Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков. Крупнейшве представпшли прошлого сочетали в своих исследованиях изучение явлений природы, получение их математического описания, как иногда говорят, математической модели явления, и его исследование. Анализ усложненных моделей потребовал создания специальных, как праввло численных или асимптогических методов решения задач. Названия некоторых вз таких методов — методы Ньютона, Эйлера, Лобачевского, Гаусса, Чебышева, Эрмита, Крылова — свидетельствуют о том, что вх разработкой занимались крупнейппю ученые своего времеви. Настоящее время характерно розким расширением приложений математики, во многом связанным с созданием и развитием средств вычвслительной техники.
В резулыате появления ЭВМ (электронно-вычислительных машин или, как часто говорят, коъшьютеров) с программным управлением менее чем за пятьдесят лет скорость выполнения арифъ1етнческих операций возросла от 0,1 операции в секунду прн ручном счете до 10~~ операций ва современных серийных ЭВМ, т.е. примерно в Рост вгнможноогей в связв с созданием вычислительной техники носит качественный характер и иногда сравнивается с промышленной революцией, вызванной вззобрегением паровой машины.
Уъ1естно вспомнить, что в итоге промышленной революции и последующего на прпяженив двух веков ражатия науки и техники скорость передвижения возросла от скорснти пегпехода 6 км/ч до скорости космонавта 30000 км/ч, г.е. в 5000 раз. Распространенное мнение о всемогущество совпеъгевных ЭВМ часто порождает впечатление, что математики избавились почти от всех хлопот, связанных с численным решением задач, и разработка новых методов для их решения уже не столь сущеонюнва. В действительности дело обстоит иначе, поскольку потребности эвошоцин, как правило, станят Введение перед наукой задачи, находящиеся на грани ее возможностей. Расширение возможностей приложения лгатематики обусловило математизацию химии, экономики, биологии, геологии, п.ографии, психологии, экологии, метеороэогии, медицины, конкретных разделов техники и др.
Суть мьтематизации состоит в построении математических моделей процессов и явлений и в разработке методов их исследования. В физике вли ыеханике, например, построение математических моделей для описания различных явлений и изучение этих моделей с целью объяснения старых или предсказания новых эффектов являются традиционными.
Однако в целом работа в этом направлении зачастую продвигалась относительно медленно, поскольку обычно не удавэлогз, получить решение возникающих математических задач и приходилось ограничиваться рассмотрением простейших моделей. Применение ЭВМ и расширение математического образования резко увеличило возможности построения и исследования математических моделей. Все чшце результаты расчегов позноляют обнарувсивать и пред<жазьшать ранее никогда не наблюдавшиеся явления; это дает основания говорить о математическом эксперименте. В некоторых исследонаннях доверие к результатам численных расчетов так велико, что при расхождении между резульштами рэсчетои в экспериментов в первую очередь ищут погрешность н результатах экспериментов.
Современные успехи в решении таких, например, проблем как атомные и космические вряд ли были бы возможны без применения ЭВМ и численных методов. Требование численного решения новых задач привело к появлению большого количестна попых методон. Наряду с этим последние полвека происхсдило интенсивное теоретическое переосмысливание и старых методов, а также систематизация вгвх методов. Эти теоретические исследоиания оказыван:т большую помощь при решении конкретных задач и игрэгог существенную роль в набпюддлмом сейчас шщюком рвспргх:транении сферы приложений ЭВМ и математики вообще.
Как уже отмечалось, с помощью современных ЭВМ удалось успешно решить ряд нажных научно. технических задач. У непосиященного человека может возникнуть превратное впечатление, что успехи в применении ЭВМ обусловлены только повышением их бьк:тродейогвия. Реально дела обстоит иначе и сложнее. Правильнее будет сказать, что достижения в области использования ЭВМ обусловлены сочетанием ряда су1цытвенных факторов, без пропорционального развития которых они были бы много скромнее: 1) увеличение быстрццейсгвия ЭВМ, расширение памяти, совершенствование структуры ЭВМ, неуклонное снижение стоимости арифметической операции и единицы памяти; 2) разработка программных средств общения с ЭВМ, включающая соэдаине операционных систем, язьпгов программирования, библиотек и па- 10 Вэглеиие кетов <пандартных программ, снижение тре<ювании (в случае персональных ЭВМ) к л<атематической в программистской культуро: 3) рост понимания процессов и явлений науки, техники, природы в общества и создание их матеыатических моделей; 4) совершенствование молодое решения традиционных математических н прикладных за< ч и создание методов решения новых задач; 5) рост понимания возможногтей примеиени» ЭВМ среди широких слоев общества; распространение чик называемой компьютерной граиоч ности; ксюрдинация усилий спгцвалис<ов р<юпого профиля по исп<шьз<ь ванню вычиглительной техники.
Достижения, перечиглевпые в пп.,'1), 5), позволяют ответить на вопрос, какие задачи <шодует р<зпать с помощью ЭВМ, п оруннизовать их решение, в пп, 2), 4) как их решать, и в оп. 1), 2) — дают длк этого технические и программиью средства. Просмотр мечюдов решения ыюжных прикладных задач показыва<-г, что, как правило, эффект, достигаемый за счет совершенствования чиглонных мат<шов, по пор<щку сравним с э<Офек<гол<, достигаемым за счет повьппеиия производительно<ти ЭВМ. Трудно сформулировать критерий. по которому можно было бы оценивать эффект применения новых численных методов, и еще труднео ууап, его достонерпу<о количественную оценку. Всо же.
осли сказать. что эффект иг применения новых численных методов (при измерении зффокта в логарифмической шкале) при решении прикладных ссшстэенионаучных задач дагп 40е<<л общоы эффекта, до<тишемого за счет применения новой вычпшппельной техники и новых чискевных лютццов, то эта опенка ве будет завы<пенной. Рассмотрим пример, иллкчстрирующий это утворждение. 1'ешенпе ди<)<- ференциальных уравнений в частных производных снодитс» к рошеви<о свстем линейных алгебраических ураввоипй г матрицой, в каждой счроке которой имеется 5 10 ненулевых апек<сигов. Нэкаиуне появление ЭВМ такие сястемы уравнений реп<шли н <лучае числа неизвестных порядка 10 — 10; сейчас нередки с лучаи, когда рсшшотся системы с числом <ус<юх.
вестпых порядка 1Оэ — 10<. В гипочетичоском ачучае решения этих зада< па современных ЭВМ методам, известнымн тридцать лет назад, пришлось бы ограничиться системами уравнений с числом неизвестных па рядка 10ч — 10< (при тех же затратах времени ЭВМ). Конечность скорости распространения сигнала — 300000 кл</с — стшшт ух<в сейчас сущосгвенное ограничение на возможный рост быстродействия однощюцессорных ЭВМ, поэтому значение двльнейсцего развития теории чисковиых методов трудно переоценить. В частности, становится все более актуальной проблел<а разработки численных методов и программных средств дчя мяогопроцессюрных ЭВМ.
Бьштрое проникновение математики во многие оС;<асти знания, в частности, обьясняешя тем, гго математические моделя и метод<,< их иссведоваиия применимы сразу во многим явлениям, сходным по своеМ фюрмэльной структуре. Часто математическая мсщель, описывающая вакое- Введ«ние либо явление, и«является лри изучении других явлений или прн вбограктных математических построенвях задолго до конкретного рассмотрения данного явления. В частности, и в теории численных методов, так жв как в «чистой» мате»«вгике, полезна разработка общих построений. Однако есть разница в подходе «чистого» и «прикладного» матема.
тика к решению какой-либо проблемы. На языке иервопз понятие «решить задачу» означает доказать существование решения и предложить процесщ сходящийся к решению. Сами ло себе этн результаты полезны для прикладника, но, кроме этого. ему нужно, чтобы процесс получения приближения не тр«бовин больших затрат, нзлример времени или памятв ЭВМ. Ему важно не только то, что процесс сходится, но и то, как быстро он сходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
