Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В частности, нз (2) имеем г-'~ Уг = Ус+г — 2/г+г + У! Тз/г = Уме — ЗУ;+, ~- З/г„— У„ гп у* = ус+4 — 4/,гз + бу!.~.г — 4уг.~. г + у,. 110. Конечные разности Лемма 2. Прп яг = хе + г/з свраеедггпоо раеепстео Пжр ' яы') = —,,„",. Доказошельстео проводим по инлукцин. При гп = 1 имеем 1 / а1 / газ/2 /(Яб Яа ы) =— яге~ — т, /з Предположив, что соотношение (3) верно прн всех ш < 1, имеем /(я, гб...; к„,г,, ) — /(кб...; я,ы) /(гц...; х,лг+з) =— тгыа ~ — т, д гыз г.ым/2 -г';ы/2 г а(газ)/2 М р/з(1+ 1) /гож(1 + 1)1' таким образом, (3) справедливо при гп =! + 1.
Лемма докюана. г/ 1(ь) Согласно (бд] иыеем /(я,;...; ямы) =, где хг < / < хг+ы. т/ Сопоставляя зто равенство с (3), позучаем (4) Следствие. Консчггые розкосшп и-го парях/ка огл многочлспп сменено и посгоолпны„а рааносшп мобого более высокого поры/ка равны краю. Рассмотрим влияние погрешности какого-либо значения /„на конечные разности различных порядков; пусть вместо /г стоит Д -~-с. Тбгда имеем шблицу разностей г! г И-З/2 / аг Мы вцдим, что в соответствии г. (2) на разности порядка гп погрепь ность распространяется с коэффициентами ( — 1)гСг„.
Если функция достаточно глздкал, то ее разности не очень высокого порядка могут оказаться малыми. В то же время на нх фоне величины Сгаг будут выгл»- деп достаточно большими. Из наблюдений яад таблицей рззносте/Г можно указать значение функции, содержащее погрегзностгч и исправить егп. А' — з/г А /2+ г сг гма/2 /2 — 2е ~;,, -~-е Глава 2.
Иитерпсляцяя и чяслеакое лифГяерскцяровалие 68 Точно чак же можно обнаруживать погрешности, имевшие месго при состаш>спин таблицы разностей. Пусть, наприь>ер, Г>)з =1 1б-ь, Гз,з =2 111-"', Хз =. 12. ИГв. Г,', 2 = 1. РЗ '. Если бы какое-либо значение д сццержлло огносишльво бояыпую па гргшиость е, чо в третьих разнсхчях чп> обстоятельство проявилось бы в наличии величии вида е, -Зе, Зе, — е. В рассматриваемом случае третьи разности щ>актичсски Равны нулю, за исключением которые примерно имеют вид г, — 2е, е, гно е = 11 10 '.
Это наводит на мысвгч чп> Г>ыла допУщепа пагРешнос"гъ пРи вычиглении значениЯ 2>(ю которая и имела следствием чти возмущения в третьих разпоссзх. Этот прием широко использовщся при ручном счете для уси>анеяия случайных погрешиосгей расчетчика и на нервом зтапс* использования ЭВМ, когда ЭВМ были малонадежны. Существовавшая па первом алше испол>ловавия ЭВМ общая роколгсндация по у>транени>о ненадежности так>почалась в следующем. Задачу пред>шгалось рошигь деа раза.
В случае пеи>впадения розулыа>ов поланшось щюсчитать задачу повторно, пока результаты двух расчетов не совпадут. Описанный вы>пе моп>д исправлоння таблиц позволяог в чшгой ситуации умепыпигь объелг вычислений примерно вдвое. Пусть требуется составить таблицу какой-либо гладкой фуншгии, каждое вычисление которой г>бходитсн очень дорож>, Вмесш тоги чтобы считкгь каждое значение дважды, просчитыеаем сразу всю чаблипу, сосчавляем (вручную или с лоьилцью ЭВМ) таблипу разностнй и выявляем значения, кпп>рые нужно исправить (вли шюторным расчетол>, или описанным вылив приемом исправления таблиц).
В настоящее время описанный прием попользуется для выяш>ения погрепшгктой в рсзультшпх >с>мерений. В 11. Интерполяционные формулы для таблиц с постоянным шагом Поскольку таблицы значений функций с постоянным п>шх>ь> наиболее употребитольны, приведем конкретные расчетные формуль> для таких таблиц. Если узлы игппрполирования выбираются вблизи точки к, где вычисляется значение функции, то промежуточная точка Г в оценке остаточного члена (З.1) также находится вблизи очки х. Ъпсим образом, величина (Вй(Г) изменяется не очень сильно при выборе узлов в окреп> ности точки х. $ 11.
Ивтерполяцвониые формулы лля таблиц Следовательно, решающее влияние на значение погрсшно<ти оквзывв. ет венвчина т с. прогнведение расстояний от тачки х до узлов интерполирования. Величина (<,'„(х)( будет минимальной, если в качосгве узлов гпперполнровапия лля нахождения 1(х) мы в<иьмем и узлов, ближвй<пик к 2. Двя в<оп< при четном и = 21 г юду<гг взять по 1 узлов справа н июва ог точки х. При нечегнол< и = 21+ 1 слсду<т взять узел, блнжайп<ий к х, н по 1 узлов <шева и справа от него.
Если точка х наколишя вблизи олпе<о из концов таблицы, то вто правило н<'ск<.'лько ггзм<'ничел. При интерполировании в на*гале или кшще <вблицы прин<гш записывать интерполяционпый многочлен в виде <вк нвзынвсмых формул Ньютона длв интерполирования вперед нлв назад. Пусть Ум(х) — интерполяциоппый мпогочлеп Лагранжа по узлам хс,..., х 1. Соглм:оо (6.3) имеем Ь (х) ф(<0) уф(те<«!)(< хо)+ ''' 1 ф(<01 ° ° ° <х' — 1)(» хс) ° ° ° (» х -2). произведем замену переменных х, = хе+ м и перейцем соглж:но (10.3) от разделенных разностей к конечным. Получим <(1 - 1) " (< - ( - 2)) Оствто*шый член (3.1) пролставится в вид< <(1 — 1)... (1 — (п. — 1)) б" и! Формулу (1) называют птперполлцоспноо формулой Нио<вома длл интерполпровоиол вперед.
Рхли мы произведем таку<о жг замену переменных в иитерполяционном мпогочлеве 6„(2) но узлам .го, х.-п . <<-(„-16 бм(Х) = 1(зс)+Иго< Х 1)(2 -Хс) ф"- ° +((хе<...<т. 1 0)(х — хе)...(х — х.(„21), то получим ннтерноллц<юнную формр<р Ньквволо длл шяперполнроеанпл повод <.„( „ф1,1) У,+У~ 1 ф - '(" )".( +(и )) 0 0 -1/2 . ( 1)/2 и — 1! с остаточным членом 1(1+ 1)...
(1 .1- (и — 1)) Ь" п1< Грива й Интерполяция и численное лнф4еренцирование Эти формулы, в частности, иснохьзуютгл при построении методов решения дифференциальных уравнений. Таблицы конечных ратиостея иж же, как в таблицы разделенных разностей, июяыьзуются для оценки произволнмх функдии. Если Р 1(х) непрерывна, то справедливо равеногво !иа и,", =- Мш здесь ь.е ) гу"'Т„) п1ах ~; Лг„=пах(гнй(х)~. Поахал~у прн палых й люжно првнять Л4 ю ць ((х) = Рз1(х)Е г~(х); Рз (х) = Т(х,) + Х(х, з:,ь Пх — ч) + Пх,; ~ В,-~)( —,)(х - хеш) + (4) + ([ е, ча В хг- , т - )[х - хе)[х — хе Мх — , — ); г (э) = Ф (х хе-1)[х хеих хетВ)(х зтьт)~ .[(')К ), ([х) = Рз (х) 4 гз(х); Рз (х) = Т(зеы) + Пят+1' хе)(т хеы) + + ([» те1, 'хе, хе+я) (х — хеы ) ( г — хе) .~- 4 ((хе~ В хе; э.
тз; х з)(х — х .Н)(х — хт)(х — х вз); (б) гя(х) =, ( — хе- И вЂ” т)( ' — за+1)( — ттт)- з Х )(бз) 4) Поскольку шютерполяционный многочлен третьей степени, совпадалощий с функцией в четырех узлах, цдинствен, то Р,'(х) = Р,'[х), "[х) =гд[х) и У<()[(,) =У(й[б,). Образуем полусумму равенств (4), [б). Так как Рз(х) = Рзз(х), в левой чанги будет стоять ь~ногочлен Рзг(х). при вычислении правой части Часто приобретает особо важное значсние малость степени полинезийца, приближающих функцию. Уменьшени» сшпеци таких повипомов без потери точности иногда можно дссгигпутгь образуя линейпыо комбинации интернопяционных попиномов. Рассмотрим просгейпгий из таких способов приближения функций. Требуется приблизить функцию иа отрезке (х., рты) многочленом второй степени.
Выпишем иптерполяционпую формулу Ньютона третьей степени по узлам хе н те, х„ьг, х тх, взяв узлы в последовательности хе, хеен х 1, хетт и в последовательности хетн хю хаьз, хч ь Иыеем 71 112. Составлепие таблиц образуем полусуммы от соопютствудощих слагаемых; введем сбозначения1 Вз = х Е Ь/2, 1~ф~ — — (/з" -~- ~/",]/2. Пшдучим Рз (х) = Р/ддцз+/д11/26 (д — хдь Нз) 1 з -2 + 21 /дд1/з 1 (х ад 1.1)(х д) 1 ~- -/„,/з Б ' (* - хд) ( —, Пх - х,+1/з). 1 — 3 д Обозначив первые три шгапюмые в правой части последнего равенства черш Вз(х), соотношсшю (3) запишеь1 в виде /(т) = Вд(х) -1- Й(х), Вз(х) 11/де1/з д /дт1/з6 (х, — хдд1/з) -~-р/д+111Ь (х — хд)(х — хдм), (б) В(х) =- /дед/з)1 з(х - хд)(х - де1)(х - хдэ17!) + /()(л) (г. — гч 1)(х — хд)(х — хдд,)(х — хдю). (7) Многочлен Вз(х) надывают пппдерг1ояяцподпдмы много 1яспам Бесселя.
Если подходить формально, то эпгг лпдогочлсн второй степени пе является интсрполяционным, поскольку он совпадает с /(х) только в точках Х, Хдд.1. В следующем параграфе будет видно, что использование многочлепа Бесселя дает определенные преилдущества по сравнению с непосредственным испгшьзовшдисы интерполяционпого многочлена второй степени. В 12. Составление таблиц /(х) ы Бз(х) = / 1. /1„Н д. Рассмотрим следующую задачу.
Трсбусшя построить таблицу значений некоторой функции так, чтобы погрепшость при интерполяции значений Функции многочленом зздшпдой сшпепи т не преводхсдила г. В атом случае говорят, что таблица допускает интерполяцию сгепсни т (с погрешностью е). Таблицы, выпускаемые для длирокого круцг пользователей, обычно составляются так, чтобы они допускали интерполяцию первой степени, иначе — яоиепиую интерполяцию. Примером таких таблиц могут игужить таблицы В.М. Брвдиса, известные из школьного курса. В дальнейпдем рассматриваем случай таблицы с постоянным шагом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
