Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 16
Текст из файла (страница 16)
оы рвз Для высших производных простейшую грубую аппроксимацию ыожно получить, «оспальзовввшнсь (10.4). При 0 ь у б й имеем Э 18. О вычислительной погрешности форл<ул Е 16. О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования 83 При решении одной зада*<и упРэглепия выела месье <шелующэл ситуация Управление абьектом выбиралось в зависимости ш еза скорости движения в данный момент; скорость вычяслялась по пуюстейшей форыуле численного дифференцирования как отношение прира<цення координат к промежутку врелюни И между двумя послсдовательныл<и моментами изыеренив положения абьекта. Перед непосредственпыы конструированием системы было произведено цадрабное моделирование ее рэ<х>пе с п<>мощью ВВМ< координаты объекта брались го случайными погршпно< гэми нзмарапия я т.д. Чи<шепныс эксперименты показывали, что сбьект далжгп все время резко менять направление движения и требуелюс управление движениам нереэлизуелю.
Однако уменыпепие промежутка >И не приводи>ю к улучшению я(6) дела. В дашам конкретном примере прабла- МЬ ма была решена путем увеличения промежут. 2 ка И в 100 раз по сравяепию г прегв<олагав- < шим<я заранеа. Попутно шо прившю к снижешпо снанмогти управляющей системы. 2К Дело заключается в том, что чала умень- 6 шение погрешности меюда, в дшпюм случае форыулы численного диффереппирования, сопровождаем>я ростом влияния погрешности Рис.
2.18.1 исходных данных и вычн<шитальиой погрешности. Численное дифференцирование относится к таким задш<ал<, где влияние этих погрешностей сказываеп>я уже прн умеренных значениях погрешности метода решения задачи. Пусть для определенности зна'>ение /'(г:е] определяется из саотпоп<ения / (ге) - (Х(г<) /(хе))/6. (1) Согласно (16А] остаточный член жой формулы имеет внд г> = -/"(ОЛ/2. Пусть (/в(()( < ]]>г, тогда )г>( < Мгй/2.
Если значения функции /(к,) известны с неко<арыми погрепп<астями е„(е<) < Е, то погрешность /'(яе) будет содержать дополнительное слагаемое гг = — (е> — ео)/6, )г<( < 2Е/Л. Для простты пренебрежем округлениями при реальном вычислении правой части (1). То>ща имеем оценку пагрешно<хи )г) < )»') -1.
)гг) < д(6] = МгЛ/2+ 2Е/6. (2) 1;пава 2. Инпрпшшвиа и чнлюенпое дифференцирование Для малости погрешности нш.'бходима малгкчь )л, ио при умеиыпепвп 6 растет второе слагаеыое (рнс. 2.16.1). Из уравнения д'(й) = 0 получаем точку эк<шремума Ьа упш д(й): б. = 2,/Х7М,, д(йе) =- 2',1)г(лЕ. зателл значенве В случае применения формул более высокого порядка точноств пололшшю иг- скгпька улучшаеттю Пусть произвоныя у1л1(г) влячислнетгл по формуле д1а1(х) Д ~стул,((лл, сз = 0(1), (3) с агпаточиым члевоы О()г).
Все рассыгпреннью вьпле г(юрмулы чнсленнага дифференцирования могут быть записаны в таком виде: в знаменателе — Ь~, а в числителе — коэффициенты порядюл 0(1). Погрепшасть, являлощансв следствием погрепшостей в правой части (3), апенивается веничиной солнц ° Е/Дл. Тахим образом, вмегю (2) ыы имеем (г( < дг ()л) = А,)б + Алб)1ль. Минимум правой часп| достягается прн 6 порядка Елу(ллг), при югом сама правая лесть илияп порядок Еддтл).
Тэкилл образом, с росюм 1 порялак ползлепшости по отнашепнла к Е повышая ~ ел: при этом значеыие шага, соответствующее минимуму оценки пагрешног~и, стзновяття все б:льше. Коне ила, стлшует ныпгь в виду, что вевнчины А, и Аз могут расти с ростом 1, паэтоыу увшашение 1 разумво лишь в определенных пределах. Иногда складывается обстановка, когда повышение точности формул численного лифференци(ювавия не приводит к требуемому результату. Тогда применяются методы предварительного гтлаживавин исследуемой функции.
Одна группа методов базируется на идеях ллалпматпческай статистики. За счет обработки большого числа наблюдаемых значений фунюгии уменьшаегся случайная погрешность в ее значевиях. Другая группа методов, получающая распространение в последнее время, использует идлм регуляризации. О методах этой группы ппцрсбиее будет сказана в последующем. Таким образом, ни нрп кшголл й польза лнрщлтиравать, чти погрешнщ:ть результата будет величиной порядка о(г'Е).
Погрешности е, возвиканп вследствие погреппнютой в задаваемых значснинх функций, например, ешли фушгция определнвтгя пз измерений или вычпслнпгся по некоторой приближенной формуле. Поскольку зги зиюзеиия округллпгппщ дополнительно прн вводе и машину, то следует считать, что Е ) сапа( 2 ', где 1 — члнзза раз(эндов. Таким образом, мы можем полУчить 1'(хо) в лУчплел~ гтУчае г половиной веРных РазРнДов. 5 17. Рациональнаа интерполяция В 17.
Рациональная интерполяция В ряде случаев балыную точность приближения можно достигпугч,. нспальзуя рациопальнуэа интерполяцию. При заданных Дхэ),..., Дэгн) п11иближепна к Дг) ищетея в виде аа -1- аэх -~- - - - + гээгэг (х) =,, р+ 9 -Л 1 = и. Ьа 4 Ьггэ т . - + Ьэхэ ' коэффициенты ао ьг иаходятсз1 из совокупнгкши гипиашений н(хэ) = 7(хг], у = 1,..., п, коыэрые можно:шписать в виде ') элз — Х(хз) ~'1ээхг = О, = 1, (1) э=а э=а Уравнения (1) обраэуют <исплэу гэ линейных алшбраичоских уравнений относительно и + 1 веизвесхвых, Фуякция н(х) может быть эапвсана в явпалг виде в случаях, когда и печетноа и р = д, и когда и четное и р — Е =- 1.
Для агота следует вычислить гвк вазываемые обратныо раздшпэгпн,эе разнопги, определяемые условиями г1 — хл Х (хб хл) =— Дг.э) — 1 (ггл ) и рекуррептным саотношениелэ (хшэ;...; гг) — ( '(хга...; тэ. 1) Иптерпалируэашая рациональная функция записываетгл в виде цоппой дроби Х(") = Лхг) 4 ,7 (хя хг)+ У ( '1; хя хз) + ".
+ 7 (х1;...;ха) Использование рациональной инторпояяции по подходэпцим образам выбр и, узл ча. целе бразнес интер1 ляц и.но а н и в ыучае функций с нерегулярным харакгеролг поведения (резкое излюнаииг или особенности произвадэпчх в отдельных точках). Литература 1. . Бабенка К. И. Основы числеанаго анализа. — М э Науэаэ, 198б.
5. Бахвалов Н. С. Численные методы. — Мз Наука, 1975. Крыэюв В. И., Бобков В. Вч Монастырный П. И. Начала теории вычислительных метадон. Ишерпалиравание и интегрирование. — Мангк: Наука и техника, 1983. 4 Крылов В.И., Бабхав В.В., Манассмрный П. И. Вычислительные машды.
Т.1.— Мл Наука, 1976. 5. Лакуциевскпй О.В., 1аврикав М.Б. Начал» чнсленнага анализа.- М.: ТОО Януса, 1995. Глава 3 Численное интегрирование 'Ф" В 1. Простейшие квадратурные формулы. Метод неопределенных коэффициентов Простейшие квадратурныо формулы мох«по получить из наглядных со- обралсоний. Пусть вычисзилс»«интеграл г» 1 = / Х(я) йс. Если у[к) = сопвФ на рассыатриввемом отрезке У = (Ь-о)у((), б — произвольная точка на (о, Ь).
стае Ь сред«пою точку отрезка; тогда получим (о, Ь), то можно положить Естественно взять в качсформулр орамоугольнвкоп у-(Ь вЂ” оУ( — ). Эта глава посвяпгона методам приближенного вычисления одномерных интогрвлов. Сна пша строятся просгейпше формулы дяя приближепно«о вычисления интегралов по оцзезку. Такие форл«улы называют кеодришурнммо. В »1ногоыерном случае (когда ра«л~ерность интеграла белья«е единицы) формулы для приближенного вычисяепия интеграла называют кубвшррнм.ио.
Изучаепи вопрос о новьппении точности вычисления интегралов за счет повьппеиия порядка точности квадратур (же. повышеню«степени попипомов, для которых квадратуры тх»чнг«), за счет разбиения отрезка на «асти, за с юг сведения интегралов ог фуякций г «особенно«зт«мн» к интегралам от более гладких функций. На приыеро чисшешюго иитшрировтия иллюстрируются требования, предъявляемые к стандартным программам н влгоритл«ам, которые кладутся в их «хя«ову. Даются описания ряда стандартных программ численного интегрирования. 8Т З 1. Прсстелшие квалратурвые формулы предположим, что функпия 1'(х) на [о, ь) близка к линейной; тогда естественно заменить интеграл площадью трапеции с высотой (Ь вЂ” а) и основаниями ((о) и г'(Ь) (рис.
3.1.1). Получим 1бормрлу глуппгцво Если функция ((х) Йгизка к линейной. то из наглядных соображений вццно, шо формула прямоугольников также должна давать неплохой результвт: дело в том, что (Ь вЂ” гг)~("з ) есть площадь любой трапеции с г ть| высотой Ь вЂ” о и средней линией ((Яаз"-); в частности, она равна площади трапеции, у которой одна из пгорои лежит на касательной к графику функции в точке ("з —, У( аз — )) (Ряс. 3.1.2). у(а) По) ДЬ) У(Ь) атЬ Ь 2 Рис. 3.1.1 Рис. 8.1.2 Более сложныс квадратурные формулы, так же как и формульг численного дифференцирования, гтроятш методом неопределенных коэффициентов или при помощи впнарата интерполирования. Рассмотрим простейший пример погтроевия квадратуры методом неопределенных коэффициентов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
