Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Например, при переходе от (1) к (2) должны выполняться неравы!ства а' — 4»(а') < <а», аз < и' + «Х(о'), при переходе от (2) к (3) — неравенства а'(1 — д(а*)) < а" — ь(а'), а" + гу(а*) < а"(1 + д(а')), при переходе от (3) к (2) должны выполняться преп«воположные неравенства (пределы всегда распьеряюгсяО. Следует различать принятуго нами выше «)юрмапьно математическую и обиходную терминологии в рассуждении о величине погрешности. Если 14. О вычислительной погрелвосш в постановке задачи «оворится, гго требуется найти решение с погрешностью 10 з, то чаще всего не иысетгя в виду обязательность етого требования.
Предполагается лишь, что погрешность имеет такой порядок. Если, например, решение будет найдено с погрепшостью 2 10 з, то такой результат, скорее нсего, также удовлетворит заказчика. 94. О вычислительной погрешности Ограничепве па порядки чисел в ЭВМ 9«~ < рс иногда приводит к прекращеншо вычислений; в других случаях относнтевыю и«большая разрядность чисел в ЭВМ приводит к недопустимому искажению рпзулыата вычислительной погрешпогтью.
Такие алгоритмы, где всвгдствие ограниченности р нли малости 1 возннкаюг подобные эффекты, называют «неустойчивымн» Построение «усгойчввых» автор»ггмов, при испольюваннн которых искажение окончательного результата вычислит«шьной погрешностью паходич«з) в допустимых пределах, составляют сущ~ттвепную часть ««юрии численных методов. Рассмотрим прнь~ср, показывающий, что повышение точности иногда можег быть достигнуто за счет неложного алп.бран нткого преобразования. Пусть отыскивается нанменыпнй корень уравнения рз — 1409-)-1 = О. Для определенности условимся о следу1ощвх правилах округления. Вычисления производятся в дыятвчной система «числе«п«я, причем в мантиссе чи<ла после округлений удсрживаеггя 4 разряда.
Имеем р = 70 — ъ/4899, ъ/4899 = 69,992...; после округления получаем ъ/«899 69,99, у = 70 — 69,99 = 0,01. То же самое значение у можно, «»лбавнвшигь от нррационвлыюстн н числителе», пргдсгавнть в виде р = 1/170-~-)/4899). Полдедоватеньно произвош~ вычвслення, получаем )/4899 69,99; 70-)-69,99 =- 139,99 н пглло округвспия 70 -). 69,99 — 140,0. Наконец, 1/140 = 0,00714285.. и после округления д = 0,007148» Производя вычисления с дополнитевыгыми разрндами, можно проверить, что в обоих случаях все поцчеркпутыс цифры результатон верные; однако во втором случае точвосгь резулывта существенно выше.
Дело в том, что в первом случае пришлось вычитать близкие большие числя; З 5. Погрешность функции З 5. Погрешность функции Довольно часто возникает слелуюпеая згедача. Искомая величина у является функцией ог параметров ап..., ан: р =- р(оь..., ан). Известна область С в пространстве переменных ап..., аь, которой принадлежат эти параметрьь Требуется псшучить приближенно к р и оцепить ега погрешность. Рлзги р' приближенное зиечсвис величины р, то пределмгой абсолнтьной ггогрегагеосгггто Л(р") пазывыот наилучшую при иьюк1щсвся кнс]юрмвции оценку погрсппюстн величины у*; согласно этому сшредслснию к данном случае Л(р*) = впр (у(ап.,., ан) — у" 1; И...)сп А(р") предельгп5 отгеосчгтелгягой ггогрспггюетпьго называют величину Ь'~ ' Задача Ь Доказать, что предельная абсолютная погрешнопгь Л(у") минимальна при у* .= (У; + Уз)ДП где У~ = шрр(аг,, .., сг„).
Уз = япру(ап ..., ая). Рассмотрен цанболе< распространенный глучай, когда область С прямоугольник: ]ге — а*.] < Лг(а"), ) = 1,..., п, и за приближенное значеоио принвмаепя у =у(а],..., а ). Ешш у — непрерывно дифференцируомая функция своих аргументов, то, согласно форг~уле Лшраижа дяя функций многих переменных, р(ап.,., а„) — р' = ) 5 (Р)(аг — а ), где ау 5,(у) = —, ~,„,.„„<е..е.,) „, „,„„.,й, О < Р < и Отсюда следует оценка погрешности ]у(аг,..., а ) — у*( < Ао(р*) =- 2 В5Ь(аг), г=! где ]ду(ам..., аь) ~ Вт —— впр бог Глава з. Погрешность результата численного ране!!из задачи Положим (з3(а")) .
1( з=! Если произв!за!не ' ' непрерывны, то 61(д) = Ъ, (0) + о(1) и др(аз,..., ач) даз ~ду(аз,..., а,',) ~ д, Здесь выражение х = р+о(1) пою!мается в смысле! х — р — з О при р — з О. Следовательно, Ае(р') =- Аэ(у") 1- о(р), где 4е(з*) ~! У( ! )!з3( ) з=! При практической работе вместо оценки погрешности (3) обьгзно пользуются более щюстой, вообще говоря неверной, зоценкойз )у(аз,..., а„) — р ) < А (р ), (4) называемой лннеаной оценкой аозрпиносиш.
Задача 2. Доказать, что Ае(у*) — А(у") = о(р), Ае(р*) — А(р") = о(р). Расмотрим некоторые примеры определения величин А(у*), Ае(р*), Ае(р*) и произведем их сравнение. 1. р =. азе, а" = 1, з3(а') = 0,001. Тогда р* = 1, р' = 1О ° аз, Ъ(0) = 10, В = зпр (10 ° аз) =- 10,09... )а-0<о,ее! .4(р*) = знр (а — Ц = 1,001 — 1 =. 0,010045..., )е-!)<еде! Ае(р*) = Вдз(а') = 0,01009 Ае(у*) = )Ъ(0)) Л(а*) = 0 01 Здесь оценка погрешности через величину Ае(р"), предельно точная оцен- ка (1) н линейная оценка (4) различаются несущественно. 2.
у = азе, а' = 1, сз(а') = 0,1. Тогда у' = 1, В= впр 10 аз = 10 ° 1,1з =23,..., ! -з(йе,! А(у*) = жцз )а'е — Ц =1,1'е — 1=1,3..., ( — ц<о,! Ае(р*) = В!3(а') = 2,3..., Ае(у") = )Ъ(0)) Ь(а") = 1: Здесь различие мел~ау этими оценкзми более заметно. 29 1 5. Погрешность функции 3. Проведем конкретную оценку погрешности в случае вычисления значений простейших функций.
Пусть Р = уга1 ф . ° + 1нон, где у„..., ун принимают значения 41 или — 1; пусть кшестны оценки )а — а') < Ь(аг). В данном конкретном случае б (Р) =- ум (бг(Р)) =- 1, поэгому А(р*) = Ао(р*) = А (р*) = Ь(аг) +.- + 71(а*„). Посколькут по определениях погрешностью назынмот лгобую оценку для р — р", то это соотношение можно тскже записать н виде Ь(~а( х - ° иа,",) = г'.г(а()+ + дс(а ). (б) рг '((аг) . р*) и А(р*) Ае(р ) ~)р ~ ~ае)-г)р (л(а*) После дслегпся на (р') получаем (6) По отношению к частным случаям у = аг.аг или р = аг а.
соотношение (6) иногда формулируют в виде правила: предельная оотосисасльнал иогрегиносгль произведения илн ~сотного ггриблиошенно равна сумме предельных счлносителыгмх логрешностса. 4. Довольно часто возникает задача оценки погрешности функции, заданной неявно уравнением г(р,ам,..,а„) =О. Дифференцируя (7) по аз имеем (7) дР др ар — — + — =О, др да, да. Это равенство иногда формулируется в виде правила: лредсльнал абсолнллнал погреигнос ть «рммм или разности равна сумме предльних ногреганостей. Есин погрешности в вали*пгник а,*:швяснмы, то ~а~~~~ (б) нито может быть улучшена. Рассмотрггм пргктейший пример: а1 =- а, аг = 1 — а: известна, что в обоих случаях о одно и то же; тогда независимо от погрешности в значение а сумма аг ф аг равгга 1 и погрешность суммы раина нулю.
Пусть теперь р =- а"'... а~; тогда при всех у имеем б (О) Глава 1. Погрешвост», ре«ультата числевиога решения задачи ЗО о гк/ да 11рн заданных а",,..., а' можно найти р* как корень уравнения (7), а затем значения Ь/(й) = — ( — ) ( —,В/1 !/эч«1, лр) . (й) 1(а -~- с) — 1(с,) Так, производную решения дифференциального уравнения по начальному условию, в при»шипе, можно вычигшитть интегрируя соотвст«тву»ощое уравнение в вариациях, решением которого является зта производная.
Однако часто разумнее воспользоваться предыдущей формулой. 5. Рассмотрим один паиболае типичный частный случай к» и. 4. Имеется приближение р* к корню уравнения 7(р) =- а.; требуется оценить его погрешность. Вычислим в«личину а =/(1/ ). При малых р* — р кз равенства 7(р) — /" (р*) = а — а" следует, что / (р )(р — р ) = а — а и, т»ким образ»м, а — а" а — /'(р*) »/ — 9/* .('(р«) 7'(р*) В часто встречающемся спучае а = 0 получаем У(р*) »/ — м/* = — —. Х (р")' С помощью этих величин можно получить «л»//н»й»»у»о оцепкуь погрешности (4).
Вследствие зависимости прок»водных др/да» от самого значония р получение строгих оценок (1), (3) здесь довольно трудоемка. Часто решение задачи зависит от приближе»шо задаваемых параметров настолько сложным абра:юм, что получение или использование явных формул для производных по этим параметрам практически неприемломо из-за своей громоздкости и трудоемкости. В такой ситуации для оценки этих производных целесообразно воспользоваться какими- либо приближепнымн формулами дифференцирования, например й1 "г 5.
Погренность Функции б. Обратимся к оценке погрешности корнгй квадратного уравнения Г(о.ггг,ог) = Р + а1Р+ аз = 0 (10) при зада»пи,гх приближенных значениях коэффициентов а'„аг и вх погрггцнгкчях г1(аг )„21(а~). Пусть Р' — решение уравнения Р +а»Р 1 аг= о. Из 1)юрмулы (9) имеем др ~ Р" Л,(О) = — ~, 11 = -- — — „-, даг ) н'*»1 2Р*+ а** Л,(О) = — ~ОО)яо =— даг ' ' 2Р' -1- а*, и, следовательно, (С( *) Ь*(ы(аг) у ы(аг) (2Р* + 4 Рассыотрим некоторуго область (аг( < Лг, (аг) < Лг к»венеция коэффициентов аг,аг. Из явного выражения корней аг аг г Р ~(1 ггг 2 )'4 следует, что корни явялякгся непрерывными функциямн коэффициентов, поэтому )Р(аг, аг) — Р(а! агН < цг((а1 — а,(, (аг — аг!) пРи (аг, аг), (аг,аг) из атой области, ы(Л1, Лг) — 1 0 пои Лм Лг — 1 О. ПРаваЯ чагть в (11) стРемитгЯ к ос пРи 2Р" +аз — » 0; поэтомУ»лкнейнаи оценка» погрелшости при помощи формулы (4) может оказаться в некоторых случаях сильно завьппенной по сравнению с точной оценкой погрелпюсти (3).
Дело в том, что ранее. предполагалась непрерывная дкфференцпруемость Р(аг,..., а ) по аргументам (а,,..., а„). Тогда погрешность Р* оказывалась величиной того же порядка, что и погрешности аргументов П(а*). В случае, когда величина Р* определястгя неявным образом, при некоторых зна гениях пара»»строя огга оказывается недифференцируемой функцией аргументов а*. в характер оценки меняется. Пусть Р' является двукратным корнем уравнения (7~ при аг = аг, аг = аг. Разложим левую гасгь (7) в ряд Тейлора в окрестноспг точки (Р~ аг, аг).
Поскольку Р(Р 1 $) Рэ(Р а1 аг) — О при Р* — двукратвоы корне уравнения (7), то уравнение (7) примет вид »7гсе(Р Р ) ч-0а1а(аг — аг) "-даос(аг — аг) + - =-О, 32 Глава!. Погрешность результата численного решеяю1 задачи где л, „(р",а(,а*,) ! ньа!зот порядок о(р). В гмУ'гас УРьвг!елин ( ") по похазатге что Таким сбршом. погрешншшь приближенного значения корня оказалась вели пшой порядка 0(огр).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
