Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Казалогь бы, что поскольку есть почти огнимальные методы, то следующим этапом должен стать перевод всех програмыных комплексов интегрироваиия иа использование этих методов. Однако подобнос утверждение нельзя рассматривать как бесспорное. Вследствие большого многообразия задач, требующих репгения, при переходе к этапу внедрения мешдоэ в практику всегда следует проявлять известную осторожность.
Нельзя полностью ручатьгл, что привятос нами описание классов этих задач наилучшим образом соответствунг классам реальных задач. Например, сведует призвагьэ что классы С„плоко описывают реальные задачи. Конечно, из-за привычки к традиционным методам внедрение новых методов обычно требует энергичных действий со огаревы их приверженцев.
В то же время надо иметь в виду, что шврые методы прошли испытание временем и могут оказатьсл более пригодными двя решении задач некоторых классов, поэтому отбрасьпшние старых методов должно производиться лишь после достаточваго теоретического и практического авалгша. В случае рассматриваемой проблел~ы оптиыизации методов интегрирования на практике еще до полногп выжиения вопроса об оптимальности методов пришли к следующилг заключениям. Глава 3 Чнсзеннсг внтегрвровэние 1йг 11ри разбиении исходного вершка ингегрировавия на одннаковыс элементарные отрезки ае — ае г = Н мы поаучавм инфорыацию о нодынтсгральной функции равномерно по всему отрезку интегрирования. !3 то же время пцлынтгтральная функции может быть более гладкой на части отрезка интегрирования, поэтому пьч следует поместить относительно небольшое количество узлоп, т.е.
длн практически оптимальных лпподав разбиение отрезка интегрирования на ююти должно быть приглособлено к специфике поведения подывтегральной функции. Рассмотрим возможные постановки задач распределения узлов в зависимости от особенностей поведения производной подынтегральной функции. Эти постановки имеют много общего, однако для конкретных задач тот илн иной подход иногда окааывээггя более удобным. Для просюты изложения мы будем проводить рассмотрение на примере формулы трапсцггй.
Пусть вычисляется интеграл и подынтсгральная функция удовлетворяет условиям ~/Я(т)~ < А~ на отрезках [В~ з, В~), 1 = 1,..., д, где О =- Во < Вг < " < Ве — — 1. Лля вычисления интегралов гя, 1~(/) = / 1(в)йз .в,, применим составную формулу трапеций с рваными отрезками разбиения длины Н~ = 1а(ИО где 6~ = В~ — В~ Ц 1) ы В,(() = Н„( + ((В,, Ч- Н~) + " Ф О(Вы, ) ((В~) ( 2 2 ) Из результатов З 3 следует, что остаточный член оценивается величиной А~ба/(12Ж~~). Тогда суммарная погреппггють при замели. 1(() суммой ) Я~(~] не превзойдет величины 1=-1 е Фбз 12Л'т Поставим задачу: при заданном числе И = Жгр.
+Не отрезков разбиения распорядиться выбором величин И~ так, чтобы сукмарвая оценка погрешности Ф была минимальной. Найдем минимум Ф при условии Ф = Иг Ф ° ° ° Ф Не — Ж = О, ие предполагая пока, что величины Н~ целые. Приравнивая нулю произвсдныс функции Лагранжа Ф Ф АФ, получаел~ систему уравнений В(Ф+ЛФ) А Ь, — — = — - — ~ + Л = О. ОН~ 6Нз 1 11.
Оптимизация распределения узлов Отсюда Л"1 = Ь1 г',) —. — 7бЛ Из ус2ювия Ф = О получим следующее уравнение относительно Л: ) ь„',) — '=л. 1=1 Нз этого уравнения определяем Л и затем из 11) находиь1 Ль Поскольку Л1 должны быть целыми, то возьмеьг, например, 12) Очевидно, что Л вЂ” о<Люб --1-Ле<Л1.
Мы не нашли настоящего минимума Ф по множеству всегюзможных целых Л11,..., Л ю удовлегворяхлцпх условию ЛГ1 Ф + 612 —— - Л1, ошгзко дальнейшее уточнение вряд ли разумно. Обычно практический интерес представляет другая вариационная задюга1 найти лгинимальное значение ЛГ = Л11 Ф ° ~-ЛГе, при котором оценка погрешности Ф не превосходит заданного с. Поскольку Ф монотоняо убывает с ростом величины Л11, достаточно ограничиться случаем Ф = с. Возьмем функцию Лагранжа в виде Приравнивая нулю ее производные по Лп 1 = 1, 2,..., д, получим те же ,/А, уравнения 1'1)1 подставляя значение Л11 = 611) —, в уравнение Ф =- е, по- ')) бЛ лучим Лз/3) ( ) 1=1 Определяем Л, а затем соответствующие Л11.
Соотношения для определения величин Л'1, получившиеся прн рассмотрении этих двух задач, имеют одинаковый вид. Поэтому для вывода качественных рщулшатов сб оптиьшльпом распределегпги узлов достаточно была бы ограничитьси рассмотрением одной из этих задач. Нашей целью является разработка оптимальных методов решения и Разработка на их осяове систем программ решения типовых математических задач. Можно представить себе программу вычигления интеграла с заданной точностью, рабопиощую по следугощей схеме. Производится вычисление габлицы значений функции на некоторой сетке Глана 3. Чнслепнсе интегрирование хь,..., сзи По этой таблице составляется таблица разделенных разностей У(хс; хь; хг),..., ь" (хи з; х„ь; хи). Из рассмотрения этой таблицы делается вывод о наиболее целесообразном разбиении отрнка на части [Вь ь, Вь] и значениях Аь, соответствующих этим частям.
'Затем, в соответствии с (1), выбираются 1'зь н щюизеодитс» интегрированна Болыпиььство алгоритмов реально работшощих стандартных програмль базируетсл не на чаком непосредопьенном использовании полученных соотношений, а на одном качественном выводе, являющемся следствием (1). Дпьь этого перепишем равенство (1) в виде 1 г — Аь(бей)з = —. 12 2 Левал часть этого выражения равна оценке погрешности по элемевтарнольу отрезку интегрирования длины Ьььььзьь, на которые разбит отрезок [Вь ь, Вь]. Таким образом, это соотиоьиеиие огиа шет, ааьь при опатмаеь,.
иом роспрсдемюаси узлов интегрирования оценки ььогршььностейь, приходящиеся иа глемвитариис отрезки интегрирования, дамошни бить одипиковыми. Для получения этого вывода достаточно было ограничиюия случаем й = 2. Эзо обстоятельство подчеркивает общее свойство качественных характеристик методов реьпення задач (не обязательно математических): длм их полрчсьпььм доститочио ограиичигаьсм рассмотреиьмси прошаейьиих моделей, учитывающих осповиис спюронм мвлетис Как правило, авьоритььяц основанные на качественных выводах о свойствах решения оптиььиэационной задачи, нмевзт более ьиирокую область ььримеиеиил, чем алгоритмы, подобьььяе выппюпнсавному, осповывшощисся на колнчественнььх соотношениях. Описываемые далее программы вычисления интегралов, основывающиеся на этом качественном выводе, позволяют вььчислять с высокой скоростью сходнмости интегралы от функций с регулярными особенностями типа х", а > -1.
Рассмотрим еще одну, близкую постановку эедачн оптимизации распределения узлов интегрирования. Чтобы яе утомлять читателя второстепенными дегалями, мы не будем проводить пцпробных оценок членов высшего порядка а оценке погрешности. Пусть отрезок интегрирования [О, Ц разбит иа части [а ь, а„], о = 1,... „ььь, ао = О, ал = 1, и инпхрал по каждой части вычисляется по формуле трапеций с а — а 1е(.() = / Х(х)дхюгзД) = — ' — е (1(ае-ь)+Иаз)). 2 Тогда иььжграл по всему отрезку [О, 1] вычисляется по формуле 111. Оптимязапия распределения узлов г оценкой остаточного члена л (о — )э г = ~ ~пах (( (т)( — ч (3) пусть известно, что )1~~(х)) < Р(т) на (О, Ц, где е(я) непрерывна„н пУсть в кю~естве ат ванты чначениа 1э(4/Ж) непРеРыано ДиффеРенпЯРУ- смой функции ьь удовлетворяющей условиям фО] = О, й(1) = 1.
Поскольку' о — о ~ =Р1 — 1 — Эз( — / — — 1э ( — ! — +о~ — ~ ори 1у-ФОо, шах (У"(х)(< шах Р(Я) = Р(ае)+о(1) = Р (1о( — ))+о(1). ('я-ьМ ( -о Ч) )у Из этих соотношений получаем Подставляя послодние иютногпения в (3), имеем Выражение в фигурных скобках является квалратурной суммой Римана Лл» интеграла )зри(1)) от иепрврывной функпди. Следовательно, 1 (/'(~,(1 )з РМ(1)) й1),.
( 1 ) Рассмотрим задачу минимизации первого, главного члена выражения (4). Для удобства решении уравнения Эйлера примем за независимую переменнуго функцию й. Тог;иа коэффициент при 1/Жз в главном члене погрешности запишется в виде 1 / Ф(р)Г' —,А' Уравнение Эйлера для функции, минимизирующей функционал 1 / С(эх 1, 1')41, а Глава 3. Численное интегрирование 136 имеет вид (5) В рассматриваемом случае дс/дг = 6, псптому из (5] имеем дс/(й' = сапам Подставляя конкретное значение функция С, получим (х (1э)) ' — = сопзь -з РМ) 6 или (6) Общее реппшие этого уравнения зависит от Сз и ице от некоторой постоянной Се.
Значения этих постоянных можно определить из граничных условий р(0) = О, 1е(1) = 1. Репюние рассмотренной вариациогпюй постановки может практически использоваться различными способами. Например, в случае гладких функций /(х) программы осуществляют численное интегрирс~вание (6) на сетке с псагом, существенно болыпим 1/М, н затем распределяют узлы в соотвептвии с полученным решением.
Из соотношения (6) можно сделать тот же вывод о равенстве оценок погрешностей на элементарных отрезках интегрирования прн оптимальном распределении узлов. В самом деле, умножим (6) на зпх, положим 1 = р и заыгним Р (д (д~)) и йад'Я) соответственно вквнвалентными величинами шах Р(з:), сй — а,. В результате получим (ьг- «) шах Р(х) (аз — ав,)з С, (ь-1 И 12 1277з (7) Другой нз возможных путей практического использования решения уравнения (6) состоит в следуюгцем. Пусть требуется вычислить большую серию интегралов с одинаковым юграктерным поведением подынтегральных функций.
Выделим простейшую модельную функцию, дпя которой задача оптимизации узлов можвт быть решена в явном виде, и далее будем производить интегрирование с расгсредслгнием узлов, гогпвгтствующим этой функции. Если характер изменения функций из рассматриваемой серии зависит ст некоторого параметра, то эчит параметр следует учесть при выборе модельной функции; естественно, что модельная функция не обжзаттлыго относится к рассматриваемому классу. Чем большее количество задач предъявляется для решения, тем белее оправданвьпзи могут быть затраты, связанные с удачным выбором и рассмотрением модельной задачи. 122 112. Примеры онтимизании распределения узлов В 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
