Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Заметим, что в гл. 8 прв построении конечно-разнос!ныл мвв!дов решения обыьновеннык лифферевциальных уравнений воз!шкнут квадратуры с узлами вве о"!резка [а, Ь). Займемся построением квадратур, соогветствующик максима!и ному зню!ению т = 2п — 1. Лемма 1. Если хг,..., х„— рзлм воодрап!урм (1), пючной длл всех мншочленов степени 2п — 1, шо ь и„(х)Ре !(х) г(х = О нрв ыг,(х) = (з' —:ь!)... (х — хэ) о гв-! (х) — пронзвсльном многочлене сше- века нг вмн!с п — 1. Д!жозатсльгшва. Пусть г'э г(з!) — некоторый многочлен степени не выше и — 1. Вследс-гале условия леммы кыдратура (1) точна для многочлена 5)тэ-г(х) = ы (х)рв,(х) степени 2п — 1.
ПоэтомУ ь Г' ыв(х))тэ-!(х)р(х)г(х = / б2т †(х)р(г) дх = а = — ' ~ РЬР,„,( 1) = О. 2 г=! Последнее соотношение вытекаег из равенства Ын, (х.) = О при воет у. Лемма 1 доказана. Далее предполагается, что р(х) ) О почти вскп!у на [а, Ь). Ыз результатов з 4 вытекает единственность многочлена ф„(з:), и' (х) = х" + °, ортогонального в!им ьпгогочленам ннзпюй степени, если скалярное произведение задано соотношением гь (У, р) = / У(х)У(х)р(х) дх. Глава 3.
Чкслскксс вн»егрпроваквг 108 Воз~пну гр (г) =. ! ! (г) н узлы отыскиваемой квадратуры должны быть нулями»г (х). Согласно результа»лм Ь' 4 многочлен по(х) на (о„ь) имеет и рвапнчных нулей. Ламма 2. Пуск!ь хг,..., х — нули оптогокольного много иена »»в(!с) сгпе- ненп и п (Ц -- кеадрапьдуп, танкан длл многочленое стеиенв и — 1.
Тогда квадратура (1) точна длк многочлтиж стекегт 2и — 1. Докоеатгльсгпео. Пронзвольный многочлеп Ьд»к ь(х) степепи 2и — 1 пред- ставим в виде Ьсз„г(г) = ф„(х)дк г(х)+г;, г(х), где дн ! и г ! -многочлены степмп! и — 1. Имеем К %» — !) =-11 (Ф .9 — !) + и (!' — !) -- К (уид — !) тах как Е (гп !) =- 0 по условию леммы. ))длее, ь б — а Л (Ф.д -!) = / Ф (х)Š— (х)р(')д* — ~Р14.(хг)д.-!( г) = О, »=! Теперь можно построить требуемую квгдратурную формулу. Для етого зададимся узлами интерполяции хг,..., хн, в которых ф„(х ) = О, н построим (например, следуя построениям 2 3) квадратуру, точную для многочленов с!слепи и — 1. В итоге получим требуемую квадратуру Ь Нх)р(') (хт "~~ уу;йх»), 2 »=! (2) точную для многочленов !певеки 2и — 1.
Если почти всюду р(х) ) О, »о не существует квадратуры, точной для в!их многочленов степени 2и. В самом деле, возьмем 1„!»„(х) = (»:— х,)»... (х — хн)»; тогда левая часть (1) Ь ((х — х!)... (х — хв)) р(х) г1х > О, а правая равна Р. гь посковьку / гг'„(х)дк г(х)р(х)дт = О вследствие свойства ор»огональности многочлена ф (»!) многочленам низшей степени, а все йи(х ) = 0 по предположению леммы. Следовательно, Л ((;>»„..!) .= О.
Лемма 2 доказана. 109 г 5. квэлратурные бюрмулы Гаусса Лемма 3. КамЯищаенты Р, палохсюпгльньь Доказательства. Функция ~ —,," ) являетгн мпогочленом степени 2п — 2. ге 1г11 обращающимся в нуль во всех точках х т хо Квадратура (3) будет точна для этой функцшг, поэтому Раскрывал выражение гЬ (х)/(х — х~), получим ,з ь Лемма доказана.
Поскольку всо Р > О, то, воспользовавшись (2.1) н (2.2), имеем г гь ]Л (У)] (2 Ц р(х) г(х) Езп ~((). Можно получить также оценку погрешности квадратур Гаусса через 1"(з 1(х). Эзн оценка имеет вид Л„(Л=Г .1К)~" — ",р(х)й.с (2гг), (5) Для практического применения формул Гаусс~ несбхоллмгг иметь в распоряжении узлы и коэффициенты этих квадратур.
Можно показать, чш гшя случая р(:г) — четной относительна точки (а+ Ь)/2, нули ортогональных многочленов, т.е. узлы квадратур Гаусса, рлсположешэ симметрично относительно середины отрезка [а, Ь). Вследствие (3.5) коэффициенты квадратуры Гаусса (3) будут удовлетворять условию четности Рг — — Р„ль.г.
Это обстоятельство наполовину уменьшаат объем таблиц д1ш формул Гаусса. 2хг — (о Ь Ь) Если р(х) ы 1, то коэффициенты Рг и числа И Ь вЂ” а пг зависят от отрезка [а, Ь]. В самом деле, если многочлеп ф„(х) (х — хг)... (х — х„) принадлежит сиспме многочленав, ортогонвльных с весом 1 на [а, Ь], то многочлен (г — 4,)... (1 — а' ) принадлежит системе многочленов, ортогональных с весом 1 на [ — 1, 1). Поэтому он сам, его нули, а согласно (3.3) и кгнффициенты Р определяются ° днозначно, независимо от исходного отрезка [а, Ь].
Глава 3. Численное иитегрярованве 110 Приведем для сведения параметры квадратур Гаусса,пля отрезка [ — 1, Ц при р(х) = — 1. В етом случае остаточный член Л(у) для квадратурнои формулы (3) есть 11(() У(2 )(Г) (и") (2п))з(2п + 1) Вследствие свойства симметрии мы указываем лишь неотрицательные бг и козффициенты при ивх (табл. 1). Таблица 1 62 Рз 6~ Р~ с1з Рз 0,0000000000 2,0000000000 2 0,5773502692 1,0000000000 0,0000000000 0,7745966692 0,8888888888 0,5555555566 4 0,8611363115 0,3478548451 0,3399810436 0,6521451549 0,0000000000 0,5688888888 0,9061798459 0,5384693101 0,4786286705 0,2369268851 6 0,9324696142 0,1713244924 0,6612093864 0,2386191861 0,3607615730 0,4679139346 1 )(х)с1т=~ Р,((г71), бе =-а, о у=о В настоящее время составлены таблицы узлов и весов квадратур Гаусса по крайней мере до и = 4096 с 20 десятичными знаками.
Вследствие вх болыпого объема, начинал с нексаорого по, их публикуип лишь для и =2ь и — 3.2ь Иногда целесообразно вццовзменить идею Гаусса построения квадратур, точных на многочленах максимально высокой степени. Например, г! пусть требуетс» вычислить / 1(я)бх, а значение 1(а) вычисляется суо щестленно быстрее, чем значения в других точках отрезка (О, 1) (или почему-либо заранее известно). Тоглд имеет смысл построить квадратуру 15. Кеавратурвые формулы Гаусса точную длв многочленов степени 2о. Есаи требуегтя вычислить ((х) дх, а зна!свил з (1) и (( — 1) вычисляются существенно быстрее, — ! чем значения во внутренних точках !врезка [ — 1, 1], то имеет смысл построить квадратуру ! Н )Л.
м') 1аУ(!1!), ба= — 1, ба=1, ! —.-а точную для многочленов степени 2п-1; в последнеы случае оказывается, но И! — — г(в — !. 1! = 1в . при всех д Степень многочлена, двя которо!о точна квадратура, определяется числом свободных параметров квадратуры. Квадратура (б) назывании кеес!раглурму .Поботто или формулой Марково; при и = 1 опв совпадает с формулой трапеций, прп и = 2 — с формулой Силгпсона.
Задача 1. Введением весовых функцпй и заменой переменных !г = а!(1) свести построение квадратур (6) к построению некоторых квадратур Гаусса. 1 Задача 2. Пусть [о, Ь] = [ — 1, 1], р(х) = . Доказать, что соответ- ьгГ- х ствующей квадратурой Гауыа являетси (22 — Цл где х = оси 2п -. нули многочлена с1ебышева Тв(х). Уихзо!г!ге. При проверке точносгн квадратуры двя многочлена степени 2п — 1 !цмдогзвить многочлен в виде е! — ! ) „,Тм(х) =а и установить, что квадратура точна для Т (х) при и! ( 2п.
В настоящее время рассчитано много таблиц формул Гаусса и формул типа Лобатто, в частности, при [о,Ь]=[ — 1,1], р(х)=1, а также в более общем случае при [о,Ь]=[ — 1,1], р(х)=(1бх) (1 — х)Д,,)У) — 1, и при [а, Ь] =е [О, со), р(х) = т"е *, о > — 1.
Глава 3. Численвое иичггрировал~ие 112 Если псдынтегральив» функция интегРала 1(/) = /(х)г1х ха хорошо приближаетгл тригонометрическими многочленами с периодом ю, то целесообразно применить квадратуру, являющугося аналогом квадра- туры Гау<ка дли етого случая вида (7) Имеем равенство к — г он (ехр (2згл1 — 1/ = — у ехр 1 2хгл) — ~ = ы1/ АГ ~ ( Агы ( у=з н-1 — ~, 1=и )У у=з ехр(2хгл1) — 1 ехр(2хой/)г') — 1 сз при Аг целом, гл при Л' не целом. В то же время гп = О, т у О. л-1 гл(х) = аз+ ) (а сое (2кгл — ) + 6, з1п (2хгп-)) + Ьлз!в (2хдг — ); (8) з~-.".з следовательно, Нл(/) = Лл(/ — 1з') + Нл(1н) = Нл(/ — бз ). Аналогично (4) получаем оценку )Нл(/) ~ С 2и1пупьзх)/(х) — гл(х)!.
Нижняя грань берется по множеству всех многочленов вида (8). Задача 3. Докзэатгч что не существует квадратур с )г' узлами, точных для всех тригонометрических многочленов степени Ж. Следовательно, квадратура (7) сочна для функции соч(2хпьх/ы) при пг = О или при щ/Аг ие целом и для всех функций зш(2хщх/ы). В результате мого оказывается, что квадратура точна для жобого тригонометрического много щена эб. Пректнческэя оценка нагргшнссти элемецшрных квалратурныл формул 113 В 6. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных формул Выше получены ряд квадратурпых формул и строгие оценки погрешности для них. Однако зто не решает всех проблем задачи численного интегрирования.
Важнейшей залачей вычислительной математики является создание алгоритмов и пакетов программ, обеспечивающих получение решения задач с заданной точностью при минимальном абьеме зкграт чалавеческого труда и работы машины. Практическое применение полученных выше оценок требует аналитических выкладок н поэтому достлточна большого обвел~а работы исследователгц кролле того, эти оценки часто оказывыотся слишком завышенными. Поэтому при создании таких систем обычно отказывшотгя от использования подобных оценок, зачастую жертвуя строгой 1зрантией малости погрешности приближенного решения. Можно говорить, что задача от ы.
возникновения до получения рс зультата проходит через некоторую систему, состоящую из людей, решающих задачу, и ЭВМ. На первоначальном этапе применения ЭВМ наиболее узким местом, тармозившиы работу втой системы, являлось недостаточное количество ЭВМ. Поэтому применение аналитических методов решения или аналитическое проведение оценок погрешности было оправданным. Однако теперь, с повсемасгным распространением вычислительной техники и внедрением ее в различные сферы деятельности общества, обстановка меняется. Узквм местом этой системы становятся длительность вы(юра математической модели, метода решения задачи, программирования и других этапов, предшествующих непосредственному решению задачи па ЭВМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
