно высокой квалифиющии исследователя. Позтол«у далее в 3 17 будет рассмотрен вопрос о передаче этих фунхцпй ЭВМ. 3 13. Главный член погрешности Применение формул для оценок погрепшостн, подобных полученным в 3 2, 3, требует достаточно высокой квалификации исследователя, например для получения требуемых оценок производных. При получении ряда нз этих оценок, наприыер оценок для составных с)юрмул трапеции и Симпсона„вспможно существенное загрубленне оценки, поскольку общая оценка погреппюстн равна сумме модулей оценок на отдельных отрезках. Эти обстоятельства определили интерес к получени«о выраждния для главного члена погрешности. По информации о величине главного члена погрешности можно полноценнее проводдть сравнение методов.
Как будет вцдно далее, сам факт наличия главного члена у погрешности яозволяег судить о реальной величине погрегпности, не прибегая к теоретическим оценкам. Обратимся к составной юшдратурной формуле гн трапеций вычислении интеграла у(1) = / у(я)о«х с постоянным шагом А 141 2 1З.
Гневные член ветре!лис«ти Н. Для удобства обозначим Н = ( — А)1'М, а = А+4!11, в частности се = А, «ж =- В. Имеем 1(!") = Ям(!') = — Вмз(!') = Е1 (1 —, + Е(я!) + - + Е'(оы-!) + ЕЕ(ле) У(вы) > Согласно 2 1.2 справедливо рввегштво Е( ) А" =. 111(~4 !) +Е(~~) ~4(б~)112 Е(.,)А"=.и "' '- —, б ( >л) 4„! Просуммировав по 41, получим м Нз Н(Х) = -~Хв(бг) —,, 4=! У(х) Ах = В44(Е] + Й(Е), Величину погрешности Я[1) можно записать в виде 112, ВЯ = — ч((), 4(1) = ) Н)в(бе).
4=! Выражение в праной части егть квадратурная формула для интеграла м Ев(х)Ат, поэтому при Н вЂ” ! 0 имеем 4 !(Е) -! / 14(х) 4ех. Следовательно Н2 !'м Н(Е) Ев( ) 1, +Н у) Н у) (Н2) а Полученное соотношение Лля Н(1) может использоваться в различпык Целях. Например, его можно пред>навить в виде Нт Н(Х) = — — "У (В) — Х (А))+о(Н2). (!) После вычисления 14(В) — 1'(А) получаем значение главного члена погрепвтости.
Предполсоким, что достижгутая точность не является удсалетворительной. Запишем (1) в виде Е(~) В4 (4) ->- о(Н2), Задача 1. Пусть ),(4~!(х)( < Мз па (А, В]. Показать, что в атом случае )Нг(Е)( < сзМ4( — А)Н2 Задача 2. Пусть !> Е(4>(х)! < М4 на отрезке (А, В). Показать, что )114(У)( < с>М4( — А)Н4. Глава 3. Численное интегрирование 142 где Не В~ (1) =Вам(()- Н (у(В) -у'(А)).
12 как следует нз решения задачи 2, при (г(е1(х)( < ме выражение оьг(Х) окъзывмптя квалратурной суммой с погрепшостью О(( — А)Н4), т.е. такой же по порядку, как у формулы Симпсона. Можно попытаться выделить главный член погрегпности получившейся формулы. Имеем равенства о4 (() ~ 3(() и=-г ,(У) — — Ш,-г) т П~,)) — —,(У (ач) — У ( юч)). Величину еее(() будем рассматривать как приближенное значение инте- грала Хе(,() = ( 7(х)бх.
зм ыг Гу) = Вп((), Вз'(() = Вз,у) — ~. 7„Нз (у(з -г)(В) - ГГз -г)(А)) г=г с оценкой погрешности 1(() — Язмг(() = — 7зсг(з'1 (сн)( — А)н". Существует следующее соотношение, которому удовлетворяют числа Гр (2) Обычно прншпо записывать числа г в виде Вгту1, где Ву — так называемые мела Бернвали. Для сведения приведем несколько значений чисел 'Гг: 1 'Уе = —, 30 240' 1 Гге 47900 1бО 1 1 З10 б00' 1 те = 720 1 уз 12' подставляя в разность 1е(1) — е~(г) предсгавлелие ((х) в виде отрезка ряда Тейлора, можно получить главный член погрешности на элементарном отрезке в вице — 111(1 ) н т.д. 4 4 720 Продолжая процесс вьгделепия главного члена погрешности, приходим к последовательности геадрашрркмх формул Эйлера 143 113. Главный член погрешности Исполазавание форыуи Эйлера неудобно, поскольку необходимо вычислять не только значения функции, но и значения ее производных.
Однако, если в выражении ЯдЯ) заменить прсэсзвсдпые ургэ 0(А) н усгь ~1(В) производными интерполяциониых многочпенов степени соответственно с уэлшси оо,, ас н оэ,..., эн ь то при 1 = 2р — 3 и 1 = 2р — 2 после проведеивя промежуточных омобрезовлннй получаются формулы "пилеэпого птоегрпроеаэил Грешрп Ту) — Сгэ, а, СлгУ) = Б~мУ) — В~.М~'7(огг) — ( — 1)'г1'Лоо)) где В частности, 276 24 192 1 1 19 3 863 Рг= —, А= —, Рэ=- —, Ре= —, Рэ= —, 12' 24 ' 720' 160' 60480' Задача 3. Доказать, что главный член погрипиости квадратуры ГрегоР 1(() = ам(У) ., В,,ныг((0+0(В) — (-1)е~'ф(ы'1(4)).
гг Задача 4. Пусть / 7(к)с(к вычиспястся по составной формуле трапе- .а ций с переменным пгагом интегрирования: ое — — уг(9/гс(), где уг — гаадкая функция. Доказать, что главный член погрешности есть гг — — Х'(ч (1)Нэ (1))'41 а уснаэаппе. См. построение 6 11. В случае подынтегральных функций с нерегулярным харакшром поведения, типа рассмотренных в э 11, применение формул Эйлера и Грегори неэффективно, поскольку промзводныс высших порядков или не ограничены, ивв очень велики.
Поэтому при непосредственном вычислении определенных интегралов эти с)юрмуэы в настоящее время применяются редко. Однако оии используются при интегрировании функций, ааданных зэбпично, при вычислении неопределенных игпегрэлов, при решении интегральных уравнений Вольтсрра н других задачах, где существенно, чзпбы значения подынтеграэьной функции вьгсисляпнсь именно на равномерной сетке. Глава 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
