Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 3
Текст из файла (страница 3)
При численном решении зада~ возникают также новые вопросы, связанные с усчогшивосчью резульгага относительно возмущений исходных данных и округлений при вычислениях. Нара,ву с теорией численных методов период бурного развития переживает и ряд других разделов математики, неп«кредствснно обязанных ЭВМ своим возникновением.
Применение численных мегодов и ЭВМ к решению «х:тественнанаучных задач оказывает влияние и на традиционные разделы математики. Математика возникла и развивается как часть естеств«знания, и долны время ее развитие существенным образом определялось потробностями физики и механики. Требование математизации новых разделов науки неизбежно приводит к обратному влиянию этих разделов на рвзвитио математики и должно существенно изменить лицо самой мате»«агнии. Ратвитие как тсоретическик, так и прикладных разделов математики в конечном счете определяется шлргбностями общества и его материальным вкладом в развитие науки, в частности в образование. Несколько десятилетий назад отношение вложений в науку к общим вложениям в народное хозяйства составляло дони процента.
Сейчас в и«пгустриально развитых странах это отношение настолько велико, что сто дальнейший существенный рост невозможен. Паггому происходит перераспределение вложении в различные направления науки. Это обуславливает еще один канал влияния прикладной стороны математики на развитие се теоретических разделов. Прикладные исследования имегог непосредственную отдачу; эчо усиливает доверие общества к математике, расширяет понимание ее проблем н как следствие способствует увеличению вложения средств с целью ее развития. При реальной работе в области приложений математики возникаег большое количество осложнений самого различного, зачастую нематематическоге характера. Хоти трудно надеяться, что какие-либо теоретические нРавоучения могут заменить собственный опыт работы, попытаемся обратить внимание на некоторые вопросы общего характера, важные для работы в области приложений математики.
Проводимая ниже систематизация этих вопросов является довольно случайной, условной; по-видимому, можно предло- Введение жить еще добрый десяток подобных классификаций, имеющих не мень- шее право на существование. 1. Первостепенное значение нмеет выбор направления исследовавия. Свобода выбора обычно довольно невелика, тзк как о«зювные контуры направления исследования обычно задаются южане». При выборе направления исследования н пределах имеющихся вспможностей полезло иь«еть в виду « тедующсе «правило трех частей», по своему ннешнему виду похожее на шутку. Проблемы делятся на: 1.
легкие, П вЂ” трудные, РП вЂ” очень трудные. Проблемами 1 заниматься ие стоит, онн будут решоны в ходе событий и без нашего вмешательства, проблемы П1 вряд лн удастся решить в иастошцее время, позтому стоит обратиться к п1юблемаы П. 2. Нужно уметь спюрмулировать на языке математики конкретные задачи физики, механики, экономики, инженерные задачи и т.д., т.е. построить математическу«о модель рассматриваемого явления. В теоретячы:кой пауке исследователгь умеющий правильно формулировать, как говорят, ставить новые задачи, как правило ценится ныше, чем исследователь, уьгеющий решать кем-то поставленные задачи.
Еще более нозрастает роль таких ученых в прикладной пауке. Начинающий работу ь«атематик часто жалуется на трудности контактов с представителями других наук, кшорые «даже» не могут сформулировать спжщнх перед ними задач. Правилыюе формулирование задачизто научная проблема, не менее сложная, чем само решение задачи, и не нужно надеяться, что кто-то другой целиком сделает зто за вас. При постановке проблемы первостепенное внимание должно быть уделено выяснению цели нгтледования; прннимаеыав математическая модель явл«» ния не есть что-то однозначное, раз навсегда связанное с этим явлением, а зависит пг цели исследования. Прежде чем выписывать дифференциальные уравнения, выбирать метод решения и обращать«я к ЭВМ, стоит подумать, а не будут ли бесполезны нсс результаты вычисленийй В то жс время надо воспринимать как должное, что большая часть резулшатов вычислений будет выброшена сразу лю после их получения.
Дело в том, что произноднмая работа зачастую носит исгледоватезьский характер и трудно заранее предсказать, что и в какой форме следует получить, на каком пути нужно искать численное решение задачи. Цель исследования н описание проблемы обычно уточняются в процегсе контактов представителей конкретных наух или руководства организаций (заказчиков) и математиков 1исгледователей или исполнителей). 3. Успех в приющлной науке требует широкой матеьгатнческой подготовки, поскольку только такая подготонка может обесг«»чите приспосг;бляемость к непрерывно меняющимся типам задач, предъявляемых к решению.
Одной из причин необходимости изучения на первый взгляд «бесполезных» для практики разделов математики является достижение более Введение уверенного и более свободного нладения «нужными» разделами математики. При по«троении и анализе математических моделей привычка математика «докапынаться до конца», подвергать все со»«нению, обусловленная его строгим математическим образованием, часто нс менее важна, чем интуиция н соображения здравого смысла. Типичное двя человека с математическим образованием стремление к общно«ти охвата различных явлений часто помогает выделить наиболее существенвые чергьг явления и шбросить второгтелевные.
4. Не следует думать, что совершенное знание ьштематики, численных лютодов и навыки работы с ЭВМ пгнвовяют сразу решить любук» прикладную математическую задачу. Во многих случаях требуется «доводка» м«подов, приспособление их к решению конкретных задач. При этом типична обстановка, когда используются метод, применение которых теоретически не обосновано, или теоретические оценки погрешности численного метода неприемлемы Лля практичест«ого использования вследствие их громоздкскти; при выборе метода решения задачи н анализе ршультатов приходится пш»агаться нв опыт предшествующего решения задач, на и»нунцию и сравнение с экспернментол«и прн этом приходится отвечать за достоверность р»аультвтв.
Ноэтоыу для успеха в работе необходимы развитое н«х1юрл»альнае мышление, умение рассуждать по апалогни, дающие основания ручаться за достоверность результата там, где с позиций логики н лгатематикн, вообще говоря, ручатыя пельзя. В рассматриваемом вопросе есть и другая сторона. При численном решении конкретных трудных задач, воз~икающих в других облы",гях знаний, математик действует как есгествоиспытателгч полагаясь во многом лишь на опыт н «правдоподобные» рассуждения. Крайне желательно, чтобы такая эмпирическая рабоп«подкреплялась теоретическими разработками методов, аккурап«ой проверкой качества методов на контрольных задачах с извес«"ным решением илн частным сравнением с экспериментом. При длительном продвижении в каком-то направлении беч такого подкреплоння может теряться перспектива рабоп«, уверенность в правильности получаемых результа'шв, Известное высказывание, что хороший теоретик может истолковать в желаемом направлении любые результаты как расчетов, так и эксперимента, содержит большую долю истины.
б. Песне завершения расчетов нвсчупаег этвл использования результатов вычислений в практической деятелывхти, или, квк часто говорят, этап внедрения рнгультатов. Правильнее будет сказать, что полн»гонка к использованию результатов начинается уже с анализа постановки задачи и в пРоцессе ее реп«ения и, по существу, все моменты реп»ения задачи и внедрения резулшвтов неразрывно сввзаггы между собой; в процессе фоРмулирования задачи и ее регпения ваквзчик и исполнитель взаимно уточняют постановку задачи и тем самым подготавливают почву Введение для приложения полученных результатов. Поскольку математика в сочетании с ЭВМ и<пользуется в самых разнообразных облает«х, то чычп приходится иметь деяо с заказчиками, не имеющими опыта применена» ЭВМ.
В процессе контакта с такими «начинающими» заказчиками осх» бенно важно преодолеть их первоначальное недоверие к вторжению математики в их области исследования; резулыаты вычисэений будут исполшоваться только тогда, когда заказчик осмыслит их со своих позиций и убедится в том, что их дейсп<итеяьво можно и нужно использовать. При правильном подходе к взаимным контактам к концу проце<«а рсшш ния задачи «лачилшон<ий» заказчик примшит к поннмапиэд что ЭВМ и математика могут дать ему ие вгс, по довольно много, а «начииюощий» математик — к понимани<о того, что ов дает заказчику к<ю-что, но далеко нс все нужное для реального решения задачи. Большое зиа<енис имеет наглядностть доступность представления заказчику промежуточных и окончательных резулюатов исщ<едования< таблицы, графики, вывод информации на экран: нельзя предполагать на.- личия нли требовать от заказчика большего сбьема знаний, чем э<о требуется существом дела.
Целы:ообрэзнее, чтобы биолог использовал свое умение диффсреш<ировать для построения и исследования математической модели, а ле для оценки погрепп<ости мепда численного интегрирования. Математик должен принять во внимание образование и психологию людей, применяющих разработанные им методы и програмь<ы, Например, простейшая щюграмма численного интегрирования, предназначенная для широкого круга нема«яма»иков, исполшующих ЭВМ в своих конкретных исследованиях, дш<жна быть рассчитана на человека, потолок математических знаний к<пороге находится на интуитивном понимании того, чщ интеграл — зто площадь. Чтобы не затруднять пользоватеяя, в описании простейших программ даже ничего не говорится о точности рщулювта. Предполэгащся, чтп пользователя удовлетворит невыижая точность результата, и программа реализует<я, например, так, чтобы в болыпинстве случаев относительная погрешность ра<улы<пв не превосходила 1% (так нате<василя графическая точность).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
