Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Задача 3. Поююать, что в случае, когда уравнение имеет корень кратности р, погрепп!г>сть карня имеет порядок О('Я. В 6. Обратная задача г1асто приходятся решать обратную задачу: с какой то пюстью надо зв. дать значения аргументов а',,..., а,', функции р = р(аг,..., а„,), чтобы погрошность у[а!,..., а,",) пе превосходила заданной велнчи!па Е? Пусть точки (ам..., ао) и (ап ., а,*,), соогвеггтву!огана нстннныл~ н приближенным значениям париютров азл принадлежат некоторой вьшу- ~ др клой облапги С н с = впр — ~. Тогуш вмеем оценку погрешности 'а )да! ' )У(а,,..., аь) — Р(а!,..., а,*,) ! < ~С?СХ(а„*.). Любая совокупность (Гг(а!),..., /г(а,*,)) абсолютных погрешностей, удовлетворяющих неравенству )' стм(а ) С г г=! обеспечивает требуомуго точность.
Если функция р зависит только от одного аргумента (и = 1), то ямеом неравенство с!?!(а*) < с и для догтижаннв требуемой точности достаточно взять Гх(а!) = е/с!. В случае п > 1 иногда рекомендуют отвести погрешности каждого ар- гумента равную долю, т.е. вь1брать Гг(а.*;) из условия с сг(азт) = е/и, т.е. Ь(азе) = с/(Чп). В других сзу гаях л?хдлагюот взять все оценки погрешностей равными, максимально возможвыми, т.е. положить Гг(а!) = .. =- сг(а ) =б, где б=е/(сг -1-- ° ° +сь). Глава 1. Погрешнасз» разультате шгленяого решення задачи Подставляя Л в (!), получим Е еЛ(ог) = : С! (2) Ртдзс П(юю) е ..' =-'=~ —.'") (-:) Поскольку с(! ) Е(з, то в рассматриваеыом примере нгоиыость задания первого аргумента при малых е растет быстрее, чем стоимость за,тания ° торого аргумента.
В ссютзетгтвии с атнм мы получили, что второй аргумент следует задавать с точностью более высокого поряцка малости по е, в то время как сочность задания первого аргумента практически зп1шцеляется из равенства сгЬ(аг] = Е. )зазличный характер зависимости функции стоимости от погреппютгей зацання аргументов может определиться многими факторами. Нели, запрнмер, параметры о определяются шсленным решением некоторых зспомогательных задач, то слагаемые Р„ЕЛ(а!) " характеризуют различтую трудоемкость решения этих задач.
В других случаях ннуг характер яожет определяться сложностью получения экспериментальных цанных ели труцностьго достижения нужной точности тех или иных параметров реальной конструкцпи. Литература 1. Березин И. С., Уйилков Н. П. Методы вычнсвеннй. Т. 1. - - Мл Наука, 1966. 2. Крылов В. И.„Бабков В. В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Интерполирование н интегрирование.
— Минск: Наука и техника, !983. 8. Крылов В. И., Войков В. В., 1у!оашюэрный П. И. Вычислительные яшсзш. Т. 1.— Мл Наука, 1976. Интерполяция и численное дифференцирование В этой главе излагаются ианболее широко используемые способы вычисления приближенных значений функции и ее производных в случае, когда известны значении функции в некоторых фиксированных точках. Множество этих точек вногпа ладимся нам внешними оГктоатгльствамн, а иногда мы можем выбрать вх по своему усмотреншо. Такого рона задачи приблнжешш и прнближгнного днфферегщщювания часто возникаюг как самостоятельные в сгггуацнях, нскоторыг из которых будут рвссмотреша ниже Крюме того, алгоритмы решения этих задач используются как всггомо~втельные ири построении методов вычиштгшия ингегралов, решения дкг)л)юренцггэльных и интегральных уравнений.
Наличие болыпого количества методов вызвано исторггчеглиьг развитием теории и практики решения прикладных задач. Многие методы вапшкли как варианты предшеству1о~цих, отличаясь от них формой записи, изменением порядка вычислений, имевшими цель уменьшить влияние погреппюсти округлений при вычислениях. В то же время развитие вычислительной техники и теории численных методов приводит к непрерывному перегмотру и некоторому сужению совокупности применяемых методов.
Некоторые методы вышли из употребления по следующим при пшам. Произошло увеличение рэзркцности чисел в ЭВМ, и как бедствие этого оказалось несущественным рмличие в вычислителыюй погрешности в зависимост'и от последовательности арифметических операций; в результате этого в практике вычислений постепенно закрепились простейшие по форме методы. С другой стороны, усложнение модели задачи и требование уменыпения погрешности метода, как правило, требугот н существенного рости числа выполняемых арифметических операций.
Несмотря на повышение разрядности чисел в ЭВМ, для ряда методов що обеты ятельство прииодит к недопустимо Гюльпюму значениго вычислительной погрешности (так называемой нсйстой гиеосшп). Поэтому при повьппении требований к точности ршультата ряд методов также был забракован и изъят из вычислительной практики. Тем не менее сохраняется положение, когда длн решения каждой конкретной задачи можно применить довольно много методов. йй Глава й Нвтерпалялия и численное Лифферепцированпе В 1. Постановка задачи приближения функций Иногда возникает следующий вопрос. Может быть, наличие болыпого количества различных способов приближения абьясняется просто отсут станем научного подхода к постановке и решенита проблемы; если бы такай подход был, то, может быттч удалось бы предложить одни оптимальный способ приближения, пригодный во всех случаях? Такой вопрос возникает и при рассмотрешпт других разделов численного анализа.
Сколь бы пи было заманчиво разработать единый подход к решению всех задач, слглует псе-таки призвать, что многообразие методов вызывается сутцеством дела — многообразием различных постановок проблемы. В частности, различные теоретические разделы теории приближений, например интерполяции, можно рассматривать как изучение абстрактных моделей некоторых реальных классов проблем. 1. Простейшая задача, приводящая к приближению функций, заключается в следующем.
В дискретные моменты времени хт,..., т:„нвблюдыотся значения функции у"(х); требугпся восстановить ее значения прв других х. Подобная задача вазвикаег, в частттосги, в сведующей обстановке. По ходу вычислений иа ЭВМ приходится многократно вычислять одну и ту же сложную функцию в различных точках. Вместо ее непосредственного вычисления иногда целесообразно вычислить ее значение в отдельных выбираемых нами по своему усмотреиню точках, а в других точках вычислять по какнм-лнГю простым г]юрмулаьг, используя информацию об зтвх известных значениях.
Иногда из каких-то дополнительных сосбрюкенпй известно, что приближюощую функцито целесообразно искать в виде Дх) = д(х;ат,"., а„). Если параметры ат,..., а определятатся из условия совпадения т"(х) и приближающей функции в точках ттт,..., х, так иазываеьтых узлах. иитертталлции, д(х,;ат,..., а„) =-у(хт), у = 1,..., п, то такой способ приближения называют иитлсппаляппей или ииюерпалираеоттиехт уь Пусть дт — наименьшее из чисел:т,— узлов интерполяции, а дзнаибальшге из них.
Если точка х, в которой вычнютяетгя значение у(х:), лежит вве отрезка [дт, рз], та нара,зу с термином шалертюллйил употребляют термин экстлрапаллцил Например, известно поведение какой-либо переменной да данного мочеита времени и требуется высказать какое-то суждение о ее дальиейлем поведении. Это может быть температура, рост производства или "ютребления какого-либо продукта, рост ттарйдонеселеиия, урожайности к пи.
Зцввтаггтт какими-то моментами времеви, строят интерполируюцую фупкцшо и ее значение в какой-то будущий момент принимают за трагиозируемог (экстрзполируемое) значение искомой величины. зу ! 1. Постаиавка зшючя прибяиженя» фувкеив Если узлы интерполяции выбраны далеко от момента времени, где приближается функция, то тем саыым слабо используется существенная информация о поведении переменной в последнее время.
Если они выбраны очень близко, то увеличивается роль погрешностей в используемой информации. Таким образом, вопрос о выборе узлов интерпгшяцин и зкстраполяпии непрост, особенно в задачах, где знаюния исследуемой функции зависят от многих случайных или трудно учитываемых факторов. Сюда относятся задачи прогноза погоды, урожайности, медицины и т.д., в которых, как правило, требуетсв применять более сложные (в частности статистические) методы прогнозированиа. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
