Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Пусть х фиксировано; псрснумсруем узлы интерполяции в порядке возрастания )х,-х). Ипгсрпаляционггыа многочлсны А(к ле(х) будем обозначать, как обычно, Ья,(х). Выше получена прсдставлснис погрешности (1) 1(х) — Ап,(х) = 1(х; хб...; х )сх„(х), а звкжс равснство 1 ьг(х) — Й,„(х) = /(сл,..., х ~ г)сс (х). (б) Так как при малых ):с — хс) 1("'1(х) 1'(х; хг;...; сс,„) = †, = 1'(хг;...; х,„+г), ггй то отсюда следует 7(х) - Д„(х) ш А.м с (х) - А (х).
(7) Поэтому величину с,„= )ссвсс (х) — А (х)( можно рассматривать как приближенную оценку погрешности инчарполяциониой формулы ((х) = ь,с(х). Паслсдоватгльно вычисляют значения Аа(х), Ьг(х), сг, Уо(х), сх,...; гхли при нскатаром т будст см < с, то вычисления прекращают и полагают Х(х) = А,. (х). Если эта неравенство не выполняется ни при каком т, ти находят с ппп с и палжвгог 1(х) ш Ь с(х). Если этОт минимум дасгигавтся прн нескольких т, чо среди них выбирают наимсвьшса.
Если ввличины с начиная с некоторого т, имсют устойчивую тенденцию к увсличаниго, то с этого момвнча вычисланис зсшсевий ус (х), см прскрашают. з 6. Разделенные разности и интерполирование с кратными узлами Пусть трвбустся построить многочлен д (х) стопани с — 1, удовлетворнющий условиям д,(хг) = у(хс), ..., д("л 1(:сг) =,) 1'"' 1(хг), (1) 16. Раз,зеленкые разности н интсрполвроеанее здесь все х, различные. з = ш1-!-- .»не. Такой многочлгн называют пнтерноллциокнмм мпогочлеком с краше»Око узлами, а числа гп1,..., 1п кратносчллмп узлов 2:1,..., х .
интерполяциею!ый многочлен р,(х) определяет!я единственным образом. В самом деле, предположим, что существуют два многочлсна пгнпени з — 1, удовлегвориющих условиям (1). тогда як разность !2,(х) удонлетворнет соотношениям я,(х!) = " =- б)Р 2-'1(х,) = О, ..., 6),,(х„) = " = 02('ю-'1(х„) = О. точки »1,,х„являются пулямн ми!к!!члена О,(х) кратности тг,...,т„ соответственно. мы получили, что многочлея б),(х) рг О стелени з — 1 имеет з нулей. Следовательно, б),(х) ы — О.
ДаЛЕЕ будЕМ Прсднопататть Чте фуНКцИя Г'(Х) НЕПРЕРЫВНО днффсрсвцируема з раз. Существование интсрполлционного многочлена р,(х), удовлетворяющего условиям (1), покажем, получин для нето явное выражение. Зададимся последовательностью совокУпностей точек 2:,'., О < г < ее, 1 = 1,, и, у =- 1,..., гло удовлетворгпо!цнх следующим условиям: при О < е < ге «се точки х! различные, х," -2 т, при е -2 О. В частности, мОжнО пОЛОжить х; = х„+ [7 — 1)е. Построим интерполгщионный многочлен р',(х) степени з — 1, совпадающий с 1(х) в точкак хб. Таблица разделенных разностей, соответствующих этому набору узлов, имеет вид У(. !!) Т(х!1!2'!2) 1(х!2) 2(х!1,»12!211) (( 12 Х13) 1 (х!2) Т(азг„х'.....; 2,"а „).
(2) Х( ( ,) У(*(.,' 2!) 5(х(,) г(х~~, ) Выпишем интерполяционную формулу Ньютона с разделенными разностпми: р„'(х) = Агз + Аг(х — Х',!) + Агз(х — хгг!)(» — х12) -р + А',(х — х;1)... (х — х' !), где А$ = 1(х!!), Аг = Як!11! х',2), Аз = Пх'„! х;2; хгз), А;, = Т(х'„! х',2;...; Х'„, ). Влввв 2. Внтерполнпвя и численное дифферевпироввние Выражая разделенные разности чара~ производные, выем у!"' О(хг ) У(хб хм) ( !), Переходя к пределу при г -г О, получаем (! -~)(т ) !)ш ((х,'!,...., х,'„в) = (3) Таким образом, из ваших рассуждений слслусц что все разделенные разности в таблице (2) вида ((х,'.!...., х,'.,„) при г -г О имыот пределы, которые гхтествснно обгпначать ((х,:...; х,).
Из (3) следует, что раз грю (»,,) ((х„ч ...; х,) = (4) ры раз Задача 1. Индукцией по порядку разности показать, что все разделен- ные разности, входящие в таблицу (2), .ил~еют коночные пределы. Нсли все влемвпты таблицы (2) имеют пределы, то на любоьг отрезке многочлоны д',(») при г -т О стремятся к иекотороыу многочлену д,(х) = Ае+ А!(х — з!) -1- Аз(х — х!) + -1- А, ~(х — хг)ев ...(х — т„ г)""" '(х — хв)"'" ! = (Б) = ((хг) + ((хб х~)(л — х!) + Т(х!;х!;х!)(х — х!) + А, =!па А;. -а Многочлен д,(х) записывавтсв в виде д (: ) =) .
(х — » )! +г)((х: — хг) л). (! — ц! Отсюда вытекает, что он удовлетворяет условиям, заданным в точке хг. Вследствие единственности интгрповяпионного многочлена мпогочлен д',(т) не изменится при переобозначении хг = х„х =- хг. Поатому предельный многочлен будет удовлетворять заданным угловиям в любой точке:г . Оледовательно, эют многочлен является искомым. Задача 2. Доказать равенство (1 )(г) Х(х) — д.(х) = ,, ю.(х), ъ(х) = ~(» — »,) ', Рг < О < Рю (б) г=! 51 4 7.
Уравнения е конечных разностях где рг = ппп (х, хг,, х ), рз =- пшх (х, хл,..., т„). Согласно (5.1) справеллнво равенство У(х] — р.'(х] =Х(", )лр5ц '. „]х!( ), где х,'(х) = ль(х']. Пережщя к пределу при с — л О, получим 1(х] — д,(х) = У(х; х,; л х„) ьь(х) Сравнивая зто раж.яство с (6), илщлл~ 1'о(а Т(х; з:л; "; хв] = з] Это сгютпошение ссгаегся н снло пре предельном переходе х -л г., 1 — люблю. Из зтнх сгютношений гледуег, что формула (54] гбч] (ц (переписанная е других обгнначоннях] спршюллнеа н в сву ьзе, когда но все го..., хлгл — различные. Мы доказали существование иятерполяционнаго многочлена, удовлетворшощсто условиям (1).
Задачу интерполяции можно было бы поставить и шкиы образом. За,лала таблица чисел о,„, г = 1,..., и, у = 1,..., гль Требуется построить многочлен р,(х) степени з — 1, удовлетворяющий условиям д(г г](х,) =он, с=1,..., и, у = 1,..., тг Эчв задача равносильна исходной, поскольку всегда можно указать глад- кую функцию ((х) такую, что В 7. Уравнения в конечных разностях Конечно-разносглныжн уравнениями называют уравнения относительно функций дискретного переыснного. Такие уравнения, в частности, возникшее при аппроксимации сбыкновенныг и многомерных дифференциальных уравнений.
Существует глубокая аналогия между непрерывнымн и дискретными случаямн. В частности, справедливы ревностные аналоги формул Грина; если в неюлторой зазвче применим метод Фурье, то е отношении соотеетствукепей разноствсй задачи применим лигхрегмый вариант метода Фурье. Практически каж,ному ивтегральяому тождеству е теории дифференциальных уравнений Глын 2. Интерполяция и численное дифференцирование можне посивнть в саатвегствие вемлорый дискретный вариант. В руках квалифицирав шкота математика метены рашения канечно-рюностнмх уравнений явллпотся мошнсйшилс средством всслопавания чувствительности (лушойчнвости») алгоритмов к вычислительной погрешности.
Если требуогся наследовать алгорпглл рошания ншотнрой задачи, то подбирыот близкую по структура хадичу (например, слопуя прпнчппу зимопалпжнлж казффпцнентое (ги. гл. 10)), Лля ангарой решеиве соответствующая копочнс -разностной задачи нахцпится в явном видо. Авализиру» ал~эризм рошовия исходной задачи на примл. ре атой конечно-разиостнай зада щ выносят прсдвврнтгльнсе сужж нна о ега свойствах. Как правило,прн прнктичаасом решении задач в большннсше случаев палученнаа на таком пути лредварипльнса суяонениа дает правильное лцмдшавленио а свойсзвах алгоритма.
Непо<рсдствелно конечно-разнастпые уравнел|ил потребуются наи в следую- щем параграфе прн описании мвагачленав Чебышева. Ниже будет проведена аналогия июкду конечно-разнос:гнымв уравнениями однао» дискретного пере- менного и сбыкиовапнммн дифферезшванылыми уравнениями. Рассмотрим ллросчейпшй случай одного линейного уравнения относительно неизвестной функции одного целочисленного аргумента 1р = ~ аг(гл) р(п + л) = Ь(п) ме Это уравнение называется лннейнмм раплостнь~м ураенешлем Л-го поряд- ка и является разностным аналогом нинейного дифференциального урав- нении Улла поРлспка л 1у = ~ Л,(х)р(л)(т) = У(х).
ша (2) Каждое из уравнений (1) и (2) имеет вид Ьр =- Л, где Ь вЂ” линейный оператор. Уравнение Ьу = О называют однородшгм; формулы у= у(С1,..., Сл, п) или р= р(Сл,..., Сл, х) дают обп1ее решение уравнения (1) или (2), осли при подстановке значений параметров С, можно получить лгсбое решение рассллатриваемога уравнения. Если и — частное решение неаддорадного уравнения Ьа = Л, то разность р — и является решением одно1юдвого уравнения Цр — и) = Л вЂ” Л = О. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения представимо в аиде суммы частного решения нжщнородного уравнения и общего решения однородного уравнения.
Решения ул,..., у однородного уравнения Ьр = О называгот линейно заеншлмрлли в рассматриваемой области лшмененин независимого аргумента, если существуют См..., С „ не все равные нулю, при которых Слрл+ ° + С р ж О. В противном случае зти решения называют линейно незаенспмммп. Если фушсции р, 17. Уравнения э конечных разносит б ~ С,у, .= ) С„ Еуг = О. Проводимое далее параллельное рагсыотренио уравнений (1), (2) подчеркивает общио черты этих уравнений и помогвог найти путь исследования уравнения (1] по аналогия с урввнениеы (2). Пусть лля определенности уравнение (2) рассматривается в области х > О, а уравнение (!) — в области и > О. Теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
