Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Решение такой системы интегральных уравнений непомерно сложно даже для соеремеввых ЭВМ, п<итому быэ предпринят ее подробный анализ. Оказало<те что относвэельные погреппкхти характеристик системы, обусловленные техн<жом<ей шютовления устройства, яилякпся величинами порядка 10 <, поэтому игт смысла решать задачу го столь высокой точностью, как требовалось вначале В результате требования к точности искомого решения бььв< свюкены до относительной погрешности 10 <. 1!днако и тикая точногть «се равно еще требовала непомерных затрат машинного временп.
Дальнейший аналм зьг<в<н показал, гго но существу заказчика интересовал <ивет только на олин вопрос — будет ли данное устройство устойчиво фуикционировшь кли нетг Вегеегве<шо было предположить лве возлюжноеги< 1) н малых значениях нврамстра А = 1ДУ решение плавно завшжт от этого з 2. Запи<ъ чисел в ЭВМ параметра, поэтому при Л, меньших достаточно малого Ле, система будет работать в одном режиме — или в<шла устойчиво, илн всегда неус тойчиво; 2) при малых значениих Л решение существенно меняется при изменении этого параметра, и интервалы зна'<ения параметра Л, где режил< работы у<зпйчив, перемежаются с интервалами звачений, где режим работы неусюйчив. В <вязи с этим были предприняты расчеты при довольно крупном значении Л = 1/1О с <<полетел<щи<< уменьшением значений Л с тел<, чтобы понять, какая из двух указанных выше возможностей реализуегси.
Расчеты показывали, что при <гзл<енении Л в пределах от 10 < до 10" имел место устойчивый режим работы устройства и был сделан вывод (подтвержденный потом экспернментатьио, после конструирования реального устройства) сб устойчивости его раб<ли пря Л = 10 е. В <лучае второй возможносп<, вследствие грубости изиповления усцюйсгва, вряд ли удзлогь бы вообще исследовать вопрос об устойчивости е<о работы при Л = 10' е. Другой, на первый взгляд выглядящий курьезным, но ва самом деле иесьма типвчвый пример реальной ситуации.
Перед математиы<ь<н была поставлена задача с<ншц<ия ач<оритма и программы быстрого (менее чем за 1 г. машинного времени) выч слепил нте< р шо специального вида с относительной погрешностью 1О <. Эта задача была ими успешно решена, т. е. был рачржютая метод вычислении таких интегралов и на его основе создана сталлартнвп программа. В <жио очередь исследователе, поставившие задачу, не <купясь на з<шраты машивного времени, длл провц<ки <пшества предложенного математиками метода и надежности программы сами вьшиглили приближенно олин и< таких ни<тгралоа с относительной погрешностью, по их мнению, 10 ь. Но оказалость что исе попытки решить зту, так называемую юестоерю заддчу с погрешностью, лучшей, чем 10 -", с помощью гозданной ь<атеь<атикамн программы оканчивались неудачей.
В<вникло предположение о погрешности в самой тес<оной задаче. Окззалость что число х было взято равным 3,14, что вносило в тс<тоиый приь<ер неустранимую погрешнос<ть которая, естественно, пе могла бь<ть устранена нвкзкими усилиями ьит<ематиков, гочпававцшх алгоритм и программу. В 2. Запись чисел в ЭВМ Современные ЭВМ оперируют с числами, записанными в одной из приведенных ниже форм. Порвая форма записи — с фиксировшшой занятой< все числа в ЭВМ имеют мопулть меныпий 1; число знаков после запятой фиксировано. Таким образом, машина оперирует с числами т = т,» оьй = х(о<, . «<)1 (1) ь=< здесь Π— целое в основание системы счисления, о„ ...,о< — целые в пределах О < оь < О.
!"лава 1. Погрешностям>езульта«а численного решения задачи 22 При операциях над числамн х с ~х( < 1 могут появляться числа р г. ~р) а 1, и тогда про>юойдег остановка работы ЭВМ («мап>инный останов» или АВОСТ«). Чтобы избежать етого, производится масштабирование задачи — введение новых масштабов. Иногда заранее нельзя указать нужные л«асштабы; в других случаях введение очень больших масппвбов с самого начала приведет к тому, ч>о в исходных данных большое количество первых из ог обратится в нуль и произойдет существенная пошря информации.
Позтому часто предусматривают изменение масштабов уже в процессе решения задачи. Вторая форма записи, паиболес раглространшшая в ЭВМ, предназначенных для научных расчетов, - с плаваклцсй запятой: мюлина оперирует с числами х =- ~йг~пь«1 "= +д"(о>, ", оч); (2) порядок числа р удовлетворяот неравенству )р( < рс.
Наиболее распространен случай деон шой системы счисления, когда й = 2. При работе в режиме с плавающей запятой пользователь получает дополнительные удобства, т>к как не надо заботиться о маспггабах; одниа> при злом происходит некоторое замедление работы ЭВМ. З 3. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных Если о- толюе значение яекогорой величины, а сй — известное приближение к нему, то лбл:опытной погрситопль«о приГ>лижевн»го зла >ения а* называют обычно некоторую величину бг(а"), про которую известно, что )а* — о) < б>(а ). Относившею ной ногреил>сошью приближенного значения называют некоторую величину б(а'), про которук> известно, гго ! < б(а*).
Относительвую погрешность часто вь>ражают в процентах. Если а — извн гное число, например «, то иногда говорят об абсолютной бг(а) н относительной б(а) погрешностях запаяна втогв числа. числа Ь(а) и б(а) иазывак~г оютвегогвенно аб«глистной и гпнос>и ельиой погрешностью числа а, если лро ннх известно, что )а" — а) < й(а), ~ ~ < б(о). гз 3 3. Аб«олютнвя и относительная погрепввххв Иногда в литературе абсолхпной погрешностью на>ыеают величину о — а, а а' — а относительной еелпч>шу —. пы будем ерндсржнеать и нем>доых аиро. а' делений, и поэтому у нас всегда 0 < .1(е'), 6(а ) По ходу изложения л>атериала будут употре1й>иться выражения: большое шсло, очень большое ">осло, спльныб росса фупьппп.
Чаще всего число г> мы называем большем, естп )>г)» 1, но относительная погрешпогль ргзульт>та решения задачи порядка Ц2 ' являетгз> допустимой. Е<ли относительная погрепшость порщска Ц2'' является недопустимо болыпой, то чиию х нвзывееы очень болен>пж. Выражение фрпкэ»л сельпо рос>псла чаще вито озпачеет, чтп она возрм:тает е очень бппьшос число раз. Зьочощпмп цнфролп> пила п>с>ываюг есг цифры в сп> записи, начиная с первой иенулгной слева. Пример. У чисел г>* = 0,03045, и* = 0,03045000 зпачшцими цифрами являкпш»к>дчеркнугыо >пк)>ры. Число зпачшцнх цифр в первом случае равно 4.
во вп>рол> 7. Зпачащу>о цифру называют верной, если абххппотпая погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствую>цсго зюй цифре. Примеры. о' = 0,03045, >3(о") = 0,000003; и* = 0,03045000. >3(о") 0,0000007; осщчоркнугые цифры являются верными. Иногда услав>шеаются иыыеать зпачмцу>о цифру вернои, гглн абсолютная погрешногп пг превосходит половины глвовп рьжряла, соотеегстеу>ошех зт»й цифр> .
Если есе зпача>циг цифры верные, то п>ворят, что число записано со всемв верн»> ив йпз>р>ьмп. Пример. При о' = 0,0304о, >3(е") = 0,000003 число а' запокано со всеми верными цифрал>и. Иногда употреблястси термин тело еерньш цифр пос»е эаелтоа> псдсчнтываппм >игле цифр после запятой со первой цифры до последней верной цифры. В последном примере что число равно 5. Доиольпо часто ннфорлапо>я о некоторой величине звдашпя пределами оо измерения> о> < а < ет, пвпрвмер 1,119 < о < 1,127.
Прин>по записывьпь зти пределы с одинаковым числом знаков после запятой; так как обычно достаточно грубого представления о погрешности, то в числах а>, ая часто берут столько значащих деглтичных цифр, Глава 1. По»решнскть р«пультата численного решения задачи сколько нужно, чтобы разноси аг -оз содерлшла сшпу-две значащие ци- фр»я. Употребляемые лакее оговорки «частом обычно», «принято» специально употребля»ется нами, чтобы ве созлдвелскь впечатления еб «база«ель»»ест»» каких го стандартных форм задания информации о величине погриппсстя. Эти формы звдъння информации рассматрпвыотся лишь потому, что они наиболее расл1юстранены, а следовательно, паибалее удобны при контактах. Абсолютную или относительную погрешность обычно записьпиют в виде числа, содержащего одну или две значвщвх цифры. ((памир»«ацяю о том, что а* является приближенным зн;меняем числа о с абсолютной погрешностью «3(а*), иногда записывают в виде (2) а = о" 4 Гг(о*); числа а* и Гг(а*) пршшто записывать с одинаковым числом знаков песне запятой.
Например, записи о=1,123х0,004, а=1,123л4 10 з относятся к общепринятым и озлачшот, что 1,123 — 0,004 < а < 1,123 .1- 0,004. С«ответственно информацию о том, что а' янляегся приближеш»ым значением числа а с относительной погретпаостьго О(а*), записывают в виде о = о'(1 х 6(о*)). (3) Например, записи а= 1,123(1 ~0,003), а = 1,123(1 х3 10 з), о = 1,123(1 х0,3%) спначают, что (1 — 0,003)1,123 < о < (1 + 0,003)1,123. При переходе от одной»п форм записи к другой надо следить, чтобьг пределы измерения, указываемые вовой формой записи, были шире старых, иначе такой переход будет незвковныи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
